数学卷·2017届浙江省温州市十校联合体高三上学期期末考试（2017

数学卷·2017届浙江省温州市十校联合体高三上学期期末考试（2017

‎2016学年第一学期温州十校联合体高三期末考试 数学 试题 考生须知：‎ ‎1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；‎ ‎2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。‎ ‎3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；‎ ‎4．考试结束后，只需上交答题纸。‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。‎ ‎1.已知集合，，则 （ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若复数，其中为虚数单位，则 = （ ）‎ A．1− B．1+ C．−1+ D．−1−‎ ‎3. “一条直线与平面内无数条直线异面”是“这条直线与平面平行”的 （ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎4. 二项式的展开式中常数项为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.若向量,且，则的值是 （ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎6.点P为直线上任一点，，则下列结论正确的是 （ ）‎ A． B． ‎ C． D．以上都有可能 ‎7.设函数，若关于x的方程 恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.已知数列的首项，前n项和为，且满足，则满足的n的最大值是 （ ）‎ A．8 B．9 C．10 D．11‎ ‎9.在中，点A在OM上，点B在ON上，且，，若，则终点P落在四边形ABNM内（含边界）时，的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.点P为棱长是2的正方体的内切球O球面上的动点，点M为的中点，若满足，则动点P的轨迹的长度为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。‎ ‎11.某几何体的三视图是如图所示的直角三角形、半圆和等腰三角形， ‎ 各边的长度如图所示，则此几何体的体积是______，表面积是 ‎ ‎____________.‎ 第11题 ‎12.袋中有3个大小、质量相同的小球，每个小球上分别写有数字， ‎ 随机摸出一个将其上的数字记为，然后放回袋中，再次随机摸出 一个，将其上的数字记为，依次下去，第n次随机摸出一个，将 其上的数字记为记，则（1）随机变量的期望 ‎ 是_______；（2）当时的概率是_______。‎ ‎13.设是定义在R上的最小正周期为的函数，且在上，则______ ,__________.‎ ‎14.若的垂心恰好为抛物线的焦点，O为坐标原点，点A、B在此抛物线上，则此抛物线的方程是_______，面积是________。‎ ‎15.对于任意实数和b，不等式恒成立，则实数x的取值范围是________。‎ ‎16.设有序集合对满足：，记分别表示集合的元素个数，则符合条件的集合的对数是________.‎ ‎17.已知A是射线上的动点，B是x轴正半轴的动点，若直线AB与圆 相切，则的最小值是________.‎ 三、 解答题: 本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎18. （本题满分14分）已知三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，‎ ‎（1）求角A的值；‎ ‎（2）求函数在区间的值域。‎ ‎19. (本题满分15分)如图四边形PABC中，，，现把沿AC折起，使PA与平面ABC成，设此时P在平面ABC上的投影为O点（O与B在AC的同侧），‎ ‎（1）求证：平面PAC；‎ ‎（2）求二面角P－BC－A大小的正切值。‎ ‎ ‎ ‎20. (本题满分15分)定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界。已知函数，‎ ‎（1）当时，求函数在D上的上界的最小值；‎ ‎（2）记函数，若函数在区间上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围。‎ ‎21. (本题满分15分)椭圆的离心率为，左焦点F到直线：的距离为，圆G：，‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若P是椭圆上任意一点，EF为圆N：的任一直径，求的取值范围；‎ ‎（3）是否存在以椭圆上点M为圆心的圆M，使得圆M上任意一点N作圆G的切线，切点为T，都满足？若存在，求出圆M的方程；若不存在，请说明理由。‎ ‎22. (本题满分15分)已知数列满足，‎ ‎(1)若数列是常数列，求m的值；‎ ‎（2）当时，求证：；‎ ‎（3）求最大的正数，使得对一切整数n恒成立，并证明你的结论。‎ ‎2016学年第一学期温州十校联合体高三期末考试 数学参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。‎ 序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 C A B B A C D B D C ‎5.解：A。.‎ ‎6.若，则点P的轨迹是以为焦点的双曲线，其方程为。因为直线是它的渐近线，整条直线在双曲线的外面，因此有。‎ ‎7.作出函数的图象.因为由方程,得或.显然有一个实数根,因此只要有两个根(不是),利用图象可得, 实数a的取值范围是.‎ ‎8.当 时，，得 。当 时，有，两式相减得 。再考虑到，所以数列是等比数列，故有。因此原不等式化为，化简得，得 ，所以n的最大值为9.‎ ‎9.利用向量知识可知，点落 在平面直角坐标系中两直线及x轴、y轴围成的四边形（含边界）内。又因为，其中 表示点 与点Q连线的斜率。由图形可知，所以。‎ ‎10.直线DP在过点D且与BM垂直的平面内。又点P在内接球的球面上，故点P的轨迹是正方体的内切球与过D且与BM垂直的平面相交得到的小圆。可求得点O到此平面的距离为，截得小圆的半径为，所以以点P的轨迹的长度为。‎ 二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。‎ ‎11. 、 12. 、 ‎ ‎13. 、 14. 、‎ ‎15. ‎ ‎16. 44对 ‎ ‎17. ‎ 分析：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ p ‎11.解： ， 。易知此几何体是半个圆锥。‎ ‎12.解：， 。可以求得随机变量的分布列如表所示，期望为。当时的概率是 ‎13.解： ；。由于的周期为，则 ，即，解得。 此时。‎ ‎14.解：。因为焦点为，所以抛物线的方程是 。设，由抛物线的对称性可知， 。又因为 ，得 ，解得（不妨取正值），从而可得。‎ ‎15.解：。原不等式可化为 恒成立，因此只要求 的最小值。因为，所以，且当时取到最小值为2. 因此有，解得 ‎16.解：44对。由条件可得。当时，显然不成立；当时，则，所以，符合条件的集合对有1对；当时，则，所以A中的另一个元素从剩下6个数中选一个，故符合条件的集合对有对；当时，则，所以A中的另两个元素从剩下6个数中选2个，故符合条件的集合对有对；当时，则，矛盾；由对称性，剩下的几种情况类似，故符合条件的集合的对数是对。‎ ‎17.解一：。设，则直线AB的方程是。因为若直线AB与圆相切，所以，化简得，利用基本不等式得，即，从而得，当，即时，的最小值是 ‎ 解二：在中，设，则利用面积可得，得。‎ 由余弦定理得，，即 ‎，解得，即有 解三：设切点C点，，，则，，即，整理得 ，解得，即的最小值是。‎ 三、 解答题: 本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎18. (本题满分14分)‎ 已知三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，‎ ‎（1）求角A的值；‎ ‎（2）求函数在区间的值域。‎ 解：（1） 因为，‎ 由正弦定理得，…………………………2分 即。‎ 因为，得， ………………………………………………4分 所以，………………………………………………………………………6分 解得 …………………………………………………………………………………7分 ‎（2）由上可得， ………………………………………………………………8分 所以。…11分 因为，‎ 所以，…………………………………………………………………………12分 故函数的值域为。 ……………………………………………………………14分 ‎19. (本题满分15分)‎ 如图四边形PABC中，，，现把沿AC折起，使PA与平面ABC成，设此时P在平面ABC上的投影为O点（O与B在AC的同侧），‎ ‎（1）求证：平面PAC；‎ ‎（2）求二面角P－BC－A大小的正切值。‎ ‎ ‎ 解：（1）连AO，因为平面ABC，得。‎ 又因为，得平面PAO，。………………………………………3分 因为是PA与平面ABC的角，。‎ 因为，得。‎ 在中，，故有，………………………………6分 从而有，得平面PAC。 ……………………………………………………8分 ‎（2）过O作BC的垂线交CB延长线于G点，连PG，则是二面角P－BC－A的平面角。‎ ‎ ‎ 在中，易知，‎ 所以…………………………15分 另解：（1）同上 ‎（2）以OB、OA、OP为x、y、z轴，建立坐标系，可得。‎ 可求得平面ABC的法向量是，平面PBC的法向量是，所以二面角P－BC－A大小的余弦值是，即 ‎ ‎20. (本题满分15分)‎ 定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界。已知函数，‎ ‎（1）当时，求函数在D上的上界的最小值；‎ ‎（2）记函数，若函数在区间上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围。‎ 解：（1）因为，，‎ 得， ……………………………………………………………………1分 得或， ………………………………………………………………2分 故可得函数在区间上单调递增，区间是单调递减。 ………………3分 因为，‎ 所以 ， ……………………………………………………5分 ‎，故有上界，即上界的最小值是。……………………………………7分 ‎（2）因为， …………………………………………………………8分 故有函数，‎ 令，因为，得。‎ 因为函数在区间上是以3为上界的有界函数，‎ 得在区间上恒成立 ，‎ 即 ，……………………………………………………………………11分 得在区间上恒成立。 ………………………………………12分 记 ，‎ 当时，单调递增，‎ 所以；单调递减，，‎ 所以实数的取值范围是。 ……………………………………………15分 ‎（另解：利用函数的最值求解。‎ 当时，函数在区间上单调递增，‎ 所以只要 ，解得 ，所以；‎ 当时，函数在区间上单调递减，在区间 单调递增，‎ 所以只要 ，解得 ，所以；‎ 当时，函数在区间上单调递减，‎ 所以只要 ，解得 ，所以 综上可知，实数的取值范围是）‎ ‎21. (本题满分15分)‎ 椭圆的离心率为，左焦点F到直线：的距离为，圆G：，‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若P是椭圆上任意一点，EF为圆N：的任一直径，求的取值范围；‎ ‎（3）是否存在以椭圆上点M为圆心的圆M，使得圆M上任意一点N作圆G 的切线，切点为T，都满足？若存在，求出圆M的方程；若不存在，请说明理由。‎ 解：（1） ………………………………………………………………3分 ‎（2），‎ 因为 ，所以，即的取值范围是。…………8分 ‎（3）设圆M，其中，‎ 则。 ………………………………………………10分 由于，则， ………………………………12分 即，代入，‎ 得对圆M上任意点N恒成立。‎ 只要使，即，‎ 经检验满足，故存在符合条件的圆，它的方程是。 ……15分 ‎22. (本题满分15分)已知数列满足，‎ ‎(1)若数列是常数列，求m的值；‎ ‎（2）当时，求证：；‎ ‎（3）求最大的正数，使得对一切整数n恒成立，并证明你的结论。‎ 解：（1）若数列是常数列，则，‎ 得。显然，当时，有。 …………………………………………3分 ‎（2）由条件得，得。 ………………5分 又因为，，‎ 两式相减得。 ……………………7分 显然有 ，所以与同号，而，所以，从而有。…………………………………………………………………………………………9分 ‎（3）因为， …………………10分 所以 。‎ 这说明，当时，越来越大，显然不可能满足。‎ 所以要使得对一切整数n恒成立，只可能。…………………………………12分 下面证明当时，恒成立。用数学归纳法证明：‎ 当时，显然成立。‎ 假设当时成立，即，‎ 则当时，成立。‎ 由上可知对一切正整数n恒成立。‎ 因此，正数m的最大值是2. …………………………………………………15分 数学第21题第二问中的EF改为AB，N改为G 数学第21题第二问的参考答案为两个（如图），无论哪个都判定为正确。答案中的E、F、N无论用什么其他字母代替也都判定为正确。‎