2014福建5月份质检理数试卷

2014福建5月份质检理数试卷

‎2014年福建省普通高中毕业班质量检查 理 科 数 学 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．下列函数中，值域为的函数是 A． B． C． D．‎ ‎2．执行右图所示的程序框图．若输入的的值为3，则输出的的值为 A． B． C． D．‎ ‎3．“”是“关于的方程有实数根”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正边形内的概率为，下列论断正确的是 A．随着的增大，增大 B．随着的增大，减小 C．随着的增大，先增大后减小 D．随着的增大，先减小后增大 ‎ ‎5．已知满足则的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎6．如图，AB是⊙O的直径，VA垂直⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是 A．MN//AB B．MN与BC所成的角为45° ‎ ‎ C．OC⊥平面VAC D．平面VAC⊥平面VBC ‎7．若直线过曲线的对称中心，则的最小值为 A． [Z.XB． C． D．6 ‎ ‎8.已知双曲线的离心率为，一条渐近线为，抛物线：的焦点为，点为直线与抛物线异于原点的交点，则 ‎ A． [Z.XB． C． D．‎ ‎9．若曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎10.在平面直角坐标系中，是一个平面点集，如果存在非零平面向量，对于任意，均有，使得，则称为平面点集的一个向量周期．现有以下四个命题：‎ ‎①若平面点集存在向量周期，则也是的向量周期；‎ ‎②若平面点集形成的平面图形的面积是一个非零常数，则不存在向量周期；‎ ‎③若平面点集，则为的一个向量周期；‎ ‎④若平面点集，则为的一个向量周期．‎ 其中正确的命题个数是 A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）‎ 二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．‎ ‎11．复数等于 ．‎ ‎12．的展开式中的常数项等于 ．‎ ‎13．已知△的角，，所对的边分别为，，，，，，则__________. ‎ ‎14．对于数列，如果存在各项均为正整数的等差数列和各项均为正整数的等比数列，使得，则称数列为“DQ数列”．已知数列是“DQ数列”，其前5项分别是：3,6,11,20,37，则 ．‎ ‎15．设是函数的导函数，且．现给出以下四个命题：‎ ‎①若是奇函数，则必是偶函数； X②若是偶函数，则必是奇函数；‎ ‎③若是周期函数，则必是周期函数；④若是单调函数，则必是单调函数．‎ 其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎16. (本小题满分13分)‎ 已知函数的图象过点（，0）.‎ ‎（I）求实数的值以及函数的单调递增区间；‎ ‎（II）设的图象与轴、轴及直线（）所围成的曲边四边形面积为，求关于的函数的解析式.‎ ‎17. (本小题满分13分)‎ 某地区共有100万人，现从中随机抽查800人，发现有700人不吸烟，100人吸烟．这100位吸烟者年均烟草消费支出情况的频率分布直方图如图．将频率视为概率，回答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）在该地区随机抽取3个人，求其中至少1人吸烟的概率；‎ ‎（Ⅱ）据统计，烟草消费税大约为烟草消费支出的40%，该地区为居民支付因吸烟导致的疾病治疗等各种费用年均约为18800万元．问：当地烟草消费税是否足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用？说明理由．‎ ‎18．(本小题满分13分)‎ 如图，三棱柱的底面是边长为4正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=，为的中点．‎ ‎（I）求证：MC⊥AB；‎ ‎（II）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，‎ 确定点的位置；若不存在，说明理由．‎ ‎（Ⅲ）若点为的中点，求二面角的余弦值．‎ ‎19. (本小题满分13分)‎ 如图，设是圆上的点，过作直线垂直轴于点，为上一点，且，当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）某同学研究发现：若把三角板的直角顶点放置在圆的圆周上，使其一条直角边过点，则三角板的另一条直角边所在直线与曲线有且只有一个公共点．你认为该同学的结论是否正确？若正确，请证明；若不正确，说明理由．‎ ‎（Ⅲ）设直线是圆所在平面内的一条直线，过点作直线的垂线，垂足为，连接，请根据“线段的长度”讨论“直线与曲线的公共点个数”．（直接写出结论，不必证明）‎ ‎20．(本小题满分14分)‎ 已知函数,.‎ ‎ (Ⅰ)求的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)若的最小值为0，回答下列问题：‎ ‎（ⅰ）求实数的值；‎ ‎（ⅱ）已知数列满足,，记[]表示不大于的最大整数，求，求.‎ ‎21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． ‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 已知，若矩阵所对应的变换把直线变换为自身.‎ ‎（Ⅰ）求实数；‎ ‎（Ⅱ）若向量，，试判断和是否为M的特征向量，并证明之.‎ ‎（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程 已知在平面直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为；在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为．‎ ‎（Ⅰ）写出直线的参数方程和圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与圆相交于两点，求弦的长．‎ ‎（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲 若，且满足.‎ ‎（Ⅰ）求的最大值；‎ ‎（Ⅱ）证明：. ‎ ‎2014年福建省普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准 ‎ 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．‎ ‎ 1．A； 2．B； 3．A； 4．A；5．A；6．D；7．C；8．D；9．C；10．A．‎ 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．‎ ‎ 11．1+； 12．20； 13．8； 14．； 15．①．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．本小题主要考查二倍角公式、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象与性质及定积分等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分．‎ 解法一：（I）‎ ‎． ……………………3分 因为的图象过点（，0），所以，解得. ………5分 所以，由，得，.‎ 故的单调递增区间是，. ……………7分 ‎（Ⅱ）由（I）得，.‎ 所以 ……………9分 ‎． ……………12分 所以（）. ……………13分 解法二：‎ ‎ (Ⅰ)因为函数的图象过点（，0），所以.‎ 又 ‎. ………………3分 所以，解得. ………………5分 以下同解法一.‎ ‎（II）由（I）得.‎ 所以 ……………9分 ‎. ………………12分 所以（）. ………………13分 ‎17．本题主要考查频率分布直方图、样本平均数等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．‎ 解：（Ⅰ）依题意可知，该地区吸烟者人数占总人数的． ……………..2分 所以抽取的3个人中至少1人吸烟的概率为 ‎……………..5分 ‎． ……………..6分ks5u ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可知，吸烟者烟草消费支出的平均数为 ‎（万元）． ……………..8分 又该地区吸烟者人数为万， ……………..10分 所以该地区年均烟草消费税为（万元）．……………..12分 又由于该地区因吸烟导致的疾病治疗等各种费用约为18800万元，它超过了当地烟草消费税，‎ 所以当地的烟草消费税不足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用．……………..13分 ‎18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、简单几何体的体积、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分．‎ 解：（I）取AB中点O，连接OM，OC. ks5u ‎∵M为A1B1中点，∴MO∥A‎1A，又A‎1A⊥平面ABC，∴MO⊥平面ABC，∴MO⊥AB…………….2分 ‎ ‎∵△ABC为正三角形，∴AB⊥CO 又MO∩CO=O，∴AB⊥平面OMC ‎ 又∵MC平面OMC ∴AB⊥MC……………5分 ‎（II）以O为原点，以，，的方向分别为轴，轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．如图.依题意 ‎． …………….6分 设，‎ 则．………….7分 要使直线平面，只要 即，解得． …………….8分 ‎∴的坐标为． ‎ ‎∴当为线段的中点时，平面．…………….10分 ‎（Ⅲ）取线段的中点，则，易知平面，‎ 故为平面的一个法向量．……….11分 又由（II）知为平面的一个法向量． …………….12分 设二面角的平面角为，则 ‎．‎ ‎∴二面角 的余弦值为． …………….13分 ‎19．本小题主要考查圆的方程与性质、椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．满分13分．‎ 解：（Ⅰ）设，，‎ 因为垂直轴于点，为直线上一点，且，‎ 所以，，…………….2分 因为点在圆上，所以 即，整理得． ‎ 故曲线的方程为．…………….4分 ‎（Ⅱ）设三角板的直角顶点放置在圆的圆周上的点处，则，‎ 又设三角板的另一条直角边所在直线为．‎ ‎（ⅰ）当时，直线轴，，‎ 显然与曲线有且只有一个公共点． ……………5分 ‎（ⅱ）当时，则.‎ 若时，则直线：，显然与曲线有且只有一个公共点；………6分 若时，则直线的斜率，‎ 所以，即 ，……………7分 由得，‎ 即． （*）‎ 又， ……………8分 所以方程（*）可化为， ‎ 所以， ……………9分 所以直线与曲线有且只有一个公共点． ‎ 综上述，该同学的结论正确。 ……………10分 ‎（Ⅲ）当时，直线与椭圆没有公共点；‎ 当时，直线与椭圆有且只有一个公共点；‎ 当时，直线与椭圆有两个公共点． ………….13分 ‎20．本小题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等．满分14分．‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域为，且．……………1分 当时，，所以在区间内单调递增；…………………2分 当时，由，解得；由，解得．‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为．……………………3分 综上述：时，的单调递增区间是；‎ ‎ 时，的单调递减区间是，单调递增区间是．…………………4分 ‎（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当时，无最小值，不合题意；……………………………5分 当时，…………………………………6分 令，则，‎ 由，解得；由，解得．‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为．‎ 故，即当且仅当x=1时，=0.‎ 因此，．………………………………………8分 ‎（ⅱ）因为，所以.‎ 由得于是．因为，所以.‎ 猜想当，时，．……………………………………10分 下面用数学归纳法进行证明．‎ ①当时，，故成立．………………………………11分 ②假设当n=k(，)时，不等式成立. ks5u 则当n=k+1时，，‎ 由（Ⅰ）知函数在区间单调递增，‎ 所以，又因为，‎ ‎．‎ 故成立，即当n=k+1时，不等式成立．‎ 根据①②可知，当，时，不等式成立．…………………………13分 因此，=…………………………………14分 ‎21．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分．‎ ‎（Ⅰ）解法一：解：在直线上任取两点（1，0）和（0，1），‎ 由和，　………….2分 知点和点均在直线上，‎ 所以 解得 所以矩阵 ．　‎ 经检验，所求矩阵M符合要求．………….4分 ‎（Ⅱ）因为，，‎ 所以不是M的特征向量，是M的特征向量．　　　………….7分 解法二：（Ⅰ）设为直线上任意一点，其在M的作用下变为Q． ‎ 则 ………….2分 依题意，点Q在直线上，所以，‎ 即．依题意，直线与直线重合，‎ 所以解得故矩阵．　　　　　………….4分 ‎（Ⅱ）同解法一　　　………….7分 ‎（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分 ‎7分．‎ 解：（Ⅰ）依题意知，直线的参数方程为．　　　　　………….2分 由，得，‎ 所以圆的标准方程为．　　　　　………….4分 ‎（Ⅱ）设A，B对应的参数分别为，将代入，得，即，所以，，所以，‎ 由参数的几何意义知．　　　　………….7分 ‎（3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲 本小题主要考查平均值不等式、柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想．满分7分．‎ 解：（Ⅰ）因为，所以，故 ．………….3分 ‎ 当且仅当时等号成立，所以的最大值为.　　　　　　　………….4分 ‎（Ⅱ）证明：因为，且，所以根据柯西不等式， ‎ 可得=（） ………….5分 ‎= ‎ ‎=．‎ 所以. 　　………….7分 ks5u