【数学】2019届一轮复习人教A版函数的性质学案（理）

【数学】2019届一轮复习人教A版函数的性质学案（理）

‎ 专题4 函数的性质 ‎【典例解析】‎ ‎1.（必修1第44页复习参考题A组第9题）已知函数在上具有单调性，‎ 求实数的取值范围.‎ ‎【解析】方法一：的对称轴，要使函数在上具有单调性，则或，解得的取值范围或.‎ 方法二：可逆向思考，若时，在区间上无单调性，解得：‎ 取它的补集得：的取值范围或.‎ ‎【反思回顾】（1）知识反思；函数单调性的概念，二次函数及其性质；‎ ‎（2）解题反思；本题已知区间有单调性，而对称轴不确定，即为轴动区间定问题。可先求出二次函数含有参数的对称轴方程，再根据题中条件所给的区间建立方程或不等式求出参数的范围。‎ ‎2.（必修1第39页习题1.3题A组第6题）已知函数 是定义域在R 上的奇函数，‎ 当 时，。画出函数的图象，并求出函数的解析式。‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】设时，则，又当时，，则 又是定义域在R 上的奇函数；所以 则得：，可得；‎ ‎【反思回顾】（1）知识反思；函数奇偶性的概念，二次函数的图像；‎ ‎（2）解题反思；本题先利用奇函数的图象关于原点对称画出函数的图象，在利用奇函数的定义求出函数的解析式．利用奇偶性求函数解析式，此类问题的一般做法是：‎ ‎①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．‎ ‎②利用的奇偶性f(x) =－f(－ x)或f(x) =f(－x)‎ ‎③要利用已知区间的解析式进行代入，从而解出f(x) ．‎ ‎3.（必修1第39页复习参考题B组第3题）已知函数是偶函数，而且在上是减函数，‎ 判断在上是增函数还是减函数，并证明你的判断.‎ ‎【解析】在上是减函数；‎ 证明：设x1＜x2＜0则-x1＞-x2＞0， ∵在（0，+∞）上是增函数∴f（-x1）＞f（-x2） 又是偶函数∴f（-x1）=f（x1），f（-x2）=x2） ∴f（x1）＞f（x2）∴在（-∞，0）上是减函数。‎ ‎【反思回顾】（1）知识反思；函数奇偶性与单调性 ‎（2）解题反思；本题为抽象函数单调性的证明，可由条件出发，遵循单调性的证明步骤（设，作差，下结论），关键需借助偶函数的性质进行替换，完成证明。同时启发我们注意函数性质之间的联系。‎ ‎【知识背囊】‎ ‎1.函数的单调性 ‎(1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2‎ 当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 ‎(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.‎ ‎2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 ‎(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；‎ ‎(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M ‎(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；‎ ‎(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 ‎3.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 ‎4.函数的周期性 ‎(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.‎ ‎(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.‎ ‎【变式训练】‎ 变式1.已知函数在区间内单调递减，则a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】函数图像是开口向上的抛物线，其对称轴是，由已知函数在区间 内单调递减可知区间应在直线的左侧，∴，解得，故选D．‎ 变式2.已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围 是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；‎ 当a≠0时，由得0

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