2019-2020学年吉林省实验中学高一上学期第二次月考数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年吉林省实验中学高一上学期第二次月考数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年吉林省实验中学高一上学期第二次月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．将化为 的形式是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意将角除以做有余数的除法，化成，需注意的是 ‎【详解】‎ 解：‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查终边相同角的表示，属于基础题。‎ ‎2．角的终边经过点且，则的值为()‎ A．-3 B．3 C．±3 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据三角函数的定义建立方程关系即可。‎ ‎【详解】‎ 因为角的终边经过点且，‎ 所以 则 ‎ 解得 ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的定义的应用，应注意求出的b为正值。‎ ‎3．若α是第四象限角，则180°－α是(　　)‎ A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ‎【答案】C ‎【解析】本题可用特殊值法，令α=－60°，判断180°－α所在位置即可选出答案。‎ ‎【详解】‎ 特殊值法，给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α在第三象限.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了象限角知识，考查了学生对基础知识的掌握，属于基础题。‎ ‎4．函数的定义域为（ ）‎ A．且 B．‎ C． D．且 ‎【答案】B ‎【解析】由正切函数的定义得，，，求出的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 函数的定义域是 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正切函数的定义域问题，属于基础题．‎ ‎5．函数，的大致图像是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用五点作图法，判断出正确的图像.‎ ‎【详解】‎ 当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.结合正弦函数的图像可知B正确.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查五点作图判断三角函数图像，考查三角函数图像的识别，属于基础题.‎ ‎6．下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】为奇函数，排除.在上递减，排除.在没有定义，排除.故选.‎ ‎7．若为第一象限角，则，，，中必定为正值的有（ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，是第一或二象限角，且为第一或三象限角，由此结合正、余弦函数在各个象限的符号规律，不难得到本题的答案．‎ ‎【详解】‎ 解：因为为第一象限角，所以为第一或二象限角，‎ 可得：，而符号不确定，‎ 又为第一或三象限角，‎ ‎，可以是正数，也可以是负数，它们的符号均不确定 综上所述，必定为正值的只有一个 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题给出是第一象限角，判断几个三角函数值的符号．着重考查了象限角的概念和三角函数在各个象限的符号等知识，属于基础题．‎ ‎8．函数是上的偶函数，则的值是（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据是奇函数，是偶函数，对选项逐一排除即可．‎ ‎【详解】‎ 解：当时，为奇函数不满足题意，排除；‎ 当时，为非奇非偶函数，排除；‎ 当时，，为偶函数，满足条件．‎ 当时，，为奇函数，排除；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的奇偶性及诱导公式，属于基础题．‎ ‎9．已知函数的部分图像如图所示，则的解析式是（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据图像的最大值和最小值得到，根据图像得到周期，从而求出，再代入点得到的值.‎ ‎【详解】‎ 由图像可得函数的最大值为2，最小值为-2，故 根据图像可知，‎ 所以，‎ 代入点得 所以，‎ 因为，所以 ‎ 所以，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据正弦型函数的图像求函数的解析式，属于简单题.‎ ‎10．下列四种变换方式，其中能将的图象变为的图象的是（　　） ‎ ‎①向左平移，再将横坐标缩短为原来的； ②横坐标缩短为原来的，再向左平移；‎ ‎③横坐标缩短为原来的，再向左平移； ④向左平移，再将横坐标缩短为原来的．‎ A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④‎ ‎【答案】A ‎【解析】将y=sinx的图象向左平移,可得函数y=sin(x+)的图象，‎ 再将横坐标缩短为原来的,可得y=sin()的图象，故①正确。‎ 或者是：将y=sinx的图象横坐标缩短为原来的，可得y=sin2x的图象，‎ 再向左平移个单位,可得y=sin(的图象，故②正确，故选A.‎ ‎11．若对任意实数都有.且,‎ 则实数的值等于( )‎ ‎ A． B． C．或1 D．或3‎ ‎【答案】C ‎【解析】略 ‎12．方程的解的个数是（ ）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】将方程的解转化为函数与的交点问题，在同一平面直角坐标系中画出两函数图象，数形结合即可判断.‎ ‎【详解】‎ 解：依题意，方程的解的个数等价于函数与的交点个数，在同一平面直角坐标系中画出两函数图象，如图所示，‎ 当时函数在定义域内单调递增，且，的值域为，即当时两函数无交点，‎ 故与的有个交点，即方程有个解.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数方程思想，将方程的解转化为函数的交点问题，属于基础题。‎ 二、填空题 ‎13．函数的最小正周期是________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直接利用函数的最小正周期公式解答．‎ ‎【详解】‎ 解：函数中，‎ 由 即，故函数的最小正周期是，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的周期及其求法，关键是熟练的掌握公式，属于基础题。‎ ‎14．设 则__________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据分段函数的表达式代入即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 解：由分段函数的表达式可知，‎ ‎，‎ 则，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式进行转化是解决本题的关键．‎ ‎15．化简_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先利用同角三角函数的基本关系式，进一步利用求得结果 ‎【详解】‎ 解：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用同角三角函数的基本关系化简，属于基础题。‎ ‎16．下列命题中，正确的序号是 _________________.‎ ‎①在上是单调递增函数；‎ ‎②设，且，则；‎ ‎③不是周期函数；‎ ‎④若，则.‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】①根据函数图象可判断；‎ ‎②利用同角三角函数的基本关系计算可得；‎ ‎③根据函数图象可判断；‎ ‎④可利用同角三角函数的基本关系，求出的解析式，即可求出的值；‎ ‎【详解】‎ 解：①可画出函数图象如图：‎ 由图可知函数在上是单调递减函数，故①错误；‎ ‎②‎ 解得或 故②正确 ‎③可画出函数图象如图：‎ 由图可知函数不是周期函数，故③错误；‎ ‎④‎ 故④正确；‎ 正确的有：②③④‎ 故答案为：②③④‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的性质，同角三角函数的基本关系，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知，求下列各式的值：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用同角三角函数基本关系式，分子分母同除 将弦化切，代入求解即可．‎ ‎（2）利用同角三角函数基本关系式，将原式看做分母为的分数，利用平方关系，分子分母同除 将弦化切，代入求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力，属于基础题、常考题.‎ ‎18．已知函数相邻两个最高点的距离等于．‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）求出函数的对称轴，对称中心；‎ ‎（3）把函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得到函数，再把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，不需要过程，直接写出函数的函数关系式.‎ ‎【答案】（1）2；（2），；（3）‎ ‎【解析】（1）由题意知最小正周期为，利用即可求得.‎ ‎（2）由（1）可知函数的解析式，结合正弦函数的性质即可求出对称轴及对称中心；‎ ‎（3）根据函数的变换规则求得函数的函数关系式.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由函数相邻两个最高点的距离等于，‎ 知函数的最小正周期为，‎ 且 ‎（2）由（1）知，‎ 令，‎ 解得，‎ 故函数的对称轴为，；‎ 令，‎ 解得，‎ 故函数的对称中心为，；‎ ‎（3）‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的图象变换，由的部分信息确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．‎ ‎19．已知扇形AOB的周长为8．‎ ‎（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小。‎ ‎（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小和弦长AB。‎ ‎【答案】（1）或；（2）；．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据扇形面积公式，和扇形周长公式，，分别解出弧长和半径，然后利用原型机的公式；‎ ‎（3）将面积转化为关于半径的二次函数，同时根据实际问题得到的范围，利用二次函数求最值，同时得到取得最大值时的，然后利用三角形由圆心和弦的中点连线与弦垂直，利用直角三角形求弦长．‎ 试题解析：（1）解：设扇形半径为,扇形弧长为，周长为,‎ 所以,解得 或，圆心角,或是．‎ ‎（2）根据，，得到,‎ ‎,当时，，此时，那么圆心角，‎ 那么，所以弦长 ‎【考点】1．扇形的面积，圆心角；（2）三角形的计算．‎ ‎20．已知为第三象限角，．‎ ‎(1)化简 ‎ ‎(2)若，求的值 ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】利用指数运算、指对互化、对数运算求解试题分析：‎ ‎（1）‎ ‎（2）由，得。又已知为第三象限角，‎ 所以，所以，‎ 所以=………………10分 ‎【考点】本题主要考查了诱导公式、同角三角函数基本关系以及三角函数符号的判定。‎ 点评：解决此类问题的关键是掌握诱导公式、同角三角函数基本关系以及三角函数符好的判定方法。诱导公式的记忆应结合图形记忆较好，难度一般。‎ ‎21．已知关于的方程的两根为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值；‎ ‎（3）若为的一个内角，求的值，并判断的形状.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）钝角三角形 ‎【解析】（1）利用韦达定理可得，利用平方差公式可将（1）中式子变形为得解；‎ ‎（2）由（1），平方可得即可求得的值；‎ ‎（3）由（2）利用同角三角函数的基本关系化为可得的值，需注意解是否都成立，根据可判断的范围，即可判断三角形的形状.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）关于的方程的两根为.‎ ‎（2）由（1）知， ‎ 即 ‎（3）由（2）知 解得或 为的一个内角 又 且 即为钝角 故为钝角三角形.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数的基本关系，韦达定理及三角形形状的判断，属于中档题。‎ ‎22．设函数，‎ 当时，函数取得最大值．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求函数的单调递增区间；‎ ‎（3）若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】（1）由题意时，函数取得最大值，代入可求；‎ ‎（2）由（1）可求函数的解析式，结合正弦函数的性质求出其单调递增区间；‎ ‎（3）画出函数的图象，函数在区间上有两个零点，转化为函数与有两个交点问题，数形结合可解；‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为函数在 时，函数取得最大值；‎ 所以 ‎，‎ 解得，‎ ‎（2）由（1）得 令，‎ 解得，‎ 即函数的单调递增区间为，‎ ‎（3）画出函数的图象如下：‎ 依题意函数在区间上有两个零点，等价于函数与函数有两个交点，‎ ‎，，‎ 即 ‎【点睛】‎ 本题考查正弦函数的性质，函数与方程思想，数形结合思想，属于中档题。‎