2017-2018学年山西省晋城一中高二12月月考数学理试题 解析版

2017-2018学年山西省晋城一中高二12月月考数学理试题 解析版

山西省晋城一中2017--2018学年高二12月月考数学理试题 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由直线，可得直线的斜率为，即，故选C．‎ 考点：直线的斜率与倾斜角．‎ ‎2．下列命题不正确的是（ ）‎ A. 若任意四点不共面，则其中任意三点必不共线 B. 若直线上有一点在平面外，则在平面外 C. 若一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 D. 若直线a，b，c中，a与b共面且b与c共面，则a与c共面 ‎【答案】D ‎【解析】A．若任意三点必共线，则必有四点共面，∴矛盾，∴A正确．‎ B．根据直线在平面外的定义可知，当直线和平面相交或直线和平面平行时，满足条件，∴B正确．‎ C．若一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则所有直线都和平面，没有公共点，∴这两个平面平行，∴C正确．‎ D．若三条直线满足两两异面，则结论不成立，∴D不正确．‎ 故选：D．‎ ‎3．设等差数列的前项和为，若，则（ ）‎ A. 54 B. 44 C. 34 D. 24‎ ‎【答案】A ‎【解析】设等差数列的公差为d，∵，‎ ‎∴4×3+9d=30，解得d=2．‎ 则S6=6×4+×2=54．‎ 故选：A．‎ ‎4．在中，角的对边分别为，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】由正弦定理得 ，所以“”是“‎ ‎”的充要条件，选C.‎ ‎5．若满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域，‎ 的几何意义是区域内的点到点D（﹣3，﹣1）的斜率，‎ 由图象知AD的斜率最大，‎ 由，得，即A（1，5），‎ 则的最大值z==，‎ 故选：C．‎ 点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】几何体为一个正方体(边长为2)去掉八分之一个球(半径为2),体积为 ,选A.‎ ‎7．设均为非零向量，已知命题是的必要不充分条件，命题是成立的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】若时，则一定成立，则充分性成立，若，当=时，则不一定成立，必要性不成立．∴为充分不必要条件，故p为假命题；‎ ‎|x|＞1等价于x＞1或x＜﹣1，‎ 所以充分性成立，必要性不成立，故q为真命题．‎ 故选B．‎ ‎8．函数的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数在上的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由已知，将的图象向左平移个单位后得到，因为其图像关于原点对称，故，则，，因为，故，则，因为，故，所以函数f（x）在上的最小值为．‎ 考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角函数的最值.‎ ‎9．在棱长为2的正方体中， 是棱的中点，过， ， 作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设 的中点为 ，则 ，连接 ，则梯形 就是过， ， 正方体的截面，其面积为 ，故选C.‎ ‎10．已知各项均不为零的数列，定义向量. 下列命题中真命题是（ ）‎ A. 若总有成立，则数列是等比数列 B. 若总有成立，则数列是等比数列 C. 若总有成立，则数列是等差数列 D. 若总有成立，则数列是等差数列 ‎【答案】D ‎【解析】∵‎ 当时，nan+（n+1）an+1=0，‎ 即=；‎ ‎∴an=‎ ‎=‎ ‎=；‎ ‎∴数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列，排除A,C选项 当时，（n+1）an﹣nan+1=0，‎ ‎∴=‎ ‎∴an==‎ ‎∴数列{an}为等差数列，排除B选项 故选:D ‎ ‎11．已知，点是直线与圆的公共点，则的最大值为（ ）‎ A. 15 B. 9 C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由于直线和圆有公共点，所以圆心到直线的距离不大于半径，即，解得，将点坐标代入直线和圆的方程，有，第一个式子两边平方后，代入第二个式子，化简得，二次函数对称轴为，且开口向上，根据可知当时， 有最大值为,‎ 点睛：本题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查二次函数求最值的方法，其中二次函数的定义域是有范围的.由于直线和圆有交点，故圆心到直线的距离不大于半径，由此可求得的取值范围.再将点坐标代入两个曲线的方程，化简出关于的表达式，最后利用二次函数求最值的方法求得最大值.‎ ‎12．已知椭圆C： ，F1、F2分别为其左、右焦点，A1，A2分别为其长轴的左右端点，动点M满足MA2⊥A1A2，A1M交椭圆于点P，则的值为（ ）‎ A. 8 B. 16 C. 20 D. 24‎ ‎【答案】B ‎【解析】A1 (−4,0), A2 (4,0),设M(4, ),P(x1,y1)，‎ 则=(x1,y1), =(4,t).‎ 直线A1 M:y−0= (x+4),即y=x+.‎ 代入椭圆,得,故此方程的两个根分别为−4和x1,‎ 由韦达定理可得x1−4=,∴x1= +4,∴y1=.‎ ‎∴=( +4, ),‎ ‎∴= =‎ 故选：B 点睛：本题也可以“小题小做”，当M点与A2点重合时，不难发现，而,从而容易得到.利用特殊点，特殊值是处理压轴小题的好方法.‎ 二、填空题 ‎13．若直线与直线平行，则实数的值__________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】∵直线与直线平行，‎ ‎∴﹣=﹣，且≠﹣2，‎ 解得m=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎14．已知， ， 与的夹角为，且与垂直，则实数__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为， ， 与的夹角为，所以 ，又与垂直，所以，即 ，所以 ，解得 .‎ ‎15．已知分别为长方体的棱的中点，若， ，则四面体的外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为四面体的外接球与三棱柱的外接球是同一个球。因为，所以的外接圆的半径，则外接球的半径，所以外接球的面积，应填答案。‎ 点睛：解答本题的关键是搞清楚三棱锥的外接球就是三棱柱三棱柱的外接球，求外接球的半径时则借助球心距与球半径、及三棱柱底面外接圆的半径之间的关系建立方程，从而使得问题获解。‎ ‎16．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，点在椭圆的内部，点P是椭圆C上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵点Q（c， ）在椭圆的内部，∴，⇒2b2＞a2⇒a2＞2c2． ‎ ‎|PF1|+|PQ|=2a﹣|PF2|+|PQ|‎ 又因为﹣|QF2|+|PQ|≤|PQ|﹣|PF2|≤|QF2|，且|QF2|=，‎ 要|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，即2a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+＜5×2c,‎ ‎， ，则椭圆离心率的取值范围是．‎ 故答案为： ‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ 三、解答题 ‎17．已知：方程有两个不等的正根； ：方程表示焦点在轴上的双曲线.‎ ‎（1）若为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围 ‎【答案】（1）.；（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据双曲线的性质可得，当焦点在轴上时，即；（2）分别求出， 真时的的范围，再根据真假或假真得到的范围.‎ 试题解析：（1）由已知方程表示焦点在轴上的双曲线，‎ 所以，解得，即.‎ ‎（2）若方程有两个不等的正根，‎ 则解得，即.‎ 因或为真，所以至少有一个为真.‎ 又且为假，所以至少有一个为假.‎ 因此， 两命题应一真一假，当为真， 为假时， ，解得；‎ 当为假， 为真时， ，解得.‎ 综上， 或.‎ 考点：复合命题的真假.‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，，，D是棱的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：对应第一问，关键是要掌握线面垂直的判定，把握线线垂直的证明方法，第二问注意椎体的体积公式的应用.‎ 试题解析：（1）由题设知，，‎ ‎∴平面. （2分）‎ 又∵平面，∴. （3分）‎ 由题设知，∴，即. （4分）‎ ‎∵，∴平面. （6分）‎ ‎（2） ∵，D是棱的中点，‎ ‎∴ （7分）‎ ‎∴， （9分）‎ ‎∴的面积 （10分）‎ ‎∴ （11分）‎ ‎∴，即三棱锥的体积为. （13分）‎ 考点：线面垂直的判定，椎体的体积.‎ ‎19．已知椭圆的离心率为，右焦点为，上顶点为，且的面积为（是坐标原点）.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆上的一点，过的直线与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限，切点为，证明： 为定值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）离心率， ，和得到 ，求解方程；（2）设，根据两点间距离求,再根据弦长公式求，利用点在椭圆上化简得到定值.‎ 试题解析：解：（1）设椭圆的半焦距为，由已知得 .‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）以短轴为直径的圆的方程为，.‎ 设，则.‎ ‎∴ .‎ 又与圆相切于，‎ ‎∴ .‎ ‎∴.‎ ‎20．如图，三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，且，，四棱锥的体积为2，点在平面内的正投影为，且在上点是线段上，且．‎ ‎（1）证明：直线平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】(1)详见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）通过构造辅助线FH，证明为平行四边形，即借助线线平行证明线面平行；（2）借助底面四边形的对角线互相垂直，建立空间直角坐标，利用向量方法求解二面角.‎ ‎（Ⅰ）解析：‎ 因为四棱锥的体积为2，‎ 即，所以 又，所以即点是靠近点的四等分点，‎ 过点作交于点，所以，‎ 又，所以且， ‎ 所以四边形为平行四边形，‎ 所以，所以直线平面.‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ ‎ 设的交点为，所在直线为轴，所在直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：‎ 设平面的法向量为，‎ ‎，则， ，则 ‎，即为所求.‎ 点睛：本题主要考查直线与平面平行的判定定理、二面角、空间向量的应用，以三棱柱为载体，考查借助空间想象能力、逻辑推证、转化能力、运算能力．线面平行的判定方法一是线面平行的判定定理，二是证面面平行，其解题的关键是在面内找到一线与面外一线平行，或由线面平行导出面面平行，性质的运用一般要利用辅助平面；求二面角通常通过建立空间直角坐标系利用空间夹角公式求解．‎ ‎21．已知点M是圆心为E的圆上的动点，点，线段MF的垂直平分线交EM于点P.‎ ‎（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎ （Ⅱ）过原点O作直线交（Ⅰ）中轨迹C于点A、B，点D满足 ‎，试求四边形AFBD的面积的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求出点P的轨迹是椭圆，其中， ，求出椭圆方程即可；‎ ‎（Ⅱ）求出SAFBD=2S△AFB，通过讨论AB是短轴、AB是长轴的情况，求出四边形的面积即可．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）∵点P为线段MF的垂直平分线，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 所以点P的轨迹为椭圆，其中， ‎ 所以点P的轨迹C的方程为 ‎ ‎（Ⅱ）由，知四边形AFBD为平行四边形 所以 ‎① 当AB为短轴时， ‎ 即 ‎② 当AB为长轴时，易知四边形AFBD不是平行四边形，所以AB的斜率不为0.‎ ‎③ 当直线AB的斜率存在且不为0时，设AB的方程为 联立方程消去x，整理得 则， ‎ ‎，‎ ‎，‎ 而，所以 ‎ 综上，四边形AFBD的面积的取值范围为 ‎22．已知椭圆： （）的上顶点到右顶点的距离为，左焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于， 两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程及的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）在轴上是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在定点．‎ ‎【解析】试题分析：（1）运用离心率公式和焦点坐标，直接求出a，b；‎ ‎（2）利用设而不求的方法，表示出，设出要求的定值，利用对应项系数成比例明确出点的坐标 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由已知可得，得， ， ．‎ 过点且斜率为的直线： ．‎ 由，消去得．‎ 则 或，‎ 所以的取值范围是 ‎（Ⅱ）设， ，‎ 则由（Ⅰ）知， ， ．‎ 又，‎ ‎． ‎ 假设存在点，则， ，‎ 所以 ‎ ‎，‎ 要使得（为常数），只要，‎ 从而，‎ 整理得，解得，从而，‎ 故存在定点．‎ 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎