浙江省2021届高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第6节三角函数的图象与性质含解析
第6节 三角函数的图象与性质
考试要求 1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等),理解正切函数在区间内的单调性.
知 识 梳 理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),,(π,0),,(2π,0).
(2)余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y=sin x
y=cos x
y=tan x
图象
定义域
R
R
{x
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ-π,2kπ]
递减区间
[2kπ,2kπ+π]
无
对称中心
(kπ,0)
对称轴方程
x=kπ+
x=kπ
无
[常用结论与易错提醒]
1.要注意求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时A和ω的符号,尽量化成ω>0时情况,避免出现增减区间的混淆.
2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期.而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.
3.三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acos ωx+b的形式.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)由sin=sin 知,是正弦函数y=sin x(x∈R)的一个周期.( )
(2)余弦函数y=cos x的对称轴是y轴.( )
(3)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.( )
(4)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.( )
(5)y=sin|x|是偶函数.( )
解析 (1)函数y=sin x的周期是2kπ(k∈Z).
(2)余弦函数y=cos x的对称轴有无穷多条,y轴只是其中的一条.
(3)正切函数y=tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数,但在定义域内不是单调函数,故不是增函数.
(4)当k>0时,ymax=k+1;当k<0时,ymax=-k+1.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2.关于周期函数,下列说法错误的是( )
A.函数f(x)=sin 不是周期函数
B.函数f(x)=sin 不是周期函数
C.函数f(x)=sin|x|不是周期函数
D.函数f(x)=|sin x|+|cos x|的最小正周期为π
解析 f(x)=|sin x|+|cos x|的最小正周期为.
答案 D
3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( )
A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3
B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4
C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3
D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
解析 易知f(x)=2cos2x-sin2x+2=3cos2x+1=3+1=cos 2x+,则f(x)的最小正周期为π,当x=kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值,最大值为4.故选B.
答案 B
4.若函数f(x)=sin(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=( )
A. B.
C. D.
解析 由已知f(x)=sin是偶函数,可得=kπ+(k∈Z),即φ=3kπ+(k∈Z),又φ∈[0,2π],所以φ=.
答案 C
5.(必修4P47B2改编)函数y=-tan的单调递减区间为________.
解析 因为y=tan x的单调递增区间为(k∈Z),
所以由-+kπ<2x-<+kπ(k∈Z),
得+<x<+(k∈Z),
所以y=-tan的单调递减区间为(k∈Z).
答案 (k∈Z)
6.设函数f(x)=2sin(ω>0,x∈R),最小正周期T=π,则实数ω=________,函数f(x)的图象的对称中心为________.
解析 由T==π,∴ω=2,f(x)=2sin,令2sin=0,得2x+=kπ(k∈Z),∴x=-(k∈Z),对称中心为(k∈Z).
答案 2 (k∈Z)
考点一 三角函数的定义域及三角不等式
【例1】 (1)函数f(x)=-2tan的定义域是( )
A. B.
C. D.
(2)不等式+2cos x≥0的解集是________.
(3)函数f(x)=+log2(2sin x-1)的定义域是________.
解析 (1)由正切函数的定义域得2x+≠kπ+(k∈Z),
即x≠+(k∈Z),故选D.
(2)由+2cos x≥0,得cos x≥-,
由余弦函数的图象,得在一个周期[-π,π]上,不等式cos x≥-的解集为
,
故原不等式的解集为.
(3)由题意得
由①得-8≤x≤8,由②得sin x>,由正弦曲线得+2kπ
0)在区间上是增函数,则ω的取值范围是________.
解析 (1)由已知可得函数为y=-sin,欲求函数的单调减区间,只需求y=sin的单调增区间.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为(k∈Z).
(2)法一 由2kπ-≤ωx≤2kπ+,k∈Z,
得f(x)的增区间是(k∈Z).
因为f(x)在上是增函数,
所以⊆.
所以-≥-且≤,所以ω∈.
法二 因为x∈,ω>0.
所以ωx∈,
又f(x)在区间上是增函数,
所以⊆,
则又ω>0,
得0<ω≤.
法三 因为f(x)在区间上是增函数,故原点到-,的距离不超过,即得T≥,即≥,又ω>0,得0<ω≤.
答案 (1)(k∈Z) (2)
规律方法 (1)求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式,再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sin x的相应单调区间内即可,注意要先把ω化为正数.(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集,其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解,另外,若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.
角度3 三角函数的对称轴或对称中心
【例3-3】 (1)已知函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,则φ的值是________.
(2)函数f(x)=2cos-1的对称轴为________,最小值为________.
解析 (1)由函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,得sin=±1,因为-<φ<,所以<+φ<,则+φ=,φ=-.
(2)由x+=kπ(k∈Z),得x=kπ-(k∈Z),即函数
f(x)的对称轴为x=kπ-(k∈Z);因为2cos∈[-2,2],所以2cos-1∈[-3,1],所以函数f(x)的最小值为-3.
答案 (1)- (2)x=kπ-(k∈Z) -3
规律方法 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x即可.
(2)对于可化为f(x)=Acos(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x即可.
【训练3】 (1)(角度1)(一题多解)已知函数f(x)=cos2x-sin2,则f=________,该函数的最小正周期为________.
(2)(角度2)已知ω>0,函数f(x)=cos在上单调递增,则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(3)(角度3)函数y=sin(2x+φ)图象的一个对称中心为,则φ的值是________.
解析 (1)法一 f(x)=-=cos,则f=cos =0,函数f(x)的最小正周期T==π.
法二 注意三角恒等变换中“正弦的平方差公式”sin(α-β)sin(α+β)=sin2α-sin2β,则f(x)=sin2-sin2=sinsin =cos,则f=cos =0,函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)函数y=cos x的单调递增区间为[-π+2kπ,2kπ],k∈Z,
则(k∈Z),
解得4k-≤ω≤2k-,k∈Z,
又由4k--≤0,k∈Z且2k->0,k∈Z,
得k=1,所以ω∈.
(3)因为函数y=sin(2x+φ)图象的一个对称中心为,所以sin=0,又因为-<φ<,则-<+φ<,即+φ=0,
解得φ=-.
答案 (1)0 π (2)D (3)-
基础巩固题组
一、选择题
1.(2019·全国Ⅱ卷)若x1=,x2=是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=( )
A.2 B.
C.1 D.
解析 由题意及函数y=sin ωx的图象和性质可知,
T=-,∴T=π,∴=π,∴ω=2.故选A.
答案 A
2.函数f(x)=tan的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析 当kπ-<2x-<kπ+(k∈Z)时,函数y=tan单调递增,解得-<x<+(k∈Z),所以函数y=tan的单调递增区间是(k∈Z),故选B.
答案 B
3.函数y=cos2x-2sin x的最大值与最小值分别为( )
A.3,-1 B.3,-2
C.2,-1 D.2,-2
解析 y=cos2x-2sin x=1-sin2x-2sin x
=-sin2x-2sin x+1,
令t=sin x,则t∈[-1,1],y=-t2-2t+1=-(t+1)2+2,
所以ymax=2,ymin=-2.
答案 D
4.设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是( )
A.f(x)的一个周期为-2π
B.y=f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x+π)的一个零点为x=
D.f(x)在单调递减
解析 函数f(x)=cos的图象可由y=cos x的图象向左平移个单位得到,如图可知,f(x)在上先递减后递增,D选项错误.
答案 D
5.(2020·嘉、丽、衢模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在区间上单调,则ω的最大值是( )
A.12 B.11
C.10 D.9
解析 由x=-为函数f(x)=sin(ωx+φ)的零点,x=为函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象的对称轴得-ω+φ=k1π,ω+φ=k2π+(k1,k2∈Z),则ω=2(k2-k1)+1(k1,k2∈Z)①,又因为函数f(x)=sin(ωx+φ)在上单调,所以·≥-,即ω≤12②,结合①②得ω的最大值为11,故选B.
答案 B
6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,且任意x∈R,有f(x)≤f成立,则f(x)图象的一个对称中心坐标是( )
A. B.
C. D.
解析 由f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,得ω=.因为f(x)≤f恒成立,所以
f(x)max=f,即×+φ=+2kπ(k∈Z),由|φ|<,得φ=,故f(x)=sin.
令x+=kπ(k∈Z),得x=2kπ-(k∈Z),故f(x)图象的对称中心为(k∈Z),当k=0时,f(x)图象的对称中心为,故选A.
答案 A
二、填空题
7.若函数f(x)=cos(0<φ<π)是奇函数,则φ=________;f(x)取最大值时,x的取值集合为________.
解析 因为f(x)为奇函数,所以φ-=+kπ,k∈Z,φ=+kπ,k∈Z.又因为0<φ<π,故φ=.由f(x)=cos=cos=-sin 2x(x∈R),∴当2x=2kπ-,k∈Z,即x=kπ-,k∈Z时,f(x)得最大值1.
答案
8.函数y=sin x+cos x的单调递增区间是________.
解析 ∵y=sin x+cos x=sin,
由2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),
解得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).
∴函数的单调递增区间为(k∈Z),
又x∈,∴单调递增区间为.
答案
9.若x=是函数f=sin 2x+acos 2x的一条对称轴,则函数f的最小正周期是________;函数f的最大值是________.
解析 ∵f(x)=sin 2x+acos 2x=sin(2x+θ)(tan θ=a),又x=是函数的一条对称轴,
∴2×+θ=+kπ,k∈Z,即θ=+kπ,k∈Z.
则f(x)=sin,k∈Z.
T==π;
由a=tan θ=tan=tan=,
得==.
∴函数f(x)的最大值是.
答案 π
10.(一题多解)若函数y=sin ωx在区间[0,2π]上单调递增,则实数ω的取值范围是________.
解析 法一 由题意得ω>0,ωx∈[0,2ωπ]⊆,所以0<2ωπ≤⇒0<ω≤.
法二 由题意得ω>0,∵y=sin ωx在[0,2π]上单调递增,说明该函数至少T的图象在[0,2π]上,则其周期至少为8π,即≥8π,即ω≤,故0<ω≤.
答案
三、解答题
11.(2019·浙江卷)设函数f(x)=sin x,x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值;
(2)求函数y=+的值域.
解 (1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,
所以对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),
即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,
故2sin xcos θ=0,所以cos θ=0.
又θ∈[0,2π),因此θ=或θ=.
(2)y=+
=sin2+sin2
=+
=1-
=1-cos.
因此所求函数的值域是.
12.设函数f(x)=sin-2cos2+1.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)(一题多解)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,求当x∈时,y=g(x)的最大值.
解 (1)f(x)=sin cos -cos sin -cos
=sin -cos =sin,
故f(x)的最小正周期为T==8.
(2)法一 在y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),
它关于x=1的对称点(2-x,g(x)).
由题设条件,知点(2-x,g(x))在y=f(x)的图象上,
从而g(x)=f(2-x)=sin
=sin=cos.
当0≤x≤时,≤+≤,
因此y=g(x)在区间上的最大值为
g(x)max=cos =.
法二 区间关于x=1的对称区间为,
且y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,
故y=g(x)在上的最大值为
y=f(x)在上的最大值.
由(1)知f(x)=sin,
当≤x≤2时,-≤-≤.
因此y=g(x)在上的最大值为
g(x)max=sin =.
能力提升题组
13.已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是-2,则ω的最小值为( )
A. B.
C.2 D.3
解析 ∵ω>0,-≤x≤,∴-≤ωx≤.
由已知条件知-≤-,∴ω≥.
答案 B
14.设x1,x2,x3,x4∈,则( )
A.在这四个数中至少存在两个数x,y,满足sin(x-y)>
B.在这四个数中至少存在两个数x,y,满足cos(x-y)≥
C.在这四个数中至多存在两个数x,y,满足tan(x-y)<
D.在这四个数中至多存在两个数x,y,满足sin(x-y)≥
解析 将区间平均分为三个区间,则每个区间的长度为.因为x1,x2,x3,x4∈,所以在x1,x2,x3,x4中至少有两个数在同一区间内,设这两个数为x,y,则|x-y|≤,所以cos(x-y)≥,故选B.
答案 B
15.函数f(x)=asin ωx+bcos ωx(a≠0,b≠0,ω≠0),则f(x)( )
A.是非奇非偶函数 B.奇偶性与a,b有关
C.奇偶性与ω有关 D.奇偶性与a,b无关
解析 f(x)=asin ωx+bcos ωx=sin(ωx+φ),其中sin φ=,cos φ=,要使函数f(x)=sin(ωx+φ)为奇函数,则f(0)=sin φ=0,因为a≠0,b≠0,所以≠0,又因为sin φ=≠0,所以f(0)=sin φ≠0,所以函数f(x)不是奇函数.若函数f(x)=sin(ωx+φ)为偶函数,则f(0)=sin φ=±,则sin φ=±1,cos φ=0,因为a≠0,所以cos φ=≠0,所以f(0)=sin φ≠±,所以函数f(x)不是偶函数,故选A.
答案 A
16.函数f(x)=2cos2 x+cos-1,则函数的最小正周期为________,在内的一条对称轴方程是________.
解析 f(x)=1+cos 2x+cos 2x-sin 2x-1=cos 2x-sin 2x=cos ,∴T==π.令2x+=kπ,k∈Z,
∴x=-+,k∈Z.
∵x∈,∴x=π.
答案 π x=
17.已知函数f(x)=2cos x(sin x-cos x)+,x∈R.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若函数g(x)=f(x+α)为偶函数,求|α|的最小值.
解 (1)f(x)=2cos x(sin x-cos x)+
=2sin xcos x-(2cos2x-1)
=sin 2x-cos 2x
=2sin,
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)由题意得g(x)=f(x+α)=2sin,
因为函数g(x)为偶函数,
所以2α-=kπ+,k∈Z,α=+,k∈Z,
当k=-1时,|α|的最小值为.
18.已知函数f(x)=a+b.
(1)若a=-1,求函数f(x)的单调增区间;
(2)若x∈[0,π]时,函数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值.
解 f(x)=a(1+cos x+sin x)+b=asin+a+b.
(1)当a=-1时,f(x)=-sin+b-1,
由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),
得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),
∴f(x)的单调增区间为(k∈Z).
(2)∵0≤x≤π,∴≤x+≤,
∴-≤sin≤1,依题意知a≠0.
①当a>0时,
∴a=3-3,b=5.
②当a<0时,
∴a=3-3,b=8.
综上所述,a=3-3,b=5或a=3-3,b=8.