2020高中数学 第三章两角和与差的正切公式

2020高中数学 第三章两角和与差的正切公式

第2课时　两角和与差的正切公式 学习目标：1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ 两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正切 T(α＋β)‎ tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tan α·tan β≠1‎ 两角差 的正切 T(α－β)‎ tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠－1‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．(　　)‎ ‎(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．(　　)‎ ‎(3)tan(α＋β)＝等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．(　　)‎ ‎[解析]　(1)√.当α＝0，β＝时，tan(α＋β)＝tan＝tan 0＋tan ，但一般情况下不成立．‎ ‎(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)．‎ ‎(3)√.当α≠kπ＋(k∈Z)，β≠kπ＋(k∈Z)，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子．‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)√‎ ‎2．已知tan α＝2，则tan＝________.‎ ‎－3　[tan＝＝＝－3.]‎ ‎3．＝________.‎ 7‎ 　[原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 两角和与差的正切公式的正用 ‎　(1)已知α，β均为锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β＝________.‎ ‎(2)如图312，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.‎ 图312‎ ‎[思路探究]　(1)先用公式T(α＋β)求tan(α＋β)，再求α＋β.‎ ‎(2)先求∠CAD，∠BAD的正切值，再依据tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值．‎ ‎(1)　(2)　[(1)∵tan α＝，tan β＝，‎ ‎∴tan(α＋β)＝ ‎＝＝1.‎ ‎∵α，β均为锐角，‎ ‎∴α＋β∈(0，π)，‎ ‎∴α＋β＝.‎ ‎(2)∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，‎ ‎∴tan∠BAD＝＝，‎ tan∠CAD＝＝，‎ tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)‎ ‎＝ ‎＝ 7‎ ‎＝.]‎ ‎[规律方法]　1.公式T(α±β)的结构特征和符号规律：‎ ‎(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．‎ ‎(2)符号规律：分子同，分母反．‎ ‎2．利用公式T(α＋β)求角的步骤：‎ ‎(1)计算待求角的正切值．‎ ‎(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．‎ ‎(3)根据角的范围及三角函数值确定角．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知tanα－＝，则tan α＝________.‎ ‎(2)已知角α，β均为锐角，且cos α＝，tan(α－β)＝－，则tan β＝________.‎ ‎(1)　(2)3　[(1)因为tanα－＝，‎ 所以tan α＝tanα－＋ ‎＝＝＝.‎ ‎(2)因为cos α＝，α为锐角，所以sin α＝，tan α＝，‎ 所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝3.]‎ 两角和与差的正切公式的逆用 ‎　(1)＝________.‎ ‎(2)＝________. 【导学号：84352318】‎ ‎[思路探究]　注意特殊角的正切值和公式T(α±β)的结构，适当变形后逆用公式求值．‎ ‎(1)　(2)－1　[(1)原式＝ 7‎ ‎＝tan(45°＋15°)‎ ‎＝tan 60°＝.‎ ‎(2)原式＝ ‎＝ ‎＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.]‎ ‎[规律方法]　公式T(α±β)的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.‎ 如tan＝1，tan＝，tan＝等.‎ 要特别注意tan＝，tan＝.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．已知α、β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则(　　)‎ A．tan(α＋β)＝3tan(α－β)‎ B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)‎ C．3tan(α＋β)＝tan(α－β)‎ D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)‎ A　[∵sin 2α＝2sin 2β，‎ ‎∴sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，‎ ‎∴sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)‎ ‎＝2sin(α＋β)cos(α－β)－2cos(α＋β)sin(α－β)，‎ ‎∴sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)，‎ 两边同除以cos(α－β)cos(α＋β)得 tan(α＋β)＝3tan(α－β)．]‎ 两角和与差的正切公式的变形运用 ‎[探究问题]‎ ‎1．两角和与差的正切公式揭示了tan αtan β与哪些式子的关系？‎ 提示：揭示了tan αtan β与tan α＋tan β，tan αtan β与tan α－tan β之间的关系．‎ ‎2．若tan α、tan β是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－‎4ac≥0)的两个根，则如何用a、b、c表示tan(α＋β)?‎ 7‎ 提示：tan(α＋β)＝＝＝－.‎ ‎　(1)tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝________.‎ ‎(2)已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状.‎ ‎【导学号：84352319】‎ ‎[思路探究]　(1)看到tan 67°－tan 22°与tan 67°tan 22°想到将tan(67°－22°)展开变形，寻找解题思路．‎ ‎(2)先由关于角A，B的等式求出tan(A＋B)得角A＋B，然后求角C并代入关于角B，C的等式求角B，最后求角A，判断△ABC的形状．‎ ‎(1)1　[∵tan 67°－tan 22°‎ ‎＝tan(67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°)‎ ‎＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°)‎ ‎＝1＋tan 67°tan 22°，‎ ‎∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°‎ ‎＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1.]‎ ‎(2)解：∵tan A＋tan B ‎＝tan Atan B－1，‎ ‎∴(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1，‎ ‎∴＝－，‎ ‎∴tan(A＋B)＝－.‎ 又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，‎ ‎∴C＝.‎ ‎∵tan B＋tan C＋tan Btan C＝，‎ tan C＝，‎ ‎∴tan B＋＋tan B＝，tan B＝，‎ ‎∴B＝，∴A＝，‎ ‎∴△ABC为等腰钝角三角形．‎ 7‎ 母题探究：1.将例3(1)中的角同时增加1°结果又如何？‎ ‎[解]　∵tan 45°＝tan(68°－23°)＝，‎ ‎∴1＋tan 68°tan 23°＝tan 68°－tan 23°，‎ 即tan 68°－tan 23°－tan 68°tan 23°＝1.‎ ‎2．能否为例3(1)和探究1归纳出一个一般结论？若能，试证明．‎ ‎[解]　一般结论：若α－β＝45°(α，β≠k180°＋90°，k∈Z)，则tan α－tan β－tan αtan β＝1.‎ 证明：∵tan 45°＝tan(α－β)＝，‎ ‎∴1＋tan αtan β＝tan α－tan β，‎ 即tan α－tan β－tan αtan β＝1.‎ ‎[规律方法]　1.整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．‎ ‎2．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：‎ ‎(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；‎ ‎(2)1－tan αtan β＝；‎ ‎(3)tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；‎ ‎(4)tan α·tan β＝1－.‎ 提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α＝(　　)‎ A．　　　　 B．－　　　　‎ C．1　　　　 D．－1‎ A　[tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝.]‎ ‎2．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于(　　) ‎ ‎【导学号：84352320】‎ A．2　　　　 B．1 ‎ C．　　　　 D．4‎ C　[∵tan(α＋β)＝＝4，且tan α＋tan β＝2，‎ ‎∴＝4，解得tan αtan β＝.]‎ 7‎ ‎3．求值：tan＝________.‎ ‎－2＋　[tan＝－tan＝－tan ‎＝－＝－ ‎＝－2＋.]‎ ‎4．若tan＝3，则tan α的值为________．‎ 　[tan α＝tan ‎＝＝ ‎＝＝＝.]‎ ‎5．已知cos α＝，cos β＝，其中α，β都是锐角，求tan(α＋β)的值. ‎ ‎【导学号：84352321】‎ ‎[解]　因为α，β都是锐角，所以sin α＝＝，sin β＝＝，‎ tan α＝＝2，tan β＝＝，‎ 所以tan(α＋β)＝＝－2.‎ 7‎