数学理卷·2017届广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测（2017

数学理卷·2017届广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测（2017

广东省汕头市2017届高三上学期期末教学质量监测 ‎ 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1.集合，，全集，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设复数，，其中为虚数单位，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）‎ A． B． C． D．2 ‎ ‎4.函数的图象与轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，若要得到函数的图象，只要将的图象（ ）个单位 A．向左平移 B．向左平移 C. 向左平移 D．向左平移 ‎5.函数的图象大致是（ ）‎ ‎6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的为2，2，5，则输出的（ ）‎ A．7 B．12 C. 17 D．34‎ ‎7.假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00~7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30~7：30之间随机第离家上学，则你在理考家前能收到牛奶的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.设等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9.将二项式展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知定义在上的函数满足，且当时，成立，若，，，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.设，且，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.在平面内，定点满足，，动点满足，，则的最大值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.命题“若，则”的否命题为 ．‎ ‎14.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．‎ ‎15.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，三地位于同一水平面上，这种仪器在地进行弹射实验，观测点两地相距100米，，在地听到弹射声音比地晚秒（已知声音传播速度为340米/秒），在地测得该仪器至高点处的仰角为，则这种仪器的垂直弹射高度 ．‎ ‎16.设变量满足约束条件，且的最小值是 ‎，则实数 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）数列的前项和满足，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎18. （本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）设二面角为，求直线与平面所成角的大小.‎ ‎19.（本小题满分12分）为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： ‎ 直径/‎ ‎58‎ ‎59‎ ‎61‎ ‎62‎ ‎63‎ ‎64‎ ‎65‎ ‎66‎ ‎67‎ ‎68‎ ‎69‎ ‎70‎ ‎71‎ ‎73‎ 合计 件数 ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎19‎ ‎33‎ ‎18‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎100‎ 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.‎ ‎（Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；①；‎ ‎②；③.‎ 评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级. ‎ ‎（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.‎ ‎（ⅰ）从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；‎ ‎（ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望. ‎ ‎20.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点 ‎（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；‎ ‎（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；‎ ‎（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得求实数的取值范围.‎ ‎21.（本小题满分12分）已知，曲线在处的切线方程为.‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）求在上的最大值；‎ ‎（3）证明：当时，.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 的极坐标方程为，.‎ ‎（1）求的参数方程；‎ ‎（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定的坐标.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知，，函数的最小值为2.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明：与不可能同时成立.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CDADD 6-10:CDCAB 11、12：DB 二、填空题 ‎13.若，则 14. 15.米 16.‎ 三、解答题 ‎17.（1）由题意，当时，，又因为，且，则，所以，又成等差数列，则，所以，解得，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.‎ ‎（2）由（1）知，∴，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎18.（1）解法一：因为底面为菱形，所以，又底面，所以.‎ 设，连结，因为，故 ‎，‎ 解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，其中，则，于是，从而，故，又，所以平面.‎ ‎（2），设为平面的法向量，则，即且，令，则，设为平面的法向量，则，即且，令，则，所以，因为面面，故，即，故，于是，，，所以，因为与平面所成角和互余，故与平面所成角的角为.‎ ‎19.（1）由题意知道：，‎ 所以由图表知道：‎ 所以该设备的性能为丙级别.‎ ‎（2）由图表知道：直径小于或等于的零件有2件，大于的零件有4件共计6件 ‎（i）从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为，‎ 依题意，故.‎ ‎（ii）从100件样品中任意抽取2件，次品数的可能取值为0，1，2‎ 故.‎ ‎20.解：圆的标准方程为，所以圆心，半径为5.‎ ‎（1）由圆心在直线上，可设，因为与轴相切，与圆外切，所以，于是圆的半径为，从而，解得.因此，圆的标准方程为.‎ ‎（2）因为直线，所以直线的斜率为.‎ 设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离 因为 而 所以，解得或.‎ 故直线的方程为或.‎ ‎（3）设.‎ 因为，所以……①‎ 因为点在圆上，所以，将①代入②，得.‎ 于是点既在圆上，又在圆上，从而圆与圆有公共点，所以，解得.因此，实数的取值范围是.‎ ‎21.（1），由题设得，，解得.‎ ‎（2）由（1）知，∴，，∴在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以.‎ ‎（3）因为，又由（2）知，过点，且在处的切线方程为，故可猜测：当时，的图象恒在切线的上方.‎ 下证：当当时，‎ 设，则，‎ 由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，‎ 又，∴，‎ 所以，存在，使得，‎ 所以，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，‎ 又，∴，当且仅当时取等号，故.‎ 由（2）知，，即，‎ 所以，即成立，当时，等号成立.‎ ‎22.解：（1）由题意知：，，所以，，即，可化为，，可得的参数方程为（为参数，）.‎ ‎（2）设，由（1）知是以为圆心，1为半径的上半圆，因为在点处的切线与垂直，所以直线与的斜率相同，‎ ‎∴，解得，即，故的直角坐标为，即.‎ ‎23.（1）∵，∴.‎ ‎（2）∵且，由基本不等式知道：，∴‎ 假设与同时成立，则由及，得 同理，∴，这与矛盾，故与不可能同时成立.‎