【数学】2019届一轮复习北师大版 不等式选讲 学案

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文档介绍

【数学】2019届一轮复习北师大版 不等式选讲 学案

第29练 不等式选讲 ‎[明考情]‎ 不等式选讲是每年的高考必考题,以选做题的形式呈现,主要考查基本运算能力和推理论证能力,中低档难度.‎ ‎[知考向]‎ ‎1.绝对值不等式的解法.‎ ‎2.不等式的证明.‎ ‎3.不等式的应用.‎ 考点一 绝对值不等式的解法 方法技巧 |x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 ‎(1)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想.‎ ‎(2)利用“零点分区间法”求解,体现了分类讨论的思想.‎ ‎(3)通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.‎ ‎1.已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1.‎ ‎(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;‎ ‎(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.‎ 解 (1)当a=2时,f(x)+|x-4|= 当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|,得-2x+6≥4,解得x≤1;‎ 当2<x<4时,由f(x)≥4-|x-4|,得2≥4,无解;‎ 当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|,得2x-6≥4,解得x≥5.‎ 所以f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.‎ ‎(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),则h(x)= 由|h(x)|≤2,解得≤x≤.‎ 又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},所以于是a=3.‎ ‎2.(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥1的解集;‎ ‎(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.‎ 解 (1)f(x)= 当x<-1时,f(x)≥1无解;‎ 当-1≤x≤2时,由f(x)≥1,得2x-1≥1,‎ 解得1≤x≤2;‎ 当x>2时,由f(x)≥1,解得x>2.‎ 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.‎ ‎(2)由f(x)≥x2-x+m,得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x,而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-2+≤,‎ 当且仅当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=.‎ 故m的取值范围是.‎ ‎3.(2016·全国Ⅲ)已知函数f(x)=|2x-a|+a.‎ ‎(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;‎ ‎(2)设函数g(x)=|2x-1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.‎ 解 (1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.‎ 解不等式|2x-2|+2≤6,得-1≤x≤3.‎ 因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.‎ ‎(2)当x∈R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,‎ 当x=时等号成立,‎ 所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3. ①‎ 当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解;‎ 当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.‎ 所以a的取值范围是[2,+∞).‎ ‎4.已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.‎ ‎(1)解不等式|g(x)|<5;‎ ‎(2)若对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.‎ 解 (1)由||x-1|+2|<5,得-5<|x-1|+2<5,‎ 所以-7<|x-1|<3,可得不等式的解集为(-2,4).‎ ‎(2)因为对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,‎ 所以{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)}.‎ 又f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+2≥2,‎ 所以|a+3|≥2,解得a≥-1或a≤-5,‎ 所以实数a的取值范围为(-∞,-5]∪[-1,+∞).‎ 考点二 不等式的证明 要点重组 (1)含绝对值的不等式的性质 ‎|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.‎ ‎(2)算术—几何平均不等式.如果a1,a2,…,an为n个正数,则≥,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.‎ ‎(3)柯西不等式 ‎①设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立.‎ ‎②设a1,a2,a3,…an,b1,b2,b3,…bn是实数,则(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.‎ ‎5.已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].‎ ‎(1)求m的值;‎ ‎(2)若a,b,c∈R+,且++=m,求证:a+2b+3c≥9.‎ ‎(1)解 因为f(x+2)=m-|x|,所以f(x+2)≥0等价于|x|≤m.‎ 由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}.‎ 又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1.‎ ‎(2)证明 由(1)知++=1,‎ 又a,b,c∈R+,由柯西不等式,得a+2b+3c=(a+2b+3c)·≥2=9.‎ 当且仅当a=2b=3c时,等号成立.‎ 所以a+2b+3c≥9.‎ ‎6.(2017·全国Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明:‎ ‎(1)(a+b)(a5+b5)≥4;‎ ‎(2)a+b≤2.‎ 证明 (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)‎ ‎=4+ab(a4+b4-2a2b2)=4+ab(a2-b2)2≥4.‎ ‎(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+,‎ 所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.‎ ‎7.已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3.‎ ‎(1)解 因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当-1≤x≤2时,等号成立,‎ 所以f(x)的最小值等于3,即a=3.‎ ‎(2)证明 由(1)知p+q+r=3,‎ 又因为p,q,r是正实数,‎ 所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9,‎ 即p2+q2+r2≥3,当且仅当p=q=r=1时取等号.‎ ‎8.已知a>b>0,且m=a+.‎ ‎(1)试利用基本不等式求m的最小值t;‎ ‎(2)若实数x,y, 满足x2+4y2+ 2=t,求证:|x+2y+ |≤3.‎ ‎(1)解 由三个数的基本不等式,得 m=(a-b)+b+≥3=3‎ ‎(当且仅当a-b=b=,即b=1,a=2时取“=”号),故有t=3.‎ ‎(2)证明 ∵x2+4y2+ 2=3,∴由柯西不等式,得 ‎[x2+(2y)2+ 2](12+12+12)≥(x+2y+ )2,‎ 当且仅当===1,即x= =1,y=时取“=”号.‎ 整理得(x+2y+ )2≤9,‎ 即|x+2y+ |≤3.‎ 考点三 不等式的应用 方法技巧 利用不等式的性质和结论可以求函数的最值,解决一些参数范围问题,恒成立问题,解题中要注意问题的转化.‎ ‎9.已知函数f(x)=|x+1|+|x-2|,不等式t≤f(x)在R上恒成立.‎ ‎(1)求t的取值范围;‎ ‎(2)记t的最大值为T,若正实数a,b,c满足a2+b2+c2=T,求a+2b+c的最大值.‎ 解 (1)因为f(x)=|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,‎ 所以f(x)min=3.‎ 因为不等式t≤f(x)在R上恒成立,‎ 所以t≤f(x)min=3,t的取值范围为(-∞,3].‎ ‎(2)由(1)得T=tmax=3,‎ 由柯西不等式,得(a+2b+c)2≤(12+22+12)(a2+b2+c2)=18,‎ 所以a+2b+c≤3.‎ 当且仅当==,即a=,b=,c=时,a+2b+c的最大值为3.‎ ‎10.已知a2+2b2+3c2=6,若存在实数a,b,c,使得不等式a+2b+3c>|x+1|成立,求实数x的取值范围.‎ 解 由柯西不等式知,‎ ‎[12+()2+()2][a2+(b)2+(c)2]≥(1·a+·b+·c)2,‎ 即6×(a2+2b2+3c2)≥ (a+2b+3c)2.‎ 又∵a2+2b2+3c2=6,‎ ‎∴6×6≥(a+2b+3c)2,‎ ‎∴-6≤a+2b+3c≤6.‎ ‎∵存在实数a,b,c,使得不等式a+2b+3c>|x+1|成立,‎ ‎∴|x+1|<6,∴-70.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.‎ 解 (1)当a=1时,‎ f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.‎ 当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;‎ 当-10,‎ 解得0,解得1≤x<2.‎ 所以f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)由题设可得f(x)= 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),‎ ‎△ABC的面积为(a+1)2.‎ 由题设得(a+1)2>6,故a>2.‎ 所以a的取值范围为(2,+∞).‎ 例 (10分)已知函数f(x)=|3x+2|.‎ ‎(1)解不等式f(x)<4-|x-1|;‎ ‎(2)已知m+n=1(m,n>0),若|x-a|-f(x)≤+(a>0)对任意的x∈R恒成立,求实数a的取值范围.‎ 审题路线图 ‎(1)―→ ‎(2)⇒ ―→ 规范解答·评分标准 解 (1)不等式f(x)<4-|x-1|,‎ 即|3x+2|+|x-1|<4,‎ 当x<-时,不等式可化为-3x-2-x+1<4,‎ 解得-<x<-;………………………………………………………………………1分 当-≤x≤1时,不等式可化为3x+2-x+1<4,‎ 解得-≤x<;…………………………………………………………………………2分 当x>1时,不等式可化为3x+2+x-1<4,无解 ‎……………………………………………………………………………………………3分 综上所述,不等式的解集为.…………………………………………………4分 ‎(2)+=(m+n)=1+1++≥4,‎ 当且仅当m=n=时,等号成立.………………………………………………………5分 令g(x)=|x-a|-f(x)=|x-a|-|3x+2|= ‎∴x=-时,g(x)max=+a.……………………………………………………………8分 要使不等式|x-a|-f(x)≤+对任意的x∈R恒成立,只需g(x)max=+a≤4,‎ 即0<a≤.……………………………………………………………………………10分 构建答题模板 ‎ ‎[第一步] 解不等式.‎ ‎[第二步] 转化:将恒成立问题或有解问题转化成最值问题.‎ ‎[第三步] 求解:利用求得的最值求解取值范围.‎ ‎1.设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;‎ ‎(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.‎ 解 (1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2,‎ 由此可得x≥3或x≤-1.‎ 故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}.‎ ‎(2)由f(x)≤0,得|x-a|+3x≤0.‎ 此不等式化为不等式组或 即或 因为a>0,所以不等式组的解集为.‎ 由题设可得-=-1,故a=2.‎ ‎2.(2016·全国Ⅱ)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集.‎ ‎(1)求M;‎ ‎(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.‎ ‎(1)解 f(x)= 当x≤-时,由f(x)<2,得-2x<2,‎ 解得x>-1,所以-1
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