2017-2018学年广东省揭阳市普宁华美实验学校高二上学期第一次月考数学（理）试题

2017-2018学年广东省揭阳市普宁华美实验学校高二上学期第一次月考数学（理）试题

‎2017-2018学年第一学期华美实验学校第一次月考试卷 高二数学 （理）‎ 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的.请将正确答案填涂在答题卷上）‎ ‎1. 集合A={x|x2+2x＞0}，B={x|x2+2x﹣3＜0}，则A∩B=（　　）‎ ‎ A．（﹣3，1） B．（﹣3，﹣2） C．R D．（﹣3，﹣2）∪（0，1）‎ ‎2. 下列命题中正确的是（　　）‎ ‎ A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，c＜d，则＞‎ ‎ C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若ab＞0，a＞b，则＜‎ ‎3. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=3，b=，A=，则角B等于（　　）‎ ‎ A． B． C．或 D．以上都不对 ‎4. 在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（　　）‎ ‎ A． B． C．2 D．2‎ ‎5. 已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（　　）‎ ‎ A．a1+a101＞0 B．a2+a100＜‎0 ‎C．a3+a99=0 D．a51=51‎ ‎6. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=12，S6=60，则S9=（　　）‎ ‎ A．192 B．300 C．252 D．360‎ ‎7. 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a‎2a5=‎2a3，且a4与‎2a7的等差中项为，则S5=（　　）‎ ‎ A．29 B．‎31 ‎ C．33 D．36‎ 8. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A ‎ 的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走‎10米到位置D，测得∠‎ BDC=45°，则塔高AB的 ‎ 高度为（　　）‎ A．10 B． 10 C．10 D．10 ‎ ‎9. 已知数列{an}中，a1=2，an=1﹣（n≥2），则a2017等于（　　）‎ ‎ A．﹣ B． C．﹣1 D．2‎ ‎10. 下列函数中，最小值为4的是（　　）‎ ‎ A．y=x+ B．y=sinx+（0＜x＜π） C．y=ex+4e﹣x D．y=+‎ 11. 设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为 12，‎ ‎ 则 + 的最小值为（　　）‎ ‎ A． B． C． D．4‎ ‎12. 已知正实数a，b满足，则的最小值为 （ ）‎ ‎ A． B．‎4 ‎ C． D． ‎ 二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)答案填写在答题卡相应的位置上.‎ ‎13. 若变量x，y满足约束条件的最大值=　 　．‎ ‎14. 已知关于x的不等式ax2-ax＋2＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_________.‎ ‎15. 已知数列{an}满足递推关系式an+1=3an+3n﹣8（n∈N+），且{}为等差数列，‎ ‎ 则λ的值是　 ．‎ 16. 如图：已知，，在边上，且，‎ ‎ ，，（为锐角），则的 ‎ 面积为_________．‎ 三、解答题 ：(本大题6个小题，其中17题10分,其余每题12分,共70分;必须写出必 要的文字说明、演算步骤或推理过程).‎ ‎17.（10分）解下列关于x的不等式．‎ ‎ （1）≥3， （2）x2﹣ax﹣‎2a2≤0（a∈R）‎ 18. ‎（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b=5，c=，‎ ‎ 且4sin2 ﹣cos‎2C= ．‎ ‎ （1）求角C的大小； （2）求△ABC的面积．‎ ‎19. （12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．‎ ‎ （1）求角B的大小； （2）若a+c=1，求b的取值范围．‎ ‎20. （12分）已知数列{an}满足a1=1，且an=2an﹣1+2n（n≥2，且n∈N*）‎ ‎ （1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎ （2）设数列{an}的前n项之和Sn，求证：．‎ ‎21. （12分）若数列{an}是的递增等差数列，其中的a3=5，且a1，a2，a5成等比数列，‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn= ，求数列{bn}的前项的和Tn．‎ ‎（3）是否存在自然数m，使得 ＜Tn＜对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；‎ ‎ 若不存在，说明理由．‎ 22. ‎（12分）在数列中，对于任意，等式 ‎ ‎ 成立，其中常数.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：数列为等比数列；‎ ‎（Ⅲ）如果关于n的不等式的解集为 ‎ ，求b和c的取值范围.‎ ‎2017-2018学年第一学期华美实验学校第一次月考试卷 高二数学 答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D D A B C C B D D C A D ‎13. 3 14.[0,8) 15. -4 16. 225‎ ‎ ‎ ‎15.﹣4【解答】解：因为{}为等差数列，所以，d为常数，‎ 因为an+1=3an+3n﹣8（n∈N+），所以，‎ 则左边===为常数，‎ 则﹣8﹣2λ=0，解得λ=﹣4，故答案为：﹣4．　‎ ‎16.‎ 在中，由余弦定理可得，得，在中，由正弦定理，解得，所以，在中，，‎ 由正弦定理可得，解得，‎ 所以的面积为．‎ ‎17.【解答】（1）解：≥3⇔⇔⇒x∈（2，]；‎ ‎（2）x2﹣ax﹣‎2a2≤0（a∈R）解：当a=0时，不等式的解集为{0}；‎ 当a≠0时，原式⇔（x+a）（x﹣‎2a）≤0, 当a＞0时，不等式的解集为x∈[﹣a，‎2a]；‎ 当a＜0时，不等式的解集为x∈[‎2a，﹣a]；‎ ‎18.【解答】解：（1）∵A+B+C=180°，∴=90°﹣，‎ 由得：，‎ ‎∴，整理得：4cos‎2C﹣4cosC+1=0，解得：，‎ ‎∵0°＜C＜180°，∴C=60°；‎ ‎（2）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+b2﹣ab，‎ ‎∴7=（a+b）2﹣3ab=25﹣3ab⇔ab=6，‎ ‎∴．‎ ‎19.解：（1）由已知得：﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0，‎ 即sinAsinB﹣sinAcosB=0，∵sinA≠0，∴sinB﹣cosB=0，即tanB=，‎ 又B为三角形的内角，则B=；‎ ‎（2）∵a+c=1，即c=1﹣a，cosB=，‎ ‎∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣‎2ac•cosB，即b2=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣‎3ac=1﹣‎3a（1﹣a）=3（a﹣）2+，‎ ‎∵0＜a＜1，∴≤b2＜1，则≤b＜1．‎ ‎20.【解答】（1）∵an=2an﹣1+2n（≥2，且n∈N*）∴∴‎ ‎∴数列{}是以为首项，1为公差的等差数列；∴an=；‎ ‎（2）∵Sn=++…+‎ ‎∴2Sn=++…+‎ 两式相减可得﹣Sn=1+22+23+…+2n﹣=（3﹣2n）•2n﹣3‎ ‎∴Sn=（2n﹣3）•2n+3＞（2n﹣3）•2n ∴．‎ ‎21.【解答】解：（1）在等差数列中，设公差为d≠0，‎ 由题意，∴，解得．‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．‎ ‎（2）由（1）知，an=2n﹣1．‎ 则bn===（﹣），‎ 所以Tn=（1﹣+﹣+﹣+﹣）=（1﹣）=；‎ ‎（3）Tn+1﹣Tn=﹣=＞0，‎ ‎∴{Tn}单调递增，∴Tn≥T1=．∵Tn=＜，∴≤Tn＜‎ ‎＜Tn＜对一切n∈N*恒成立，则≤﹣＜∴≤m＜∵m是自然数，‎ ‎∴m=2．‎ ‎22.（Ⅰ）解：因为， ‎ ‎ 所以，， ‎ 解得 ，. ………………………… 3分 ‎（Ⅱ）证明：当时，由， ①‎ 得， ②‎ 将①，②两式相减，得 , ‎ 化简，得，其中. ………………… 5分 因为，‎ 所以 ，其中. ………………………… 6分 因为 为常数， ‎ 所以数列为等比数列. …………………… 8分 ‎（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得， ……………………… 9分 ‎ 所以， 11分 ‎ 又因为，‎ ‎ 所以不等式化简为，‎ ‎ 当时，考察不等式的解，‎ 由题意，知不等式的解集为， ‎ 因为函数在R上单调递增，‎ 所以只要求 且即可，‎ 解得； …………………… 13分 当时，考察不等式的解，‎ 由题意，要求不等式的解集为， ‎ 因为，‎ 所以如果时不等式成立，那么时不等式也成立，‎ 这与题意不符，舍去.‎ 所以，. ………………………… 14分