【数学】江西省宜春市奉新县第一中学2019-2020学年高二下学期第一次月考(理)

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【数学】江西省宜春市奉新县第一中学2019-2020学年高二下学期第一次月考(理)

江西省宜春市奉新县第一中学2019-2020学年 高二下学期第一次月考(理)‎ 一、 ‎ 选择题(本大题共个小题,每小题分,共分,在每小题给出的四个选项中,‎ ‎ 只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1. 若对应的点在第四象限,则实数的取值范围是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 函数的定义域为区间,导函数在 内的图象 如图所示,则函数在开区间内有极小值点( )‎ ‎ A 1个 B 2个 C 个 D 4个 ‎4. 已知的导函数为,且在处的切线方程为,则 ‎ ( ) ‎ A. ‎2 B. 3 C. 4 D. 5 ‎ ‎5. 函数在点处的切线方程为(  )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 一物体沿直线以速度(单位:)作变速直线运动,则该物体从时刻秒至时刻秒间运动的路程为(  ).‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7. 若函数是上的单调函数,则实数的取值范围是(  )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 用总长为的钢条制作一个长方体容器的框架,若容器底面的长比宽多,要使它的容积最大,则容器底面的长为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 将和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是(  )‎ ‎ ‎ ‎10.已知函数,是其导函数,恒有,则( )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎11. 设函数,若存在唯一的正整数,使得,则实数的取值范围为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知函数恰有四个不同的零点,当函数时,实数的取值范围为( )‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题(本题共个小题,每小题分,共分,请把正确答案填在题中横线上) ‎ ‎13. 已知(为虚数单位),则复数的虚部为 .‎ ‎14. 已知函数的导函数为,且满足,‎ 则 .‎ ‎15. 在平面直角坐标系中,记抛物线与轴所围成的平面区域为,该抛物线与直线所围成的平面区域为,向区域内随机抛掷一点,若点落在区域内的概率为,则的值为 .‎ ‎16. 函数、,给定下列命题:不等式的解集为;‎ 函数在上单调递增,在上单调递减; 若函数 有两个极值点,则;若时,总有 恒成立,则. 其中正确命题的序号为 .‎ 三、解答题(本大题共小题,共分,解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤)‎ ‎17. 已知复数 (∈),‎ 试求实数分别取什么值时,分别为:(1)实数; (2)纯虚数.‎ ‎ ‎ ‎18.已知抛物线与直线相交于、两点,点为坐标原点 .‎ ‎ (1)求的值; (2)若的面积等于,求直线的方程.‎ ‎19.曲线在处取得极值,且曲线在点处切线垂直于直线.(1)求曲线与直线所围成图形的面积;‎ ‎ (2)求经过点的曲线的切线方程.‎ ‎20. 如图,在直棱柱中,,‎ ‎,,,‎ ‎.‎ ‎(1)求异面直线与所成的角的余弦值;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎(1)若,试判断函数在定义域内的单调性;‎ ‎(2)若函数在上的最小值为,求实数的值.‎ ‎22. 已知函数 .‎ ‎(1)若在处有极值,问是否存在实数,使得不等式 对任意 及恒成立? 若存在,求出的取值范围;若不存在,‎ 请说明理由.;‎ ‎(2)若,设. ① 求证:当时,;‎ ‎② 设,求证:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 参考答案 一、选择题(本大题共有12小题,每小题5分,共60分)‎ 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答 案 A D A B A D D B D A C D 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13. 14. ‎ ‎15. 16. ‎ 三、 解答题:(本大题6小题,共70分,解答写出文字说明,证明过程或演算步骤) ‎ ‎ 17.解:(1)当为实数时,且 ∴‎ ‎(2)当为纯虚数时,有 ∴ ‎ ‎ 18.解:(1) 设 , 由题意可知: ‎ ‎∴‎ 联立 得: 显然: ‎ ‎∴ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ (2) ‎ ‎ ∴ 解得:‎ ‎ ∴ 直线的方程为:或 ‎ ‎19. 解: ‎ ‎ ‎ ‎ (1)=‎ ‎ (2)设切点为 ‎ ‎ 所求切线方程为: ‎ 代入 可得: 或 ‎ ‎ 所求切线方程为:或 ‎20. 解:(1) 易知AB,AD,AA1两两垂直.如图2建立空间直角坐标系.‎ 设AB=t,则各点的坐标为:A(0,0,0),B(t,0,0),‎ B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).‎ 从而=(t,1,0),=(-t,3,0).‎ 因为AC⊥BD, 所以·=-t2+3+0=0. ‎ 解得: 或 (舍去)‎ ‎∴=,而 ‎ 异面直线与所成角的余弦值为.‎ (2) 由(1)可知,=(0,3,3),=(,1,0),=(0,1,0).‎ ‎ 设n=(x,y,z)是平面ACD1的一个法向量,‎ 则:即令x=1,则n=(1,-,).‎ 设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ,‎ 则:sinθ=|cos〈n,〉|=||== ‎ 直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为 .‎ ‎21. 解: (1) 由题意知,的定义域为,且 显然,故在上是单调递增函数.‎ (2) 由(1)可知,.‎ ‎① 若,则当时,,即,‎ 故在上为增函数, ,‎ ‎(舍去).‎ ‎② 若,则当时,,即,‎ ‎ 在上为减函数,‎ ‎ , (舍去).‎ ‎③ 若,令,得,‎ 当时,, 在上为减函数;‎ 当时,, 在上为增函数.‎ ‎ , . ‎ ‎ 综上所述,.‎ ‎22. 解:(1), .‎ ‎ 由,可得 ,.‎ 经检验: 当时,函数在处取得极值,所以. ‎ ‎∵,.‎ 当时, ‎ 不等式对任意及恒成立,‎ 即: ,‎ 即: :对恒成立,令,‎ ‎ 解得:为所求. ‎ ‎(2)① ∵‎ 在上单调递减 ‎ ‎② 由①可得:  ‎ ‎ 令:,得: 即: ‎ ‎=‎
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