2017-2018学年辽宁省实验中学分校高二上学期期中数学试题（文科）（解析版）

2017-2018学年辽宁省实验中学分校高二上学期期中数学试题（文科）（解析版）

‎2017-2018学年辽宁省实验中学分校高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）“x＞1”是“x2＞1”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．（5分）若x＞y，m＞n，下列不等式正确的是（　　）‎ A．x﹣m＞y﹣n B．xm＞yn C． D．m﹣y＞n﹣x ‎3．（5分）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+a3+…+a7=（　　）‎ A．35 B．28 C．21 D．14‎ ‎4．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为（　　）‎ A．11 B．10 C．9 D．8.5‎ ‎5．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（　　）‎ A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B ‎6．（5分）下列选项中，使不等式成立的x的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（0，1） D．（1，+∞）‎ ‎7．（5分）在等差数列{an}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值时的自然数n的值为（　　）‎ A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．不存在 ‎8．（5分）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（　　）‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎9．（5分）已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（　　）‎ A．35 B．33 C．31 D．29‎ ‎10．（5分）该试题已被管理员删除 ‎11．（5分）在数列{an}中，已知a1=2，a2=7，an+2等于的个位数，则a2017的值是（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎12．（5分）在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意实数x都成立，则（　　）‎ A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．﹣ D．﹣‎ ‎　‎ 二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10：S5=1：2，则S15：S5=　 　．‎ ‎14．（5分）已知正数x、y，满足+=1，则x+2y的最小值　 　．‎ ‎15．（5分）给出以下四个条件：①ab＞0；②a＞0或b＞0；③a+b＞2；④a＞0且b＞0．其中可以作为“若a，b∈R，则a+b＞0”的一个充分而不必要条件的是　 　．‎ ‎16．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则a6=　 　．‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17．（10分）已知关于x的不等式x2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）当c∈R时，解关于x的不等式x2﹣（c+b）x+bc＜0．‎ ‎18．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞‎ ‎0），命题q：实数x满足≤0，‎ ‎（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎19．（12分）已知等差数列{an}的前四项的和60，第二项与第四项的和为34，等比数列{bn}的前四项的和120，第二项与第四项的和为90．‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（2）设cn=anbn，且{cn}的前n项和为Sn，求Sn．‎ ‎20．（12分）已知函数f（x）=x2﹣2ax﹣1+a，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）若a=2，试求函数y=（x＞0）的最小值；‎ ‎（Ⅱ）对于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）≤a成立，试求a的取值范围．‎ ‎21．（12分）已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A，C上顶点为B，过F，B，C三点作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．‎ ‎（1）若FC是⊙P的直径，求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若⊙P的圆心在直线x+y=0上，求椭圆的方程．‎ ‎22．（12分）设数列{an}的首项a1为常数，且an+1=3n﹣2an，（n∈N*）‎ ‎（1）证明：{an﹣}是等比数列；‎ ‎（2）若a1=，{an}中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．‎ ‎（3）若{an}是递增数列，求a1的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年辽宁省实验中学分校高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）“x＞1”是“x2＞1”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】直接利用充要条件的判断方法判断即可．‎ ‎【解答】解：因为“x＞1”⇒“x2＞1”，而“x2＞1”推不出“x＞1”，所以“x＞1”是“x2＞1”充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查充要条件的判定，基本知识的考查，注意条件与结论的判断．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）若x＞y，m＞n，下列不等式正确的是（　　）‎ A．x﹣m＞y﹣n B．xm＞yn C． D．m﹣y＞n﹣x ‎【分析】同向不等式具有可加性，于是x+m＞y+n，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵x＞y，m＞n，∴x+m＞y+n，∴m﹣y＞n﹣x．∴D正确．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查不等式的基本性质，深刻理解不等式的基本性质是解决此问题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+a3+…+a7=（　　）‎ A．35 B．28 C．21 D．14‎ ‎【分析】由等差数列的性质求解．‎ ‎【解答】解：∵a3+a4+a5=3a4=12，∴a4=4，‎ ‎∴a1+a2+…+a7=（a1+a7）=7a4=28‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的性质．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为（　　）‎ A．11 B．10 C．9 D．8.5‎ ‎【分析】首先做出可行域，将目标函数转化为，求z的最大值，只需求直线l：在y轴上截距最大即可．‎ ‎【解答】解：做出可行域如图所示：‎ 将目标函数转化为，‎ 欲求z的最大值，‎ 只需求直线l：在y轴上的截距的最大值即可．‎ 作出直线l0：，将直线l0平行移动，得到一系列的平行直线当直线经过点A时在y轴上的截距最大，此时z最大．‎ 由可求得A（3，1），‎ 将A点坐标代入z=2x+3y+1解得z的最大值为2×3+3×1+1=10‎ 故选B ‎【点评】‎ 本题考查线性规划问题，考查数形集合思想解题，属基本题型的考查．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（　　）‎ A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B ‎【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，‎ ‎∴命题p：∀x∈A，2x∈B 的否定是：‎ ‎￢p：∃x∈A，2x∉B．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）下列选项中，使不等式成立的x的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（0，1） D．（1，+∞）‎ ‎【分析】根据题意，将不等式变形可得x（x﹣1）（x+1）＜0，由高次不等式的解法分析可得其解集，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，⇒x﹣＜0⇒＜0⇒x（x﹣1）（x+1）＜0，‎ 解可得x＜﹣1或0＜x＜1，‎ 即不等式成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查分式不等式的解法，注意将分式不等式转化为整式不等式．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）在等差数列{an}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值时的自然数n的值为（　　）‎ A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．不存在 ‎【分析】根据|a3|=|a9|，可两端平方，得到首项a1与公差d的关系，从而可求得通项公式an，利用即可求得前n项和Sn取得最大值时的自然数n 的值．‎ ‎【解答】解：根据题意可得a32=a92即（a1+2d）2=（a1+8d）2，∴a1=﹣5d，∴an=（n﹣6）d（d＜0），‎ 由解得5≤n≤6．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的前n项和，着重考查学生将灵活运用等差数列的通项公式解决问题的能力，也可求得Sn关于d的二次函数式，配方解决；属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（　　）‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎【分析】根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：根据不等式的性质可知，若若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题，‎ 当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即命题q为假命题，‎ 则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q为假命题，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（　　）‎ A．35 B．33 C．31 D．29‎ ‎【分析】用a1和q表示出a2和a3代入a2•a3=2a1求得a4，再根据a4+2a7=a4+2a4q3，求得q，进而求得a1，代入S5即可．‎ ‎【解答】解：a2•a3=a1q•a1q2=2a1‎ ‎∴a4=2‎ a4+2a7=a4+2a4q3=2×‎ ‎∴q=，a1==16‎ 故S5==31‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）该试题已被管理员删除 ‎　‎ ‎11．（5分）在数列{an}中，已知a1=2，a2=7，an+2等于的个位数，则a2017的值是（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【分析】根据条件算出几项直到找出规律即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵已知a1=2，a2=7，an+2等于anan+1（n∈N*）的个位数，‎ ‎∴a3=4，a4=8，a5=2，a6=6，a7=2，a8=2，a9=4，a10=8，…，‎ 可以看出：从a9开始重复出现从a3到a8的值：4，8，2，6，2，2．因此an=an+6（n≥3，n∈N+）．‎ ‎∴a2017=a3+6×335+4=a3+4=a7=2．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】由已知条件找出规律：an=an+6（n≥3，n∈N+）．是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意实数x都成立，则（　　）‎ A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．﹣ D．﹣‎ ‎【分析】根据新定义化简不等式，得到a2﹣a﹣1＜x2﹣x因为不等式恒成立，即要a2﹣a﹣1小于x2﹣x的最小值，先求出x2﹣x的最小值，列出关于a的一元二次不等式，求出解集即可得到a的范围．‎ ‎【解答】解：由已知：（x﹣a）⊗（x+a）＜1，‎ ‎∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，‎ 即a2﹣a﹣1＜x2﹣x．‎ 令t=x2﹣x，只要a2﹣a﹣1＜tmin．‎ t=x2﹣x=，当x∈R，t≥﹣．‎ ‎∴a2﹣a﹣1＜﹣，即4a2﹣4a﹣3＜0，‎ 解得：﹣．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】考查学生理解新定义并会根据新定义化简求值，会求一元二次不等式的解集，掌握不等式恒成立时所取的条件．‎ ‎　‎ 二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10：S5=1：2，则S15：S5=　3：4　．‎ ‎【分析】本题可由等比数列的性质，每连续五项的和是一个等比数列求解，由题设中的条件S10：S5=1：2，可得出（S10﹣S5）：S5‎ ‎=﹣1：2，由此得每连续五项的和相等，由此规律易得所求的比值．‎ ‎【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10：S5=1：2，‎ ‎∴（S10﹣S5）：S5=﹣1：2，‎ 由等比数列的性质得（S15﹣S10）：（S10﹣S5）：S5=1：（﹣2）：4，‎ ‎∴S15：S5=3：4，‎ 故答案为：3：4．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的性质，解题的关键是熟练掌握等比数列的性质，是基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知正数x、y，满足+=1，则x+2y的最小值　18　．‎ ‎【分析】利用基本不等式的性质即可求出．‎ ‎【解答】解：∵正数x、y，满足+=1，‎ ‎∴x+2y==10+=18．当且仅当x＞0，y＞0，，，解得x=12，y=3．‎ ‎∴x+2y的最小值是18．‎ 故答案为18．‎ ‎【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）给出以下四个条件：①ab＞0；②a＞0或b＞0；③a+b＞2；④a＞0且b＞0．其中可以作为“若a，b∈R，则a+b＞0”的一个充分而不必要条件的是　③④　．‎ ‎【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．‎ ‎【解答】解：若a，b∈R，则a+b＞0，则a，b都是正数，或a，b一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值，‎ 故“a+b＞2“是“若a，b∈R，则a+b＞0”的一个充分而不必要条件，‎ ‎“a＞0且b＞0”是“若a，b∈R，则a+b＞0”的一个充分而不必要条件，‎ 故答案为：③④‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则a6=　768　．‎ ‎【分析】由数列递推式求得a2，在数列递推式中取n=n﹣1得另一递推式，作差后得到数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，写出n≥2时的通项公式后即可求得a6的值．‎ ‎【解答】解：由an+1=3Sn，得到an=3Sn﹣1（n≥2），‎ 两式相减得：an+1﹣an=3（Sn﹣Sn﹣1）=3an，‎ 则an+1=4an（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，‎ 得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，‎ ‎∴an=a2qn﹣2=3×4n﹣2（n≥2）．‎ 则a6=3×44=768．‎ 故答案为：768．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，关键是明确从第二项起数列为等比数列，是中档题．‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17．（10分）已知关于x的不等式x2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）当c∈R时，解关于x的不等式x2﹣（c+b）x+bc＜0．‎ ‎【分析】（1）根据题意，由一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系分析可得1、b是方程x2﹣3x+2=0的两根，由根与系数的关系分析可得1+b=3，解可得b的值；‎ ‎（2）由（1）的结论，x2﹣（c+b）x+bc＜0可以变形为x2﹣（c+2）x+2c＜‎ ‎0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0，讨论c与2的大小关系，综合即可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，不等式x2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，‎ 即1、b是方程x2﹣3x+2=0的两根，‎ 则有1+b=3，‎ 即b=2；‎ ‎（2）由（1）的结论，x2﹣（c+b）x+bc＜0可以变形为x2﹣（c+2）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0，‎ 方程x2﹣（c+2）x+2c=0有两根，2和c，‎ 当c＞2时，不等式的解集为{x|2＜x＜c}，‎ 当c＜2时，不等式的解集为{x|c＜x＜2}，‎ 当c=2时，不等式的解集为∅．‎ 综合可得：当c＞2时，不等式的解集为{x|2＜x＜c}，当c＜2时，不等式的解集为{x|c＜x＜2}，当c=2时，不等式的解集为∅．‎ ‎【点评】本题考查一元二次不等式的解法，涉及分类讨论的思路，注意一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足≤0，‎ ‎（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）由a=1得到命题p下的不等式，并解出该不等式，解出命题q下的不等式，根据p∧q为真，得到p真q真，从而求出x的取值范围；‎ ‎（2）先求出￢p，￢q，根据￢p是￢q的充分不必要条件，即可求出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）若a=1，解x2﹣4x+3＜0得：1＜x＜3，解得：2＜x≤3；‎ ‎∴命题p：实数x满足1＜x＜3，命题q：实数x满足2＜x≤3；‎ ‎∵p∧q为真，∴p真，q真，∴x应满足，解得2＜x＜3，即x的取值范围为（2，3）；‎ ‎（2）￢q为：实数x满足x≤2，或x＞3；￢p为：实数x满足x2﹣4ax+3a2≥0，并解x2﹣4ax+3a2≥0得x≤a，或x≥3a；‎ ‎￢p是￢q的充分不必要条件，所以a应满足：a≤2，且3a＞3，解得1＜a≤2；‎ ‎∴a的取值范围为：（1，2]．‎ ‎【点评】考查解一元二次不等式，分式不等式，p∧q的真假情况，充分不必要条件的概念．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知等差数列{an}的前四项的和60，第二项与第四项的和为34，等比数列{bn}的前四项的和120，第二项与第四项的和为90．‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（2）设cn=anbn，且{cn}的前n项和为Sn，求Sn．‎ ‎【分析】（1）运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公差或公比，即可得到所求通项公式；‎ ‎（2）求得cn=anbn=（4n+5）×3n，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．‎ ‎【解答】解：（1）等差数列{an}的前四项的和60，第二项与第四项的和为34，‎ 可得a2+a4=34，①，a1+a2+a3+a4=60，‎ 则a1+a3=26，②，即a2=13，‎ ‎∴①②两式相减可得2d=8，‎ ‎∴公差d=4，a1=a2﹣d=9，‎ ‎∴an=9+4（n﹣1）=4n+5；‎ 等比数列{bn}的前四项的和120，第二项与第四项的和为90．‎ 有b2+b4=90，③，b1+b2+b3+b4=120，‎ 则b1+b3=30，④‎ 两式③④相除，可得q=3，‎ 则b1=3，‎ ‎∴bn=3×3n﹣1=3n；‎ ‎（2）cn=anbn=（4n+5）×3n，‎ ‎∴Sn=9×3+13×32+17×33+…+（4n+5）×3n，‎ 两边同乘以3，得3Sn=9×32+13×33+17×34+…+（4n+5）×3n+1，‎ 两式相减可得﹣2Sn=27+4×（32+33+…+3n）﹣（4n+5）×3n ‎=27+4×﹣（4n+5）×3n+1‎ ‎=27+2×3n+1﹣18﹣（4n+5）×3n+1‎ ‎=9﹣（4n+3）×3n+1，‎ ‎∴Sn=[（4n+3）×3n+1﹣9]．‎ ‎【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知函数f（x）=x2﹣2ax﹣1+a，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）若a=2，试求函数y=（x＞0）的最小值；‎ ‎（Ⅱ）对于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）≤a成立，试求a的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由y===x﹣4．利用基本不等式即可求得函数的最小值；‎ ‎（Ⅱ）由题意可得不等式f（x）≤a成立”只要“x2﹣2ax﹣1≤0在[0，2]恒成立”．不妨设g（x）=x2﹣2ax﹣1，则只要g（x）≤0在[0，2]恒成立．结合二次函数的图象列出不等式解得即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）依题意得y===x﹣4．‎ 因为x＞0，所以x，当且仅当x=时，即x=1时，等号成立．‎ 所以y≥﹣2．‎ 所以当x=1时，y=的最小值为﹣2．…（6分）‎ ‎（Ⅱ）因为f（x）﹣a=x2﹣2ax﹣1，所以要使得“∀x∈[0，2]，‎ 不等式f（x）≤a成立”只要“x2﹣2ax﹣1≤0在[0，2]恒成立”．‎ 不妨设g（x）=x2﹣2ax﹣1，则只要g（x）≤0在[0，2]恒成立．‎ 因为g（x）=x2﹣2ax﹣1=（x﹣a）2﹣1﹣a2，‎ 所以即，解得a≥．‎ 所以a的取值范围是[，+∞）． …（13分）‎ ‎【点评】本题主要考查函数的最值即恒成立问题的划归转化等知识，考查学生的运算求解能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A，C上顶点为B，过F，B，C三点作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．‎ ‎（1）若FC是⊙P的直径，求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若⊙P的圆心在直线x+y=0上，求椭圆的方程．‎ ‎【分析】（1）由椭圆的方程知a=1，点B（0，b），C（1，0），设F的坐标为（﹣c，0），由FC是⊙P的直径，知FB⊥BC．由，知b2=c=1﹣c2，c2+c﹣1=0．由此能求出椭圆的离心率．‎ ‎（2）由P过点F，B，C三点，知圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，FC的垂直平分线方程为．由BC的中点为，kBC=﹣b，知BC的垂直平分线方程为，所以．由P（m，n）在直线x+y=0上，知b=c．由此能求出椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：（1）由椭圆的方程知a=1，∴点B（0，b），C（1，0），‎ 设F的坐标为（﹣c，0），（1分）‎ ‎∵FC是⊙P的直径，‎ ‎∴FB⊥BC ‎∵‎ ‎∴（2分）‎ ‎∴b2=c=1﹣c2，c2+c﹣1=0（3分）‎ 解得（5分）‎ ‎∴椭圆的离心率（6分）‎ ‎（2）解：∵⊙P过点F，B，C三点，‎ ‎∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，‎ FC的垂直平分线方程为①（7分）‎ ‎∵BC的中点为，kBC=﹣b ‎∴BC的垂直平分线方程为②（9分）‎ 由①②得，‎ 即（11分）‎ ‎∵P（m，n）在直线x+y=0上，‎ ‎∴⇒（1+b）（b﹣c）=0‎ ‎∵1+b＞0‎ ‎∴b=c（13分）‎ 由b2=1﹣c2得 ‎∴椭圆的方程为x2+2y2=1（14分）‎ ‎【点评】本题考查椭圆的离心率和椭圆方程的求法．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）设数列{an}的首项a1为常数，且an+1=3n﹣2an，（n∈N*）‎ ‎（1）证明：{an﹣}是等比数列；‎ ‎（2）若a1=，{an}中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．‎ ‎（3）若{an}是递增数列，求a1的取值范围．‎ ‎【分析】（1）由于an+1=3n﹣2an，（n∈N*），可得==﹣2，即可证明．‎ ‎（2）{an﹣}是公比为﹣2，首项为a1﹣=的等比数列．通项公式为an=+×（﹣2）n﹣1，若{an}中存在连续三项成等差数列，则必有2an+1=an+an+2，代入解出即可得出．‎ ‎（3）如果an+1＞an成立，即+＞+（a1﹣）（﹣2）n﹣1对任意自然数均成立．化简得＞×（﹣2）n，对n分类讨论，利用数列的单调性即可得出．‎ ‎【解答】（1）证明：∵an+1=3n﹣2an，（n∈N*），‎ ‎∴==﹣2，‎ ‎∴数列{an﹣}是等比数列．‎ ‎（2）解：{an﹣}是公比为﹣2，首项为a1﹣=的等比数列．‎ 通项公式为an=+（a1﹣）（﹣2）n﹣1=+×（﹣2）n﹣1，‎ 若{an}中存在连续三项成等差数列，则必有2an+1=an+an+2，‎ 即=++，‎ 解得n=4，即a4，a5，a6成等差数列．‎ ‎（3）解：如果an+1＞an成立，‎ 即+＞+（a1﹣）（﹣2）n﹣1对任意自然数均成立．‎ 化简得＞×（﹣2）n，‎ 当n为偶数时﹣，‎ ‎∵p（n）=﹣是递减数列，‎ ‎∴p（n）max=p（2）=0，即a1＞0；‎ 当n为奇数时，a1+，‎ ‎∵q（n）=+是递增数列，‎ ‎∴q（n）min=q（1）=1，即a1＜1；‎ 故a1的取值范围为（0，1）．‎ ‎【点评】本题考查了数列的递推关系、等差数列与等比数列的定义与通项公式、数列的单调性、不等式解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎