2020届二轮复习同角三角函数基本关系式和诱导公式（文）学案（全国通用）

2020届二轮复习同角三角函数基本关系式和诱导公式（文）学案（全国通用）

同角三角函数基本关系式和诱导公式 ‎ ‎ ‎【考纲要求】‎ ‎1.理解并熟练应用同角三角函数的基本关系式：，掌握已知一个　 　　角的三角函数值求其他三角函数值的方法.‎ ‎2.能熟练运用诱导公式，运用任意角的三角函数值化简、求值与证明简单的三角恒等式.‎ ‎【知识网络】‎ 同角三角函数基本关系式 诱导公式 同角三角函数基本关系式和诱导公 式 ‎【考点梳理】‎ 考点一、同角三角函数基本关系式 ‎1．平方关系：.‎ ‎2．商数关系：.‎ ‎3．倒数关系：‎ 要点诠释：‎ ‎①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.‎ ‎②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如，‎ ‎，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用.‎ 考点二、诱导公式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 要点诠释：‎ ‎（1）两类诱导公式的记忆，经常使用十字口决：“奇变偶不变，符号看象限”。‎ ‎“奇变”是指所涉及的轴上角为的奇数倍时（包括4组：，）函数名称变为原来函数的余函数；其主要功能在于改变函数名称.‎ ‎“偶不变”是指所涉及的轴上角为的偶数倍时（包括5组：）, 函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题.‎ ‎（2）诱导公式的引申：‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、同角三角函数基本关系式及诱导公式 例1. 已知，，求、的值．‎ ‎【答案】，.‎ ‎【解析】方法一：∵，∴，‎ ‎ ∵，‎ ‎∴，.‎ 方法二：∵，∴，‎ 由图形可以知道：，.‎ ‎【总结升华】①利用公式：求解时，要注意角的范围，从而确定三角函数值的符号；②三角赋值法多用于选择题和填空题，其理论基础源于“实数由符号和绝对值两部分组成”.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知，，求、.‎ ‎【答案】；．‎ ‎【解析】∵，∴，‎ ‎ ∵，‎ ‎∴，.‎ ‎【变式2】已知，，求.‎ ‎【答案】.‎ 类型二、三角函数式的求值、化简与证明 例2.(2018 四川高考) 已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________．‎ ‎【答案】－1‎ ‎【解析】由已知可得tanα＝－2‎ 故答案为：－1‎ ‎【总结升华】（1）三角函数式的值应先化简再代入求值；（2）三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题可用“1”代换，如.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】(2015春 新余校级月考)已知角终边上一点，求的值.‎ ‎【解析】角上终边上一点 ‎ ，‎ ‎.‎ 例3.化简 ‎【解析】（1）当时，‎ 原式；‎ ‎（2）当时，‎ 原式.‎ ‎【总结升华】当三角函数式中含有时，不能直接运用诱导公式进行变形，需对分奇偶进行讨论.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】化简 ‎【答案】‎ ‎【解析】原式 ‎【变式2】化简 ‎【答案】‎ ‎【解析】原式 三角函数的概念xxxxxx 例4】‎ ‎【变式3】求的值.‎ ‎【答案】当为第一象限角时，值为3；当为第二、三、四象限角时，值为-1.‎ 例4.证明 ‎【解析】左边 右边 ‎【总结升华】证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法为（1）从一边开始证得另一边；（2）证明左右两边都等于同一个式子；（3）分析法．三角变化中还要注意使用“化弦法”.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】证明 ‎【解析】分析法：要证成立，‎ 只要证成立 只要证成立 因为上式是成立的，所以原式成立.‎ 类型三、三角函数问题中的齐次式问题----整体代换思想 例5.已知 ，求下列各式的值：‎ ‎（1） （2）‎ ‎【解析】方法一：由可得，即，‎ （1） 原式.‎ （2） 原式.‎ 方法二：由已知得，‎ （1） 原式.‎ （2） 原式.‎ ‎【总结升华】‎ 已知的条件下，求关于的齐次式问题，解这类问题必须注意以下几点：‎ 1. 一定是关于的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式.‎ 2. 因为，所以可以用除之，这样可以将被求式化为关于的表达式，可整体代入，从而完成被求式的求值运算.‎ 3. 注意的应用.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】已知,则（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ 类型四、涉及问题----平方关系的应用 例6．已知，且．求、的值；‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ 方法一：由可得：，‎ 即，∴‎ ‎∵，‎ ‎∴、是方程的两根，‎ ‎∴或 ‎∵， ∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴‎ 方法二：由可得：，‎ 即，∴‎ ‎∵，∴，∴，∴‎ 由 ‎∴‎ ‎【总结升华】对于这三个式子，已知其中一个式子的值，可以求出其余两个式子的值，如：‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】已知，求的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由可得：；‎ 于是，‎ ‎∴．‎