【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第四章第4讲　简单的三角恒等变换学案

【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第四章第4讲　简单的三角恒等变换学案

第 4 讲　简单的三角恒等变换 1．公式的常见变形 (1)1＋cos α＝2cos2α 2； 1－cos α＝2sin2α 2． (2)1＋sin α＝(sinα 2＋cosα 2)2 ； 1－sin α＝(sinα 2－cosα 2)2 . (3)tanα 2＝ sin α 1＋cos α＝1－cos α sin α . 2．辅助角公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)(φ 为辅助角)，其中 sin φ＝ b a2＋b2，cos φ＝ a a2＋b2. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝3sin x＋4cos x 的最大值是 7.(　　) (2)设 α∈(π，2π)，则 1－cos(π＋α) 2 ＝sinα 2.(　　) (3)在非直角三角形中有：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C．　(　　) (4)设5π 2 ＜θ＜3π，且|cos θ|＝1 5，那么 sin θ 2的值为 15 5 .(　　) (5)公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)中 φ 的取值与 a，b 的值无关．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 已知 cos α＝1 3，α∈(π，2π)，则 cos α 2等于(　　) A． 6 3 　　　　　　　　 B．－ 6 3 C． 3 3 D．－ 3 3 解析：选 B．由 cos α＝1 3，得 2cos2α 2－1＝1 3，即 cos2α 2＝2 3. 又因为 α∈(π，2π)，所以α 2∈(π 2，π )， 所以 cosα 2＜0，故 cosα 2＝－ 6 3 . 计算： 1－cos210° cos 80° 1－cos 20° ＝(　　) A． 2 2 　　　 B．1 2　　　 C． 3 2 　　　 D．－ 2 2 解析：选 A． 1－cos210° cos 80° 1－cos 20° ＝ sin210° sin 10° 1－(1－2sin210°) ＝ sin210° 2sin210° ＝ 2 2 . 3sin 15°＋cos 15°＝________． 解析： 3sin 15°＋cos 15° ＝2( 3 2 sin 15°＋1 2cos 15°) ＝2(sin 15°cos 30°＋cos 15°sin 30°) ＝2sin(15°＋30°)＝ 2. 答案： 2 已知 3π＜θ＜7π 2 ，且 sin θ＝－3 5，则 tan θ 2的值等于________． 解析：因为 sin θ＝－3 5，且 3π＜θ＜7 2π，所以 cos θ＝－4 5， 所以 tan θ 2＝ sinθ 2 cos θ 2 ＝ 2sin2θ 2 2sin θ 2cosθ 2 ＝1－cos θ sin θ ＝ 1－(－4 5 ) －3 5 ＝－3. 答案：－3 三角函数式的化简 [典例引领] (1)已知 0＜θ＜π， 则 (1＋sin θ＋cos θ)(sin θ 2－cos θ 2) 2＋2cos θ ＝________． (2)化简： 2cos4x－2cos2x＋1 2 2tan(π 4－x )sin2(π 4＋x ) ＝________. 【解析】　(1)原式＝ (2sin θ 2cos θ 2＋2cos2θ 2)(sin θ 2－cos θ 2) 4cos2θ 2 ＝ cos θ 2(sin2 θ 2－cos2θ 2) |cos θ 2| ＝ －cos θ 2·cos θ |cos θ 2| . 因为 0<θ<π，所以 0<θ 2<π 2，所以 cos θ 2>0. 所以原式＝－cos θ. (2)原式＝ －2sin2xcos2x＋1 2 2sin(π 4－x )cos2(π 4－x ) cos(π 4－x ) ＝ 1 2(1－sin22x) 2sin(π 4－x )cos(π 4－x ) ＝ 1 2cos22x sin(π 2－2x) ＝1 2cos 2x. 【答案】　(1)－cos θ　(2)1 2cos 2x (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (2)三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂． 在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函 数式时，一般需要升次．　 [通关练习] 1．化简：(sin 2α＋cos 2α－1)(sin 2α－cos 2α＋1) sin 4α ＝________． 解析：(sin 2α＋cos 2α－1)(sin 2α－cos 2α＋1) sin 4α ＝ sin22α－(cos 2α－1)2 2sin 2α·cos 2α ＝ sin22α－cos22α＋2cos 2α－1 2sin 2α·cos 2α ＝ －2cos22α＋2cos 2α 2sin 2α·cos 2α ＝1－cos 2α sin 2α ＝ 2sin2α 2sin αcos α ＝ sin α cos α＝tan α. 答案：tan α 2．化简：( 1 tan α 2 －tan α 2)·(1＋tan α·tan α 2)＝________． 解析：原式＝(cos α 2 sin α 2 － sin α 2 cos α 2)·(1＋sin α cos α· sin α 2 cos α 2) ＝ cos2α 2－sin2α 2 sin α 2cos α 2 · cos αcos α 2＋sin αsin α 2 cos αcos α 2 ＝2cos α sin α · cos α 2 cos αcos α 2 ＝ 2 sin α. 答案： 2 sin α 三角函数式的求值(高频考点) 研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函 数名称的变换特点，选择合适的公式求解．主要命题角度有： (1)给值求值； (2)给角求值； (3)给值求角． [典例引领] 角度一　给值求值 若 α 、 β 是 锐 角 ， 且 sin α － sin β ＝ －1 2， cos α － cos β ＝1 2， 则 tan(α － β) ＝ ________． 【解析】　因为 sin α－sin β＝－1 2，cos α－cos β＝1 2， 两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝1 2， 即 2－2cos(α－β)＝1 2， 所以 cos(α－β)＝3 4， 因为 α、β 是锐角， 且 sin α－sin β＝－1 2＜0， 所以 0＜α＜β＜π 2. 所以－π 2＜α－β＜0. 所以 sin(α－β)＝－ 1－cos2(α－β)＝－ 7 4 . 所以 tan(α－β)＝ sin(α－β) cos(α－β)＝－ 7 3 . 【答案】　－ 7 3 角度二　给角求值 sin 50°(1＋ 3tan 10°)＝________. 【解析】　sin 50°(1＋ 3tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°) ＝sin 50°· cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10° cos 60°cos 10° ＝sin 50°· cos(60°－10°) cos 60°cos 10° ＝2sin 50°cos 50° cos 10° ＝ sin 100° cos 10° ＝ cos 10° cos 10°＝1. 【答案】　1 角度三　给值求角 (1)设 α，β 为钝角，且 sin α＝ 5 5 ，cos β＝－3 10 10 ，则 α＋β 的值为(　　) A．3π 4 　　　　　　　　 B．5π 4 C．7π 4 D．5π 4 或7π 4 (2)已知 α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝1 2，tan β＝－1 7，则 2α－β 的值为________． 【解析】　(1)因为 α，β 为钝角，sin α＝ 5 5 ，cos β＝－3 10 10 ， 所以 cos α＝－2 5 5 ，sin β＝ 10 10 ， 所以 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝ 2 2 >0. 又 α＋β∈(π，2π)， 所以 α＋β＝7π 4 . (2)因为 tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ tan(α－β)＋tan β 1－tan(α－β)tan β＝ 1 2－1 7 1＋1 2 × 1 7 ＝1 3>0， 所以 0<α<π 2， 又因为 tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α＝ 2 × 1 3 1－(1 3 )2 ＝3 4>0，所以 0<2α<π 2， 所以 tan(2α－β)＝ tan 2α－tan β 1＋tan 2αtan β＝ 3 4＋1 7 1－3 4 × 1 7 ＝1. 因为 tan β＝－1 7<0，所以π 2<β<π，－π<2α－β<0， 所以 2α－β＝－3π 4 . 【答案】　(1)C　(2)－3π 4 三角函数求值的三种情况 (1)“给角求值”：一般给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察 非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角 并且消除非特殊角的三角函数而得解． (2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题 关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． (3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围， 确定角．　 [通关练习] 1．若1＋sin αcos α－cos2α cos 2α ＝2，则 tan(π 4－2α)＝(　　) A．－ 7 17 B． 7 17 C． 5 12 D．－ 5 12 解析：选 A．因为1＋sin αcos α－cos2α cos 2α ＝2，所以 sin2α＋sin αcos α cos2α－sin2α ＝2， 即 sin α cos α－sin α＝ tan α 1－tan α＝2，所以 tan α＝2 3，所以 tan 2α＝2tan α 1－tan2α＝ 2 × 2 3 1－(f(2,3))2 ＝12 5 ， 所以 tan(π 4－2α)＝ tan π 4－tan 2α 1＋tan π 4tan 2α ＝ 1－12 5 1＋12 5 ＝－ 7 17，故选 A． 2．已知 sin α＝ 5 5 ，sin(α－β)＝－ 10 10 ，α，β 均为锐角，则角 β 等于________． 解析：因为 α，β 均为锐角，所以－π 2<α－β<π 2. 又 sin(α－β)＝－ 10 10 ，所以 cos(α－β)＝3 10 10 . 又 sin α＝ 5 5 ，所以 cos α＝2 5 5 ， 所以 sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝ 5 5 ×3 10 10 －2 5 5 ×(－ 10 10 )＝ 2 2 . 所以 β＝π 4. 答案：π 4 三角恒等变换的应用 [典例引领] (2017·高考浙江卷)已知函数 f(x)＝sin2x－cos2x－2 3sin xcos x(x∈R)． (1)求 f (2π 3 )的值； (2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间． 【解】　(1)由 sin 2π 3 ＝ 3 2 ，cos 2π 3 ＝－1 2， f(2π 3 )＝( 3 2 )2 －(－1 2 )2 －2 3× 3 2 ×(－1 2 )， 得 f(2π 3 )＝2. (2)由 cos 2x＝cos2x－sin2x 与 sin 2x＝2sin xcos x 得 f(x)＝－cos 2x－ 3sin 2x＝－2sin(2x＋π 6). 所以 f(x)的最小正周期是 π. 由正弦函数的性质得π 2＋2kπ≤2x＋π 6≤3π 2 ＋2kπ，k∈Z，解得π 6＋kπ≤x≤2π 3 ＋kπ，k∈Z， 所以，f(x)的单调递增区间是[π 6＋kπ， 2π 3 ＋kπ](k∈Z)． 三角恒等变换的应用策略 (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注 意公式的逆用和变形使用． (2)把形如 y＝asin x＋bcos x 化为 y＝ a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调 性、最值与对称性．　 [通关练习] 已知函数 f(x)＝sin2 x－sin2(x－π 6 )，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间[－π 3，π 4]上的最大值和最小值． 解：(1)由已知，有 f(x)＝1－cos 2x 2 － 1－cos(2x－π 3) 2 ＝1 2(1 2cos 2x＋ 3 2 sin 2x)－1 2cos 2x ＝ 3 4 sin 2x－1 4cos 2x＝1 2sin(2x－π 6). 所以 f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π. (2)因为 f(x)在区间[－π 3，－π 6]上是减函数，在区间[－π 6，π 4]上是增函数．且 f(－π 3 )＝－ 1 4，f(－π 6 )＝－1 2，f(π 4 )＝ 3 4 ，所以 f(x)在区间[－π 3，π 4]上的最大值为 3 4 ，最小值为－1 2. 三角恒等变换主要有四变 (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其方法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有切化弦、正弦与 余弦互化等． (3)变幂：通过“升幂与降幂”，把三角函数式的各项变成同次，目的是有利于应用公 式． (4)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其 方法通常有：常值代换、逆用或变用公式、通分与约分、分解与组合、配方与平方等． 应用 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)的两个步骤 第一步：提因式 a2＋b2.即 asin x＋bcos x＝ a2＋b2·( a a2＋b2sin x＋ b a2＋b2·cos x). 第二步：寻角度 φ.使得 cos φ＝ a a2＋b2，sin φ＝ b a2＋b2同时成立．即 asin x＋bcos x＝ a2＋b2(sin xcos φ＋cos xsin φ)＝ a2＋b2sin(x＋φ)． [注意]　根据具体情况，有时取 sin φ＝ a a2＋b2与 cos φ＝ b a2＋b2同时成立，asin x＋bcos x＝ a2＋b2cos(x－φ)．　　　 1．已知 cos(π 4－x )＝3 5，则 sin 2x＝(　　) A．18 25　　　　　　　　　 B． 7 25 C．－ 7 25 D．－16 25 解析：选 C．因为 cos(π 4－x )＝cosπ 4cos x＋sinπ 4sin x＝ 2 2 (cos x＋sin x)＝3 5， 所以 sin x＋cos x＝3 2 5 ，所以 1＋2sin xcos x＝18 25， 即 sin 2x＝18 25－1＝－ 7 25. 2．已知 sin(π 6－α )＝cos(π 6＋α )，则 cos 2α＝(　　) A．1 B．－1 C．1 2 D．0 解析：选 D.因为 sin(π 6－α )＝cos(π 6＋α )， 所以 1 2cos α－ 3 2 sin α＝ 3 2 cos α－1 2sin α， 即 (1 2－ 3 2 )sin α＝－(1 2－ 3 2 )cos α， 所以 tan α＝ sin α cos α＝－1， 所以 cos 2α＝cos2α－sin2α＝ cos2α－sin2α sin2α＋cos2α＝1－tan2α tan2α＋1＝0. 3．已知 sin 2α＝3 5(π 2＜2α＜π)，tan(α－β)＝1 2，则 tan(α＋β)等于(　　) A．－2 B．－1 C．－ 2 11 D． 2 11 解析：选 A．由题意，可得 cos 2α＝－4 5， 则 tan 2α＝－3 4，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝ tan 2α－tan(α－β) 1＋tan 2αtan(α－β)＝－2. 4.2cos 10°－sin 20° sin 70° 的值是(　　) A．1 2 B． 3 2 C． 3 D． 2 解析：选 C．原式＝2cos(30°－20°)－sin 20° sin 70° ＝2(cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°)－sin 20° sin 70° ＝ 3cos 20° cos 20° ＝ 3. 5．在斜三角形 ABC 中，sin A＝－ 2cos Bcos C，且 tan B·tan C＝1－ 2，则角 A 的值 为(　　) A．π 4 B．π 3 C．π 2 D．3π 4 解析：选 A．由题意知，sin A＝－ 2cos Bcos C＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， 在等式－ 2cos Bcos C＝sin Bcos C＋cos Bsin C 两边同除以 cos Bcos C 得 tan B＋tan C ＝－ 2， 又 tan(B＋C)＝ tan B＋tan C 1－tan Btan C＝－1＝－tan A， 即 tan A＝1，所以 A＝π 4 . 6．已知 cos(α＋β)＝1 6，cos(α－β)＝1 3，则 tan αtan β 的值为________． 解析：因为 cos(α＋β)＝1 6， 所以 cos αcos β－sin αsin β＝1 6.① 因为 cos(α－β)＝1 3， 所以 cos αcos β＋sin αsin β＝1 3.② ①＋②得 cos αcos β＝1 4. ②－①得 sin αsin β＝ 1 12. 所以 tan αtan β＝ sin αsin β cos αcos β ＝1 3. 答案：1 3 7．若 tan α＝3，则 sin (2α＋π 4)的值为________． 解析：因为 sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos α sin2α＋cos2α ＝ 2tan α tan2α＋1＝3 5，cos 2α＝cos2α－sin2α＝ cos2α－sin2α cos2α＋sin2α＝1－tan2α 1＋tan2α＝－4 5， 所以 sin(2α＋π 4)＝ 2 2 sin 2α＋ 2 2 cos 2α＝ 2 2 ×[3 5＋(－4 5 )]＝－ 2 10. 答案：－ 2 10 8．已知方程 x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为 tan α，tan β，且 α，β∈(－π 2，π 2)， 则 α＋β＝________． 解析：由已知得 tan α＋tan β＝－3a， tan αtan β＝3a＋1，所以 tan(α＋β)＝1. 又因为 α，β∈(－π 2，π 2)，tan α＋tan β＝－3a＜0， tan αtan β＝3a＋1＞0， 所以 tan α＜0，tan β＜0， 所以 α，β∈(－π 2，0)， 所以 α＋β∈(－π，0)， 所以 α＋β＝－3π 4 . 答案：－3π 4 9．已知 tan α＝－1 3，cos β＝ 5 5 ，α∈(π 2，π )，β∈(0，π 2 )，求 tan(α＋β)的值，并求出 α＋ β 的值． 解：由 cos β＝ 5 5 ，β∈(0，π 2 )， 得 sin β＝2 5 5 ，tan β＝2. 所以 tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β＝ －1 3＋2 1＋2 3 ＝1. 因为 α∈(π 2，π )，β∈(0，π 2 )， 所以π 2<α＋β<3π 2 ，所以 α＋β＝5π 4 . 10．已知函数 f(x)＝Acos(x 4＋π 6)，x∈R，且 f(π 3 )＝ 2. (1)求 A 的值； (2)设 α，β∈[0，π 2 ]，f(4α＋4π 3 )＝－30 17，f(4β－2π 3 )＝8 5，求 cos(α＋β)的值． 解：(1)因为 f(π 3 )＝Acos( π 12＋π 6)＝Acosπ 4＝ 2 2 A＝ 2，所以 A＝2. (2)由 f(4α＋4π 3 )＝2cos(α＋π 3＋π 6)＝2cos(α＋π 2 )＝－2sin α＝－30 17， 得 sin α＝15 17，又 α∈[0，π 2 ]，所以 cos α＝ 8 17. 由 f(4β－2π 3 )＝2cos(β－π 6＋π 6)＝2cos β＝8 5， 得 cos β＝4 5，又 β∈[0，π 2 ]，所以 sin β＝3 5， 所以 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝ 8 17×4 5－15 17×3 5＝－13 85. 1．cosπ 9·cos2π 9 ·cos(－23π 9 )＝(　　) A．－1 8 B．－ 1 16 C． 1 16 D．1 8 解析：选 A．cosπ 9·cos2π 9 ·cos(－23π 9 )＝cos 20°·cos 40°·cos 100° ＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－ sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80° sin 20° ＝－ 1 2sin 40°·cos 40°·cos 80° sin 20° ＝－ 1 4sin 80°·cos 80° sin 20° ＝－ 1 8sin 160° sin 20° ＝－ 1 8sin 20° sin 20° ＝－1 8. 2．设 α∈(0，π 2 )，β∈(0，π 2 )，且 tan α＝1＋sin β cos β ，则(　　) A．3α－β＝π 2 B．2α－β＝π 2 C．3α＋β＝π 2 D．2α＋β＝π 2 解析：选 B．因为 tan α＝1＋sin β cos β ，所以 sin α cos α＝1＋sin β cos β ，即 sin αcos β＝cos α＋ cos αsin β，所以 sin αcos β－cos αsin β＝cos α，即 sin(α－β)＝sin(π 2－α )，又 α，β 均为锐角， 且 y＝sin x 在(－π 2，π 2)上单调递增，所以 α－β＝π 2－α，即 2α－β＝π 2，故选 B． 3．已知 cos(x－π 6 )＝－ 3 3 ，则 cos x＋cos(x－π 3 )＝(　　) A．－2 3 3 B．±2 3 3 C．－1 D．±1 解析：选 C．因为 cos(x－π 6 )＝－ 3 3 ， 所以 cos x＋cos(x－π 3 )＝cos x＋cos xcosπ 3＋sin xsinπ 3 ＝3 2cos x＋ 3 2 sin x＝ 3( 3 2 cos x＋1 2sin x) ＝ 3cos(x－π 6 )＝ 3×(－ 3 3 )＝－1. 4．已知 α、β 均为锐角，且 tan β＝ cos α－sin α cos α＋sin α，则 tan(α＋β)＝________． 解析：因为 tan β＝ cos α－sin α cos α＋sin α， 所以 tan β＝1－tan α 1＋tan α＝tan(π 4－α ). 又 α、β 均为锐角，所以 β＝π 4－α，即 α＋β＝π 4， 所以 tan(α＋β)＝tan π 4＝1. 答案：1 5．已知 0<α<π 2<β<π，cos(β－π 4 )＝1 3，sin(α＋β)＝4 5. (1)求 sin 2β 的值； (2)求 cos (α＋π 4 )的值． 解：(1)法一：因为 cos(β－π 4 )＝cosπ 4cos β＋sinπ 4sin β＝ 2 2 cos β＋ 2 2 sin β＝1 3， 所以 cos β＋sin β＝ 2 3 ， 所以 1＋sin 2β＝2 9，所以 sin 2β＝－7 9. 法二：sin 2β＝cos(π 2－2β)＝2cos2(β－π 4 )－1＝－7 9. (2)因为 0<α<π 2<β<π， 所以π 4<β－π 4<3 4π，π 2<α＋β<3π 2 . 所以 sin(β－π 4 )>0，cos(α＋β)<0， 因为 cos(β－π 4 )＝1 3，sin(α＋β)＝4 5， 所以 sin(β－π 4 )＝2 2 3 ，cos(α＋β)＝－3 5. 所以 cos(α＋π 4 )＝cos[(α＋β)－(β－π 4 )] ＝cos(α＋β)cos(β－π 4 )＋sin(α＋β)sin(β－π 4 ) ＝－3 5×1 3＋4 5×2 2 3 ＝8 2－3 15 . 6．已知角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点 P(－3， 3)． (1)求 sin 2α－tan α 的值； (2)若函数 f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数 g(x)＝ 3f(π 2－2x)－2f2(x)在区间 [0， 2π 3 ]上的值域． 解：(1)因为角 α 的终边经过点 P(－3， 3)， 所以 sin α＝1 2，cos α＝－ 3 2 ，tan α＝－ 3 3 . 所以 sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－ 3 2 ＋ 3 3 ＝－ 3 6 . (2)因为 f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，x∈R， 所以 g(x)＝ 3cos(π 2－2x)－2cos2x ＝ 3sin 2x－1－cos 2x＝2sin(2x－π 6)－1， 因为 0≤x≤2π 3 ， 所以－π 6≤2x－π 6≤7π 6 .所以－1 2≤sin(2x－π 6)≤1， 所以－2≤2sin(2x－π 6)－1≤1， 故函数 g(x)＝ 3f(π 2－2x)－2f2(x)在区间[0， 2π 3 ]上的值域是[－2，1]．