山东省滨州市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试卷

山东省滨州市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试卷

高一数学试题 ‎2020.7‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知复数是纯虚数，则实数m＝（　　）‎ A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题先将化简为的代数形式，再根据纯虚数的定义建立方程求参数.‎ ‎【详解】解：∵ 是纯虚数，‎ ‎∴ ，解得：，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】考查复数的代数形式以及纯虚数的定义，是基础题.‎ ‎2. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是（ ）‎ A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 27 -‎ 把该组数据从小到大排列，计算，从而找出对应的第80百分位数；‎ ‎【详解】该组数据从小到大排列为：5，5，6，7，8，9，且，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查一组数据的百分数问题，属于基础题.‎ ‎3. 设为平面，，为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解．‎ ‎【详解】若，，则与相交、平行或异面，故错误；‎ 若，，则由直线与平面垂直的判定定理知，故正确；‎ 若，，则或，故错误；‎ 若，，则，或，或与相交，故错误．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎4. 已知在平行四边形中，点、分别是、的中点，如果，，那么向量（　　）‎ - 27 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形，利用平面向量加法法则可求得结果.‎ ‎【详解】如下图所示：‎ 点、分别是、的中点，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的基底分解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆锥的底面半径为，高为，母线为，根据其表面积为，得到 - 27 -‎ ‎，再由它的侧面展开图是一个半圆，得到，联立求得半径和高，利用体积公式求解.‎ ‎【详解】解：设圆锥的底面半径为，高为，母线为，‎ 因为其表面积为，‎ 所以，‎ 即，‎ 又因为它的侧面展开图是一个半圆，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以，‎ 所以此圆锥的体积为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆的面积、周长、圆锥的侧面积及体积等知识点，考查运算求解能力，属于基础题型.‎ ‎6. 《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事，其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马，若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 27 -‎ 本题先将所有的基本事件都列出来共9种，再将田忌的马获胜的事件选出共3种，最后计算概率即可.‎ ‎【详解】解：设田忌的上等马为，中等马为：，下等马为，齐王的上等马为，中等马为：，下等马为，双方各自随机选1匹马进行1场比赛产生的基本事件为：，，，，，，，，，共9种；其中田忌的马获胜的事件为：，，，共3种，所以田忌的马获胜的概率为：.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型，是基础题.‎ ‎7. 如图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点，从点测得点的仰角，点的仰角，，从点测得．已知山高，则山高（单位：）为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出，在中，利用正弦定理求得，然后在中可计算出.‎ ‎【详解】在中，，为直角，则，‎ - 27 -‎ 在中，，，则，‎ 由正弦定理，可得，‎ 在中，，，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查测量高度问题，考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎8. 如图，在平面直角坐标系中，原点为正八边形的中心，轴，若坐标轴上的点（异于点）满足（其中，且、），则满足以上条件的点的个数为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分点在、轴进行分类讨论，可得出点、关于坐标轴对称，由此可得出点 - 27 -‎ 的个数.‎ ‎【详解】分以下两种情况讨论：‎ ‎①若点在轴上，则、关于轴对称，‎ 由图可知，与、与、与、与关于轴对称，‎ 此时，符合条件的点有个；‎ ‎②若点在轴上，则、关于轴对称，‎ 由图可知，与、与、与、与关于轴对称，‎ 此时，符合条件的点有个.‎ 综上所述，满足题中条件的点的个数为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则的应用，属于中等题.‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9. 已知复数z满足（1﹣i）z＝2i，则下列关于复数z的结论正确的是（　　）‎ A. ‎ B. 复数z的共轭复数为＝﹣1﹣i C. 复平面内表示复数z的点位于第二象限 D. 复数z是方程x2+2x+2＝0的一个根 ‎【答案】ABCD - 27 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.‎ ‎【详解】因为（1﹣i）z＝2i，所以，所以，故正确；‎ 所以，故正确；‎ 由知，复数对应的点为，它在第二象限，故正确；‎ 因，所以正确.‎ 故选：ABCD.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.‎ ‎10. 某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在，，，，五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（ ）‎ ‎ ‎ A. 样本中女生人数多于男生人数 B. 样本中层人数最多 C. 样本中层次男生人数为6人 D. 样本中层次男生人数多于女生人数 - 27 -‎ ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案.‎ ‎【详解】样本中女生人数为：，男生数为，正确；‎ 样本中层人数为：；样本中层人数为：；‎ 样本中层人数为：；样本中层人数为：；‎ 样本中层人数为：；故正确；‎ 样本中层次男生人数为：，正确；‎ 样本中层次男生人数：，女生人数为，错误.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎11. 已知事件，，且，，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 如果，那么，‎ B. 如果与互斥，那么，‎ C. 如果与相互独立，那么，‎ D. 如果与相互独立，那么，‎ ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 27 -‎ A选项在前提下，计算出，，即可判断；B选项在与互斥前提下，计算出，，即可判断；C、D选项在与相互独立前提下，计算出，， ，，即可判断.‎ ‎【详解】解：A选项：如果，那么，，故A选项错误；‎ B选项：如果与互斥，那么，，故B选项正确；‎ C选项：如果与相互独立，那么，，故C选项错误；‎ D选项：如果与相互独立，那么，，故D选项正确.‎ 故选：BD.‎ ‎【点睛】本题考查在包含关系，互斥关系，相互独立的前提下的和事件与积事件的概率，是基础题.‎ ‎12. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）‎ A. 若点，分别是线段，的中点，则 B. 点到平面的距离为 - 27 -‎ C. 直线与平面所成的角等于 D. 三棱柱的外接球的表面积为 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A选项：通过平行的传递性得到结论；‎ B选项：根据点到平面的距离为，进一步得到答案; ‎ C选项：根据直线与平面所成的角为∠，进一步得出结论；‎ D选项：根据三棱柱的外接球的半径为正方体体对角线的一半，进一步得到答案.‎ ‎【详解】A选项：若点，分别是线段，的中点，则又∵‎ 所以，故A正确；‎ B选项：连接交于点，由题易知点到平面的距离为，∵正方体的棱长为1，∴，故B错误；‎ C选项：易知直线与平面所成的角为∠，‎ - 27 -‎ ‎∴∠，故C正确；‎ D选项：易知三棱柱的外接球的半径为正方体体对角线的一半，‎ ‎∴‎ ‎∴表面积为，故D正确.‎ 故选：ACD.‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，通过线线平行、点到面的距离、线面角，以及外接球的知识点来考查，解题时要注意空间思维能力的培养，是中档题.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得的值进而求得．‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ - 27 -‎ 由于为三角形内角，可得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦．‎ ‎14. 已知数据，，，…，的平均数为10，方差为2，则数据，，，…，的平均数为________，方差为________.‎ ‎【答案】 (1). 19 (2). 8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合平均数公式和方差公式计算即可得解.‎ ‎【详解】由已知条件可得，‎ ‎，‎ 所以数据、、、、的平均数为 ‎，‎ 方差为 - 27 -‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查了平均数与方差的计算，考查了运算求解能力，属于基础题.‎ ‎15. 已知，，，则与的夹角为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题先求，，，再根据化简整理得，最后求与的夹角为.‎ ‎【详解】解：∵ ，，‎ ‎∴ ，，，‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ‎ 整理得：，‎ ‎∴与的夹角为：.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角，是基础题.‎ - 27 -‎ ‎16. 如图，在三棱锥中，，，，且，，则二面角的余弦值是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点，连接、，证明出，，可得出面角的平面角为，计算出、，利用余弦定理求得，由此可得出二面角的余弦值.‎ ‎【详解】取的中点，连接、，如下图所示：‎ ‎，为的中点，则，且，，‎ - 27 -‎ ‎，‎ 同理可得，且，所以，二面角的平面角为，‎ 由余弦定理得，‎ 因此，二面角的余弦值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二面角余弦值的计算，考查二面角的定义，考查计算能力，属于中等题.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 已知向量.‎ ‎（1）若向量，且，求的坐标；‎ ‎（2）若向量与互相垂直，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）或（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1） 因为，所以可以设求出坐标，根据模长，可以得到参数的方程.‎ ‎（2） 由于已知条件 可以计算出与坐标（含有参数）而两向量垂直，可以得到关于的方程，完成本题.‎ - 27 -‎ ‎【详解】（1）法一:设，‎ 则，‎ 所以 解得 所以或 法二:设，‎ 因为，，所以，‎ 因为，所以 解得或，‎ 所以或 ‎（2）因为向量与互相垂直 所以，即 而，，所以，‎ 因此，‎ 解得 ‎【点睛】考查了向量的线性表示，引入参数，只要我们能建立起引入参数的方程，则就能计算出所求参数值，从而完成本题.‎ - 27 -‎ ‎18. 已知、、分别为三个内角、、的对边，且，，．‎ ‎（1）求及的面积；‎ ‎（2）若为边上一点，且，______，求的正弦值．‎ 从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答．‎ ‎【答案】（1），；（2）选①，；选②，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用余弦定理可得出关于的二次方程，可解出的值，进而可求得的面积；‎ ‎（2）选①，在中，利用正弦定理可求得的值，再由可得出，进而可求得的正弦值；‎ 选②，利用正弦定理求得的值，由同角三角函数的基本关系可求得，再利用两角和的正弦公式可求得的值.‎ ‎【详解】（1）由余弦定理得，整理得，‎ ‎，解得，；‎ ‎（2）选①，如下图所示：‎ - 27 -‎ 在中，由正弦定理得，可得，‎ 在中，，则，所以，；‎ 选②，在中，由正弦定理得，可得，‎ 由于为锐角，则，‎ ‎，‎ 因此，.‎ ‎【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，同时也考查了三角形内角正弦值的计算，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎19. 在四面体中，点，，分别是，，的中点，且，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求异面直线与所成的角.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ - 27 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由点，分别是，的中点，得到，结合线面平行的判定定理，即可求解；‎ ‎（2）由（1）知和，得到即为异面直线与所成的角，在中，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，点，分别是，的中点，所以，‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面；‎ ‎（2）由（1）知，‎ 因为点，分别是，的中点，可得，‎ 所以即为异面直线与所成的角（或其补角）.‎ 在中，，所以为等边三角形，‎ 所以，‎ 即异面直线与所成的角为.‎ ‎【点睛】‎ - 27 -‎ 本题主要考查了线面平行的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中熟记线面平行的判定定理和异面直线所成角的概念，转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查推理与运算能力.‎ ‎20. 溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．‎ ‎（1）分别求甲队总得分为3分与1分的概率；‎ ‎（2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）记“甲队总得分为3分”为事件，记“甲队总得分为1分”为事件，甲队得3分，即三人都回答正确，甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为3分与1分的概率．‎ ‎（2）记“甲队得分为2分”为事件，记“乙队得分为1分”为事件，事件即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，事件即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，由题意得事件与事件相互独立，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．‎ ‎【详解】解：（1）记“甲队总得分为3分”为事件，记“甲队总得分为1分”为事件，‎ 甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为，‎ 甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，‎ 其概率为．‎ - 27 -‎ 甲队总得分为3分与1分的概率分别为，．‎ ‎（2）记“甲队得分为2分”为事件，记“乙队得分为1分”为事件，‎ 事件即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，‎ 则，‎ 事件即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，‎ 则，‎ 由题意得事件与事件相互独立，‎ 甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率：‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎21. 如图，在三棱锥中，底面，，，点为线段的中点，点为线段上一点.‎ ‎（1）求证：平面平面.‎ ‎（2）当平面时，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ - 27 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证明，再证明，从而证明平面，最后证明平面平面；‎ ‎（2）先判断点为的中点，再判断三棱锥的体积等于三棱锥的体积，最后求体积即可.‎ ‎【详解】（1）证明：因底面，且底面，‎ 所以.‎ 因为，且点为线段的中点，‎ 所以.‎ 又，‎ 所以平面.‎ 又平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（2）解：因为平面，平面，平面平面，‎ 所以.‎ 因为点为的中点，所以点为的中点.‎ 法一：‎ 由题意知点到平面的距离与点到平面的距离相等，‎ 所以 - 27 -‎ ‎.‎ 所以三棱锥的体积为.‎ 法二：‎ 因为平面，‎ 由题意知点到平面的距离与点到平面的距离相等.‎ 所以，‎ 又，，，，‎ 由（1）知，，又，且，所以平面，‎ 所以 ‎.‎ 所以三棱锥体积为.‎ 法三：‎ 又，，，，‎ 由（1）知：平面，‎ 且.‎ 所以 ‎.‎ - 27 -‎ 所以三棱锥的体积为.‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直的证明，三棱锥的体积，是中档题.‎ ‎22. 2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）求频率分布直方图中a的值；‎ ‎（2）由频率分布直方图；‎ ‎（i）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；‎ ‎（ii）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在 - 27 -‎ ‎[220，240）和[260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）（i）（ii）（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据7组频率和为1列方程可解得结果；‎ ‎（2）（i）根据前三组频率和为，前四组频率和为可知中位数在第四组，设中位数为，根据即可解得结果；‎ ‎（ii）利用各组的频率乘以各组的中点值，再相加即可得解；‎ ‎（3）根据分层抽样可得从成绩在[220，240）的组中应抽取人，从成绩在[260，280）的组中应抽取人，再用列举法以及古典概型的概率公式可得解.‎ ‎【详解】（1）由，得；‎ ‎（2）（i）因为，，‎ 所以中位数在，设中位数为，所以，解得，‎ 所以物理、化学、生物三科总分成绩的中位数为；‎ ‎（ii）这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数为 - 27 -‎ ‎（3）物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和[260，280）的两组中的人数分别为：人，人，根据分层随机抽样可知，从成绩在[220，240）的组中应抽取人，记为，从成绩在[260，280）的组中应抽取人，记为，‎ 从这7名学生中随机抽取2名学生的所有基本事件为：，，共有种，其中这2名学生来自不同组的共有种，‎ 根据古典概型的概率公式可得所求概率为.‎ ‎【点睛】本题考查了利用直方图求中位数、平均数，考查了利用直方图求参数，考查了分层抽样，考查了古典概型的概率公式，属于中档题.‎ - 27 -‎