2017-2018学年广东省佛山一中高二上学期第二次段考（12月） 数学（理）试题

2017-2018学年广东省佛山一中高二上学期第二次段考（12月） 数学（理）试题

佛山一中 2017——2018 学年上学期第二次段考 高二年级理科数学试题 命题人：涂悠悠 审题人：雷沅江 一、选择题（共 12 小题；共 60 分） 1. 给定下列四个命题： ①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②如果一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂 直； ③如果一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于 另一个平面； ④如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂 直． 其中为真命题的是 A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④ 2. 已知直线 和平面 ， ， ， ， ，且 在 ， 内的射影分别为 直线 和 ，则直线 和 的位置关系是 A. 相交或平行 B. 相交或异面 C. 平行或异面 D. 相交、平行或异面 3. 某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为 的正方形，则 此四面体的外接球的表面积为 A. B. C. D. 4. 设四边形 的两条对角线为 ， ，则“四边形 为菱形”是“ ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设入射光线沿直线 射向直线 ，则被 反射后，反射光线所在 的直线方程是 A. B. C. D. 6. 已知双曲线 的焦距为 ，且双曲线的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 7. 如图，在四棱锥 中，侧面 为正三角形，底面 为正方形，侧 面 ， 为底面 内的一个动点，且满足 ，则点 在 正方形 内的轨迹为下图中的 A. B. C. D. 8. 双 曲 线 的 两 个 焦 点 分 别 为 ， 点 在 双 曲 线 上 ， 且 满 足 ，则 的面积为 A. B. C.1 D. 9. 已知球 的半径为 ，四点 ， ， ， 均在球 的表面上，且 ， ， ，则点 到平面 的距离为 A. B. C. D. 10. 已知 是直线 上的动点， ， 是圆 的切线， ， 是切点， 是圆心，那么四边形 面积的最小值是 A. B. C. D. 11. 为正四面体 棱 的中点，平面 过点 ，且 ， ， ，则 ， 所成角的余弦值为 A. B. C. D. 12. 设椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，其焦距为 ，点 在椭圆的内部，点 是椭圆 上的动点，且 恒成立，则椭 圆离心率的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（共 4 小题；共 20 分） 13. 若命题” 使 ”是假命题，则实数 的取值范围 为 . 14. 如图所示，是一个由三根细铁杆 ， ， 组成的支架，三根铁杆的两两夹角都 是 ， 一 个 半 径 为 的 球 放 在 支 架 上 ， 则 球 心 到 的 距 离 为 15. 在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，直线 与圆 相交于 ， 两点， 为弦 上一动点，若以 为圆心， 为半径的圆与 圆 总有公共点，则实数 的取值范围为 ． 16. 圆 经过椭圆 的两个焦点 ， ，且 与该椭圆有四个不同的交点，设 是其中的一个交点，若 的面积为 ，椭 圆的长轴为 ，则 ． 三、解答题（共 6 小题；共 70 分） 17. （10 分）如图，三棱锥 中， 平面 ， ． （1）求证： 平面 ； （2）若 ， 为 中点，求三棱锥 的体积． 18. （12 分）已知点 ，圆 ： ． （1）求经过点 与圆 相切的直线方程； （2）若点 是圆 上的动点，求 的取值范围． 19. （12 分）如图，在四棱锥 中， 为正三角形，四边形 为直 角梯形， ， ， ，点 ， 分别为 ， 的中点， ． （1）证明： ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值． 20. （12 分） 已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆的一个短轴端点 及两个焦点为顶点的三角形的面积为 ，圆 的方程为 ． （1）求椭圆及圆 的方程： （2）过原点 作直线 与圆 交于 ， 两点，若 ，求直线 被圆 截得的弦长． 21. （12 分）如图 ， ， 分别是 ， 的中点， ， ，沿 着 将 折起，记二面角 的度数为 ． （1）当 时，即得到图 ，求二面角 的余弦值； （2）如图 中，若 ，求 的值． 22. （12 分）已知两点 (-1,0)及 (1,0)，点 P 在以 为焦点的椭圆 C 上，且 构成等差数列。 （1）求椭圆 的方程； （2）如图，动直线 与椭圆 有且仅有一个公共点，点 是直线上的两点， 且 , ,求四边形 面积 的最大值。 佛山一中 2017——2018 学年上学期第二次段考 高二年级理科数学答案 一、选择题（共 12 小题，每题 5 分）： 1-5.DDCAA,6-10.BACBD,11-12 AB 二、填空题（共 4 小题，每题 5 分）： 13. 14. , 15. 16. 三、大题（共 6 小题，17 题 10 分,18-22 每题 12 分，总共 70 分）： 17. (10 分)（1） 在三棱锥 中， 平面 ， 又 平面 ， ． …………1 分 又 ，且 ， 平面 ． …………3 分 （2） 法一：由 平面 ，得 ， ， ． …………5 分 是 中点， ． …………6 分 由（1）知， ， 三棱锥 的高 ， …………8 分 因此三棱锥 的体积为 …………10 分 法二： 由 平面 知，平面 平面 ， …………4 分 又平面 平面 ， 如图，过点 作 交 于点 ， 则 平面 ，且 …………6 分 又 ，所以 …………7 分 三棱锥 的体积 …………10 分 18. （1） 由题意，所求直线的斜率存在． …………1 分 设切线方程为 ，即 ， …………2 分 所以圆心 到直线的距离为 ， …………3 分 所以 ，解得 ， …………4 分 所求直线方程为 或 ． …………6 分 （2） 设点 ， 所以 ， ． …………8 分 所以 ． …………9 分 因为点 在圆上，所以 ，所以 ． …………10 分 又因为 ，所以 ， …………11 分 所以 ． …………12 分 19. （1） 取 中点 ，连接 ， ，如图 ， 易知 ， …………2 分 同理 ． ， 得 ，…………4 分 又 ， ， ， 所以， ． …………5 分 又 ，所以直线 ． …………6 分 （2） 解法一：连接 ， ．如图 ， 因为 ， ，且 ， 所以 ， 又 ， 所以 ． 又因为 ， ， ， ， 所以 ， ． …………8 分 过点 作 于点 ，连接 ， 由 可知， ． 所以直线 与平面 所成角为 ． …………10 分 在直角三角形 中，求得 ， 在直角三角形 中，求得 ， 所以， ． ……………12 分 20. （1） 设椭圆的焦距为 ，左、右焦点分别为 ， ，由离心率为 ， 可得 ，即 ， ， ……………………1 分 以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为 ， 即 ， 所以 ，则 ， ， ……………………3 分 所以椭圆的方程为 ，圆 的方程为 ． …… ……5 分 （2）法一：由题意得 …… ……8 分 所以 …… ……10 分 …… … …12 分 法二： ①当直线 的斜率不存在时，直线方程为 ，与圆 相切， 不 符 合 题 意； ……………………………………6 分 ② 当直线 的斜率存在时，设直线 方程为 ， 由 可得 ， 由条件可得 ，即 ， ………………………7 分 设 ， ， 则 ， ， ， ， 而圆心 的坐标为 ，则 ， ， 所以 ， …………………8 分 即 ， 所以 ， 解得 或 ， ………………………10 分 当 时，在圆 中，令 可得 ，故直线 被圆 截得的弦长为 ； 当 时，直线 的方程为 ，圆心 到直线 的距离 ， 故直线 被圆 截得的弦长为 ； ………………………11 分 综上可知，直线 被圆 截得的弦长为 ． …………………………………12 分 21. （ 1 ） 因 为 所 以 即 为 二 面 角 的 平 面 角 ……………1 分 当 时，则 …………………2 分 又 ，所以 ……………………………3 分 过点 向 作垂线交 延长线于 ，连接 ， 则 为二面角 的平面角． ……………………………4 分 设 ， ， ， ， ， ． ……………………………6 分 （2） 过点 向 作垂线，垂足为 ， 由（1）知 ，即面 ，所以 面 ……………………………7 分 又 面 ， ……………………………8 分 因为 ， ……………………………9 分 又 面 有 ， ……………………………10 分 因 为正三角形， 故 ，则 ， ……………………………11 分 而 ，故 ． ……………………………12 分 22.（1）依题意，设椭圆 的方程为 .因为 构成等差数列， 所以 ，所以 . ……………………2 分 又因为 ，所以 ，所以椭圆 的方程为 . ……………………4 分 （2）将直线的方程 代入椭圆 的方程 中，得 由直线与椭圆 仅有一个公共点知， ( )=0, 化简得： ， ……5 分 设 , , ……6 分 法 1：当 时，设直线的倾斜角为 ，则 = , 所以 ……8 分 因为 ，所以当 时， ， , . ………………10 分 当 时，四边形 是矩形， . ………………11 分 所以四边形 面积 的最大值为 . ………………12 分 法 2：因为 , , ………………8 分 所以 。 四边形 的面积 ……………… 10 分 当且仅当 时， ， ，所以 . 所以四边形 的面积 的最大值为 . …………………12 分