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文档介绍
【数学】2019届一轮复习北师大版 不等式选讲 学案
第29练 不等式选讲 [明考情] 不等式选讲是每年的高考必考题,以选做题的形式呈现,主要考查基本运算能力和推理论证能力,中低档难度. [知考向] 1.绝对值不等式的解法. 2.不等式的证明. 3.不等式的应用. 考点一 绝对值不等式的解法 方法技巧 |x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想. (2)利用“零点分区间法”求解,体现了分类讨论的思想. (3)通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想. 1.已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1. (1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集; (2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值. 解 (1)当a=2时,f(x)+|x-4|= 当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|,得-2x+6≥4,解得x≤1; 当2<x<4时,由f(x)≥4-|x-4|,得2≥4,无解; 当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|,得2x-6≥4,解得x≥5. 所以f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}. (2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),则h(x)= 由|h(x)|≤2,解得≤x≤. 又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},所以于是a=3. 2.(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集; (2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围. 解 (1)f(x)= 当x<-1时,f(x)≥1无解; 当-1≤x≤2时,由f(x)≥1,得2x-1≥1, 解得1≤x≤2; 当x>2时,由f(x)≥1,解得x>2. 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}. (2)由f(x)≥x2-x+m,得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x,而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-2+≤, 当且仅当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=. 故m的取值范围是. 3.(2016·全国Ⅲ)已知函数f(x)=|2x-a|+a. (1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集; (2)设函数g(x)=|2x-1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围. 解 (1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+2≤6,得-1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}. (2)当x∈R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a, 当x=时等号成立, 所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3. ① 当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解; 当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2. 所以a的取值范围是[2,+∞). 4.已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2. (1)解不等式|g(x)|<5; (2)若对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围. 解 (1)由||x-1|+2|<5,得-5<|x-1|+2<5, 所以-7<|x-1|<3,可得不等式的解集为(-2,4). (2)因为对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立, 所以{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)}. 又f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+2≥2, 所以|a+3|≥2,解得a≥-1或a≤-5, 所以实数a的取值范围为(-∞,-5]∪[-1,+∞). 考点二 不等式的证明 要点重组 (1)含绝对值的不等式的性质 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|. (2)算术—几何平均不等式.如果a1,a2,…,an为n个正数,则≥,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立. (3)柯西不等式 ①设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立. ②设a1,a2,a3,…an,b1,b2,b3,…bn是实数,则(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立. 5.已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1]. (1)求m的值; (2)若a,b,c∈R+,且++=m,求证:a+2b+3c≥9. (1)解 因为f(x+2)=m-|x|,所以f(x+2)≥0等价于|x|≤m. 由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}. 又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1. (2)证明 由(1)知++=1, 又a,b,c∈R+,由柯西不等式,得a+2b+3c=(a+2b+3c)·≥2=9. 当且仅当a=2b=3c时,等号成立. 所以a+2b+3c≥9. 6.(2017·全国Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明: (1)(a+b)(a5+b5)≥4; (2)a+b≤2. 证明 (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a4+b4-2a2b2)=4+ab(a2-b2)2≥4. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+, 所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2. 7.已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a. (1)求a的值; (2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3. (1)解 因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当-1≤x≤2时,等号成立, 所以f(x)的最小值等于3,即a=3. (2)证明 由(1)知p+q+r=3, 又因为p,q,r是正实数, 所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9, 即p2+q2+r2≥3,当且仅当p=q=r=1时取等号. 8.已知a>b>0,且m=a+. (1)试利用基本不等式求m的最小值t; (2)若实数x,y, 满足x2+4y2+ 2=t,求证:|x+2y+ |≤3. (1)解 由三个数的基本不等式,得 m=(a-b)+b+≥3=3 (当且仅当a-b=b=,即b=1,a=2时取“=”号),故有t=3. (2)证明 ∵x2+4y2+ 2=3,∴由柯西不等式,得 [x2+(2y)2+ 2](12+12+12)≥(x+2y+ )2, 当且仅当===1,即x= =1,y=时取“=”号. 整理得(x+2y+ )2≤9, 即|x+2y+ |≤3. 考点三 不等式的应用 方法技巧 利用不等式的性质和结论可以求函数的最值,解决一些参数范围问题,恒成立问题,解题中要注意问题的转化. 9.已知函数f(x)=|x+1|+|x-2|,不等式t≤f(x)在R上恒成立. (1)求t的取值范围; (2)记t的最大值为T,若正实数a,b,c满足a2+b2+c2=T,求a+2b+c的最大值. 解 (1)因为f(x)=|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 所以f(x)min=3. 因为不等式t≤f(x)在R上恒成立, 所以t≤f(x)min=3,t的取值范围为(-∞,3]. (2)由(1)得T=tmax=3, 由柯西不等式,得(a+2b+c)2≤(12+22+12)(a2+b2+c2)=18, 所以a+2b+c≤3. 当且仅当==,即a=,b=,c=时,a+2b+c的最大值为3. 10.已知a2+2b2+3c2=6,若存在实数a,b,c,使得不等式a+2b+3c>|x+1|成立,求实数x的取值范围. 解 由柯西不等式知, [12+()2+()2][a2+(b)2+(c)2]≥(1·a+·b+·c)2, 即6×(a2+2b2+3c2)≥ (a+2b+3c)2. 又∵a2+2b2+3c2=6, ∴6×6≥(a+2b+3c)2, ∴-6≤a+2b+3c≤6. ∵存在实数a,b,c,使得不等式a+2b+3c>|x+1|成立, ∴|x+1|<6,∴-7查看更多
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