高考数学一轮复习练案58第九讲圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线的位置关系含解析

高考数学一轮复习练案58第九讲圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线的位置关系含解析

‎ [练案58]第九讲　圆锥曲线的综合问题 第一课时　直线与圆锥曲线的位置关系 A组基础巩固 一、单选题 ‎1．(2019·河南豫东联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆的方程为(　A　)‎ A．＋＝1　　 B．＋＝1‎ C.＋y2＝1　　 D．＋y2＝1‎ ‎[解析]　依题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c＝1.又离心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1，故选A.‎ ‎2．(2019·山东聊城二模，6)已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为(　D　)‎ A．y＝x－1　　 B．y＝－2x＋5‎ C．y－x＋3　　 D．y＝2x－3‎ ‎[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有①－②得y－y＝4(x1－x2)，由题可知x1≠x2，∴＝＝＝2，即kAB＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.故选D.‎ ‎3．(2020·石家庄质检)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为60°的直线与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是(　B　)‎ A．　 B．2＋　‎ C．2　 D．＋1‎ ‎[解析]　由题意可知A是F1B的中点，O是F‎1F2的中点(O为坐标原点)，连接BF2，则OA是△F1BF2的中位线，故OA∥BF2，故F‎1F2⊥BF2，又∠BF‎1F2＝60°，|F‎1F2|＝‎2c，∴|BF1|＝‎4c，|BF2|＝‎2‎c，∴‎2a＝‎4c－‎2‎c，∴e＝＝2＋，故选B.‎ ‎4．(2019·广东深圳调研)设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点A，B分别为椭圆C的右顶点和下顶点，且点F1关于直线AB的对称点为M.若MF2⊥F‎1F2，则椭圆C - 9 -‎ 的离心率为(　C　)‎ A．　　 B． C.　　 D． ‎[解析]　设M(c，y0)，则MF1的中点为N(0，)，即N在y轴上，N又在直线AB上，即点N与B重合，AB⊥BF1⇒kABkBF1＝－1⇒·(－)＝－1.故⇒b2＝ac⇒a2－c2＝ac⇒e2＋e－1＝0，∴e＝，选C.‎ ‎5．(2020·榆林调研)已知抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线交于点M(1，m)，点M到抛物线焦点的距离为3，则双曲线的离心率等于(　A　)‎ A．3　 B．4　‎ C．　 D．2‎ ‎[解析]　点M到抛物线焦点的距离为＋1＝3⇒p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x，∴m2＝8.双曲线的渐近线方程为y＝±x，两边平方得y2＝(±)2x2，把M(1，m)代入上式得8＝()2，∴双曲线的离心率e＝＝3.‎ ‎6．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则|AB|＝(　A　)‎ A．6　 B．8　‎ C．12　 D．16‎ ‎[解析]　由题意知抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，易知当直线AB垂直于x轴时，△AOB的面积为2，不满足题意，所以可设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，与y2＝4x联立，消去x得ky2－4y－4k＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝，y1y2＝－4，所以|y1－y2|＝，所以△AOB的面积为×1×＝，解得k＝±，所以|AB|＝|y1－y2|＝6，故选A.‎ ‎7．(2019·北京市海淀区模拟)椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2：－＝1的离心率之积为1，则双曲线C2的两条渐近线的倾斜角分别为(　C　)‎ A．，－　　 B．，－ - 9 -‎ C.，　　 D．， ‎[解析]　椭圆中：a＝2，b＝1，所以，c＝，离心率为：，设双曲线的离心率为：e，则e×＝1，得：e＝，双曲线中：e＝＝，即：c2＝a2，又c2＝a2＋b2，所以，a2＝a2＋b2，得：a＝b，双曲线的渐近线为：y＝±x＝±x，所以，两条渐近线的倾率为：k＝±倾斜角分别为，，故选C.‎ ‎8．(2020·河南省濮阳市模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A、B两点，弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5，则直线l的斜率为(　B　)‎ A．±　 B．±　‎ C．±　 D．±1‎ ‎[解析]　由题意，抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的方程为y＝k(x－1)，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝，又由题意x1＋x2＋2＝10，即x1＋x2＝8，∴＝4，解得k＝±，故选B.‎ 二、多选题 ‎9．(2020·广西河池期末改编)已知直线l在y轴上的截距为2，且与双曲线x2－＝1的渐近线平行，则直线l的方程可以是(　AB　)‎ A．y＝x＋2　　 B．y＝－x＋2‎ C．y＝－x＋2　　 D．y＝x＋2‎ ‎[解析]　双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，∴直线l的方程为y＝±x＋2.故选AB.‎ ‎10．若原点O到直线l的距离不大于1，则直线l与下列曲线一定有公共点的是(　AC　)‎ A．y＝x2－2　　 B．(x－1)2＋y2＝1‎ C.＋y2＝1　　 D．x2－y2＝1‎ ‎[解析]　数形结合知选AC.‎ 三、填空题 ‎11．(2019·大同质检)已知抛物线y2＝16x的准线过双曲线C：－＝1(a>0，b - 9 -‎ ‎>0)的一个焦点，且双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的标准方程是　－＝1　.‎ ‎[解析]　∵抛物线y2＝16x的准线x＝－4过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，∴c＝4.又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，可得b＝a，又c＝＝4，∴a＝2，b＝2，∴所求双曲线的标准方程为－＝1.‎ ‎12．(2019·辽宁营口期末)直线y＝k(x－1)与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若|AB|＝，则k＝　±　.‎ ‎[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线AB经过抛物线y2＝4x的焦点，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝，所以x1＋x2＝.联立得到k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝＝，所以k＝±.‎ ‎13．(2019·河北衡水三模)“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目．近期，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为__85__千米．‎ ‎[解析]　设椭圆的长半轴长为a千米，半焦距为c千米，月球半径为r千米．‎ 由题意知解得‎2c＝85.‎ 即椭圆形轨道的焦距为‎85千米．‎ 四、解答题 ‎14．(2017·北京高考)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点(0，)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．‎ ‎(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎(2)求证：A为线段BM的中点．‎ - 9 -‎ ‎[解析]　(1)由抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，得p＝.‎ 所以抛物线C的方程为y2＝x.‎ 抛物线C的焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－.‎ ‎(2)由题意，设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，‎ l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0.‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1)．‎ 直线ON的方程为y＝x，点B的坐标为(x1，)．‎ 因为y1＋－2x1＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝0，‎ 所以y1＋＝2x1.‎ 故A为线段BM的中点．‎ ‎15．(2019·广东惠州三调)已知椭圆E的一个顶点为A(0,1)，焦点在x轴上，椭圆的右焦点到直线x－y＋2＝0的距离是3.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)设过点A的直线l与该椭圆交于另一点B，当弦AB的长度最大时，求直线l的方程．‎ ‎[解析]　(1)由题意，知b＝1.‎ 因为右焦点(c,0)(c>0)到直线x－y＋2＝0的距离 d＝＝3，所以c＝，所以a＝＝，‎ 因为椭圆E的焦点在x轴上，所以椭圆E的方程为＋y2＝1.‎ - 9 -‎ ‎(2)当直线l的斜率不存在时，|AB|＝2.‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，‎ 联立得消去y得(1＋3k2)x2＋6kx＝0，‎ 因为xA＝0，所以xB＝－，‎ 则|AB|＝，|AB|2＝，‎ 令t＝1＋3k2，t∈(1，＋∞)，则|AB|2＝4[－2()2＋＋1]＝－8(－)2＋，‎ 所以，当＝，即k2＝1，亦即k＝±1时，‎ ‎|AB|2取得最大值，即|AB|的最大值为.‎ 综上，|AB|的最大值为，此时直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1.‎ B组能力提升 ‎1．(2018·课标Ⅰ卷)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　B　)‎ A．　 B．3　‎ C．2　 D．4‎ ‎[解析]　由双曲线C：－y2＝1可知其渐近线方程为y＝±x，∴∠MOx＝30°，∴∠MON＝60°，不妨设∠OMN＝90°，则易知焦点F到渐近线的距离为b，即|MF|＝b＝1，又知|OF|＝c＝2，∴|OM|＝，则在Rt△OMN中，|MN|＝|OM|·tan∠MON＝3.故选B.‎ ‎2．(2019·贵州贵阳适应性考试)双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1，l2，F为其一个焦点，若F关于l1的对称点在l2上，则双曲线的渐近线方程为(　D　)‎ A．y＝±2x　　 B．y＝±3x C．y＝±x　　 D．y＝±x ‎[解析]　设F关于l1的对称点为H，‎ 即l1垂直平分FH，‎ - 9 -‎ ‎∴∠1＝∠2，又∠1＝∠3，‎ ‎∴∠1＝∠2＝∠3＝，‎ ‎∴kl1＝，‎ ‎∴所求渐近线方程为y＝±x.故选D.‎ ‎3．(2020·河南天一大联考)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与圆C′：x2＋(y－)2＝3交于M，N两点，若|MN|＝，则△MNF的面积为(　B　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　作出图形如下图所示，由题意知|AM|＝2.因为点N为圆C′圆周上一点，所以∠ANM＝90°，则在Rt△ANM中，由|AM|＝2，|MN|＝，得|AN|＝＝，∠AMN＝45°，所以N(，)代入y2＝2px中，解得p＝，故△MNF的面积为××＝.‎ ‎4．(2020·安徽1号卷A10联盟联考)设点D为圆E：(x＋)2＋y2＝16上的动点，点F(，0)，线段DF的垂直平分线与DE相交于点C.‎ ‎(1)求证：动点C的轨迹是椭圆，并求出该椭圆的标准方程；‎ ‎(2)设(1)中椭圆的上顶点为P，经过点Q(2，－1)的直线l与该椭圆交于A，B两点(异于点P)，记直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，求k1＋k2的值．‎ ‎[解析]　(1)由题意得，|CF|＝|CD|，‎ ‎∴|CE|＋|CF|＝|CE|＋|CD|＝|ED|＝4>|EF|＝2，‎ ‎∴点C的轨迹是以点E，F为焦点，焦距为2，长轴为4的椭圆．‎ b＝＝＝1，‎ ‎∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝2，此时直线l与椭圆相切，不符合题意；‎ - 9 -‎ 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，即y＝kx－2k－1.‎ 联立，‎ 得(1＋4k2)x2－8k(2k＋1)x＋16k2＋16k＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，‎ x1x2＝，‎ ‎∴k1＋k2＝＋ ‎＝ ‎＝ ‎＝2k－ ‎＝2k－ ‎＝2k－(2k＋1)＝－1.‎ ‎5．(2019·高考全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．‎ ‎(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；‎ ‎(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)连接PF1，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，‎ ‎∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，‎ 于是‎2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，‎ 故C的离心率e＝＝－1.‎ 另解：由题意知P(，c)，‎ ‎∴＋＝1，又b2＝a2－c2，‎ ‎∴c4－‎8a2c2＋‎4a4＝0，即e4－8e2＋4＝0，‎ ‎∴e2＝4±2＝(±1)2，又0

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