2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）

2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）

‎2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i ‎2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（∁UA）∩B的子集个数为（　　）‎ A．7 B．3 C．8 D．9‎ ‎3．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的ai为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（　　）‎ A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10‎ ‎5．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（1，2）‎ ‎7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（　　）‎ A．11 B． C． D．‎ ‎8．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，则k的值为（　　）‎ A．1006 B．1007 C．1008 D．1009‎ ‎9．（5分）已知非零向量，，满足|﹣|=||=4，（﹣）•（﹣）=0，若对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（　　）‎ A．随增大而增大 B．随增大而减小 C．是2 D．是4‎ ‎10．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（　　）‎ A．4π B．12π C．16π D．36π ‎11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2ey﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[1，e] B． C．（1，e] D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知a＞0，展开式的常数项为15，则=　 　．‎ ‎14．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是　 　．‎ ‎15．（5分）正项数列{an}的前n项和为Sn，且（n∈N*），设，则数列{cn}的前2016项的和为　 　．‎ ‎16．（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF周长最小时，其面积为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．‎ ‎（Ⅰ）求AD的长；‎ ‎（Ⅱ）求cosC．‎ ‎18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．‎ ‎（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．‎ ‎19．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？‎ 经济损失不超过 ‎4000元 经济损失超过 ‎4000元 合计 捐款超过 ‎500元 a=30‎ b 捐款不超 过500元 c d=6‎ 合计 P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 附：临界值表参考公式：，．‎ ‎20．（12分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；‎ ‎（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=+be﹣x，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，求k的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．‎ ‎（1）求点A，B，C，D的直角坐标；‎ ‎（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．‎ ‎（1）求集合M；‎ ‎（2）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．‎ ‎　‎ ‎2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i ‎【解答】解：复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，‎ 所以z2=1﹣i，‎ ‎∴z1z2=（1+i）（1﹣i）=2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（∁UA）∩B的子集个数为（　　）‎ A．7 B．3 C．8 D．9‎ ‎【解答】解：由|x+1|﹣1＞0，得|x+1|＞1，即x＜﹣2或x＞0．‎ ‎∴A={x|x＜﹣2或x＞0}，则∁UA={x|﹣2≤x≤0}；‎ 由sinπx=0，得：πx=kπ，k∈Z，∴x=k，k∈Z．‎ 则B={x|sinπx=0}={x|x=k，k∈Z}，‎ 则（∁UA）∩B={x|﹣2≤x≤0}∩{x|x=k，k∈Z}={﹣2，﹣1，0}．‎ ‎∴（∁UA）∩B的元素个数为3．‎ ‎∴（∁UA）∩B的子集个数为：23=8．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜‎ π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【解答】解：由题意相邻对称轴的距离为，可得周期T=π，那么ω=2，‎ 角φ的终边经过点，在第一象限．‎ 即tanφ=，‎ ‎∴φ=‎ 故得f（x）=sin（2x+）‎ 则=sin（+）=cos=．‎ 故选：A ‎　‎ ‎4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的ai为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（　　）‎ A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10‎ ‎【解答】‎ 解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，‎ 由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n=12，‎ 由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，‎ 则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有50﹣12﹣12=26，故m=26‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω2，如图：‎ 对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值就是可行域内的点O与圆的圆心连线减去半径，‎ 所以，|MN|的最小值为：=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（1，2）‎ ‎【解答】解：∵当x＞0时，f（x）＞0，∴2﹣m＞0，故m＜2．‎ f′（x）=．‎ ‎∵f（x）有两个绝对值大于1的极值点，∴m﹣x2=0有两个绝对值大于1的解，‎ ‎∴m＞1．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（　　）‎ A．11 B． C． D．‎ ‎【解答】解：由多面体的三视图得：‎ 该多面体为如图所示的四棱锥P﹣ABCD，‎ 其中底面ABCD是边长为1的正方形，‎ 平面PAD⊥平面ABCD，‎ 点P到平面ABCD的距离为1，‎ ‎∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，‎ ‎∴PA==，‎ ‎∴该多面体各面的面积中最大的是△PAB的面积：‎ S△PAB==．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2014＞0，S2015＜‎ ‎0，对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，则k的值为（　　）‎ A．1006 B．1007 C．1008 D．1009‎ ‎【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得S2014‎ ‎==1007（a1007+a1008）＞0，‎ ‎∴a1007+a1008＞0‎ 同理由S2015＜0可得2015a1008＜0，可得a1008＜0，‎ ‎∴a1007＞0，a1008＜0，且|a1007|＞|a1008|‎ ‎∵对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，‎ ‎∴k的值为1008‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知非零向量，，满足|﹣|=||=4，（﹣）•（﹣）=0，若对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（　　）‎ A．随增大而增大 B．随增大而减小 C．是2 D．是4‎ ‎【解答】解：假设=（4，0）、=（2，2）、=（x，y），‎ ‎∵（﹣）•（﹣）=0，‎ ‎∴（4﹣x，﹣y）•（2﹣x，2﹣y）=x2+y2﹣6x﹣2y+8=0，‎ 即（x﹣3）2+（y﹣）2=4，‎ ‎∴满足条件的向量的终点在以（3，）为圆心、半径等于2的圆上，‎ ‎∴||的最大值与最小值分别为m=2+2，n=2﹣2，‎ ‎∴m﹣n=4，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△‎ ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（　　）‎ A．4π B．12π C．16π D．36π ‎【解答】解：∵AB=3，AC=，BC=2，‎ ‎∴AB2+AC2=BC2，‎ ‎∴AC⊥AB，‎ ‎∴△ABC的外接圆的半径为，‎ ‎∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，‎ ‎∴球心在BC边的高上，‎ 设球心到平面ABC的距离为h，则h2+3=R2=（﹣h）2，‎ ‎∴h=1，R=2，‎ ‎∴球O的表面积为4πR2=16π．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程 为y=x，A（a，0），‎ P（m，），（m＞0），‎ 由=3，可得Q（3m，），‎ 圆的半径为r=|PQ|==2m•，‎ PQ的中点为H（2m，），‎ 由AH⊥PQ，可得=﹣，‎ 解得m=，r=．‎ A到渐近线的距离为d==，‎ 则|PQ|=2=r，‎ 即为d=r，即有=•．‎ 可得=，‎ e====．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2ey﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[1，e] B． C．（1，e] D．‎ ‎【解答】解：由x+y2ey﹣a=0成立，解得y2ey=a﹣x，‎ ‎∴对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2ey﹣a=0成立，‎ ‎∴a﹣1≥（﹣1）2e﹣1，且a﹣0≤12×e1，‎ 解得≤a≤e，其中a=1+时，y存在两个不同的实数，因此舍去，a的取值范围是．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知a＞0，展开式的常数项为15，则=　　．‎ ‎【解答】解：由的展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r•a6﹣r•，‎ 令=0，求得r=2，故常数项为，可得a=1，‎ 因此原式为 ‎=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是　[﹣16，16]　．‎ ‎【解答】解：关于x，y的不等式|x|+|y|＜1表示的可行域如图的阴影部分：可行域与坐标轴的交点坐标（1，0），（0，1），（0，﹣1），（﹣1，0），‎ 关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ax+4by≥8表示的范围在可行域外侧，‎ 当a＞0，b＞0时满足题意，可得≥1，≥1，可得0＜ab≤16，‎ 当a＞0，b＜0时满足题意，可得﹣1，，可得：﹣2≤b＜0，0＜a≤8可得﹣16≤ab＜0，‎ 当a＜0，b＞0时满足题意，可得，，可得：0＜b≤2，﹣8≤a＜0可得﹣16≤ab＜0，‎ 当a＜0，b＜0时满足题意，可得，，可得：﹣2≤b＜0，﹣8≤a＜0，∴0＜ab≤16，‎ 当ab=0时，不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解；‎ 故ab的取值范围是：[﹣16，16]；‎ 故答案为：[﹣16，16]．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）正项数列{an}的前n项和为Sn，且（n∈N*），设，则数列{cn}的前2016项的和为　　．‎ ‎【解答】解：正项数列{an}的前n项和为Sn，且（n∈N*）①，‎ 则：②，‎ ‎②﹣①得：+an+1﹣an，‎ 整理得：an+1﹣an=1，‎ 当n=1时，，‎ 解得：a1=1，‎ 所以：数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．‎ 则an=1+n﹣1=n，‎ 所以：．‎ 则：=，‎ 数列{cn}的前2016项的和为：，‎ ‎=﹣1+，‎ ‎=﹣．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF周长最小时，其面积为　4　．‎ ‎【解答】解：椭圆C：+=1的a=2，b=2，c=4，‎ 设左焦点为F'（﹣4，0），右焦点为F（4，0）．‎ ‎△APF周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+（2a﹣|PF'|）‎ ‎=|AF|+|AP|﹣|PF'|+2a≥|AF|﹣|AF'|+2a，‎ 当且仅当A，P，F'三点共线，即P位于x轴上方时，三角形周长最小．‎ 此时直线AF'的方程为y=（x+4），代入x2+5y2=20中，可求得P（0，2），‎ 故S△APF=S△PF'F﹣S△AF'F=×2×8﹣×1×8=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．‎ ‎（Ⅰ）求AD的长；‎ ‎（Ⅱ）求cosC．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由得到：AD⊥AC，‎ 所以，‎ 所以．（2分）‎ 在△ABD中，由余弦定理可知，BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosBAD 即AD2﹣8AD+15=0，（4分）‎ 解之得AD=5或AD=3，‎ 由于AB＞AD，‎ 所以AD=3．（6分）‎ ‎（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，，‎ 又由，‎ 可知（8分）‎ 所以（10分）‎ 因为，‎ 即（12分）‎ ‎　‎ ‎18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．‎ ‎（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．‎ ‎【解答】解：（1）当N为CF的中点时，AF∥平面BDN．‎ 证明：连结AC交BD于M，连结MN．‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，∴M是AC的中点，‎ ‎∵N是CF的中点，‎ ‎∴MN∥AF，又AF⊄平面BDN，MN⊂平面BDN，‎ ‎∴AF∥平面BDN．‎ ‎（2）过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，过O作x轴⊥AB，作y轴⊥BC于P，则P为BC的中点．‎ 以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设AD=1，则BF=1，FP=，∵EF==1，∴OP=（AB﹣EF）=，∴OF=．‎ ‎∴A（，﹣，0），B（，，0），C（﹣，，0），F（0，0，‎ ‎），N（﹣，，）．‎ ‎∴=（0，2，0），=（﹣，，），=（﹣，﹣，）．‎ 设平面ABF的法向量为=（x，y，z），则，‎ ‎∴，令z=得=（2，0，），‎ ‎∴=﹣1，||=，||=．‎ ‎∴cos＜，＞==﹣．‎ ‎∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为|cos＜，＞|=．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？‎ 经济损失不超过 ‎4000元 经济损失超过 ‎4000元 合计 捐款超过 ‎500元 a=30‎ b 捐款不超 过500元 c d=6‎ 合计 P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 附：临界值表参考公式：，．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）记每户居民的平均损失为元，则：=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000=3360…（2分）‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图，得：‎ 损失超过4000元的居民有：‎ ‎（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15户，‎ ‎∴ξ的可能取值为0，1，2，‎ P（ξ=0）==，‎ P（ξ=1）==，‎ P（ξ=2）==，‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ‎ ξ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎2 ‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ Eξ=0×+1×+2×=．‎ ‎（Ⅲ）如图：‎ 经济损失不超过 ‎4000元 经济损失超过 ‎4000元 合计 捐款超过 ‎500元 ‎30‎ ‎9‎ ‎39‎ 捐款不超 过500元 ‎5‎ ‎6‎ ‎11‎ 合计 ‎35‎ ‎15‎ ‎50‎ K2=≈4.046＞3.841，‎ 所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．…（12分）‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；‎ ‎（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离 ‎，解得c=1，‎ 所以抛物线C的方程为x2=4y．‎ ‎（2）设，，‎ 由（1）得抛物线C的方程为，，所以切线PA，PB的斜率分别为，，‎ 所以PA：①PB：②‎ 联立①②可得点P的坐标为，即，，‎ 又因为切线PA的斜率为，整理得，‎ 直线AB的斜率，‎ 所以直线AB的方程为，‎ 整理得，即，‎ 因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，‎ 所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．‎ ‎（3）根据抛物线的定义，有，，‎ 所以=，‎ 由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，‎ 所以=．‎ 所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=+be﹣x，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，求k的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=+be﹣x的导数为 f′（x）=，‎ 由切线与直线2x﹣y=0垂直，可得 f（0）=1，f′（0）=﹣，‎ 即有b=1，a﹣b=﹣，‎ 解得a=b=1；‎ ‎（2）当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，‎ 即为+e﹣x＞+ke﹣x，‎ 即有（1﹣k）e﹣x＞，即1﹣k＞，‎ 可令g（x）=，g（﹣x）==g（x），‎ 即有g（x）为偶函数，只要考虑x＞0的情况．‎ 由g（x）﹣1=，‎ x＞0时，ex＞e﹣x，‎ 由h（x）=2x﹣ex+e﹣x，h′（x）=2﹣（ex+e﹣x）≤2﹣2=0，‎ 则h（x）在x＞0递减，即有h（x）＜h（0）=0，‎ 即有g（x）＜1．‎ 故1﹣k≥1，解得k≤0．‎ 则k的取值范围为（﹣∞，0]．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．‎ ‎（1）求点A，B，C，D的直角坐标；‎ ‎（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为 点A，B，C，D的直角坐标为 ‎（2）设P（x0，y0），则为参数）‎ t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ ‎∵sin2φ∈[0，1]‎ ‎∴t∈[32，52]‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．‎ ‎（1）求集合M；‎ ‎（2）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．‎ ‎【解答】解：（1）‎ 由f（x）＞﹣1，得或或 解得0＜x＜2，‎ 故M={x|0＜x＜2}．‎ ‎（2）由（1）知0＜a＜2，‎ 因为，‎ 当0＜a＜1时，，所以；‎ 当a=1时，，所以；‎ 当1＜a＜2时，，所以．‎ 综上所述：当0＜a＜1时，；‎ 当a=1时，；‎ 当1＜a＜2时，．‎ ‎　‎