【数学】2018届一轮复习人教A版(理)11-7离散型随机变量及其分布列学案

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【数学】2018届一轮复习人教A版(理)11-7离散型随机变量及其分布列学案

‎§11.7 离散型随机变量及其分布列 考纲展示► ‎ ‎1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,认识分布列对于刻画随机现象的重要性,会求某些取有限个离散型随机变量的分布列.‎ ‎2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.‎ 考点1 离散型随机变量的分布列的性质 ‎1.随机变量的有关概念 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量;按一定次序________,这样的随机变量叫做离散型随机变量.‎ 答案:一一列出 ‎2.离散型随机变量的分布列 ‎(1)概念 若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,3,…,n)的概率P(X=xi)=pi,如下表:‎ X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn 此表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,有时也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列.‎ ‎(2)性质 ‎①pi________,i=1,2,3,…,n;‎ ‎②i=1.‎ 答案:(2)①≥0‎ ‎3.常见离散型随机变量的分布列 ‎(1)两点分布 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎________‎ p 若随机变量X的分布列具有上表的形式,就称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为________.‎ ‎(2)超几何分布 在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=________,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ m P ‎______‎ ‎______‎ ‎…‎ ‎______‎ 如果随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量X服从超几何分布.‎ 答案:(1)1-p 成功概率 ‎(2)    ‎(1)[教材习题改编]已知离散型随机变量ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ n P ‎…‎ 则k的值为________.‎ 答案:1‎ 解析:由++…+=1,得k=1.‎ ‎(2)[教材习题改编]设随机变量X等可能取1,2,3,…,n,如果P(X<4)=0.3,那么n=________.‎ 答案:10‎ 解析:由题意知×3=0.3,∴n=10.‎ ‎[典题1] 设离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ m 求:(1)2X+1的分布列;‎ ‎(2)|X-1|的分布列.‎ ‎[解] 由分布列的性质知,‎ ‎0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3.‎ 首先列表为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2X+1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎|X-1|‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 从而由上表得两个分布列为 ‎(1)2X+1的分布列为 ‎2X+1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ P ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎(2)|X-1|的分布列为 ‎|X-1|‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎[点石成金] 1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证各个概率值均为非负数.‎ ‎2.若X是随机变量,则η=|X-1|等仍然是随机变量,求它的分布列可先求出相应随机变量的值,再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率,进而写出分布列.‎ 考点2 离散型随机变量分布列的求法 离散型随机变量的分布列易错点:随机变量的取值不全;分布列的概率之和不为1.‎ 下列四个表格中,可以作为离散型随机变量分布列的是________.‎ 答案:③‎ 解析:利用离散型随机变量的分布列的性质可排除①,②,④.‎ 离散型随机变量的分布列:随机变量的取值;求概率;列表检验.‎ 某射手射击一次所得环数X的分布列如下:‎ X ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ 现该射手进行两次射击,以两次射击中最高环数作为他的成绩,记为ξ,则ξ的分布列为________.‎ 答案:‎ ξ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎0.01‎ ‎0.24‎ ‎0.39‎ ‎0.36‎ 解析:ξ的可能取值为7,8,9,10.P(ξ=7)=0.12=0.01,P(ξ=8)=2×0.1×0.4+0.42=0.24,‎ P(ξ=9)=2×0.1×0.3+2×0.4×0.3+0.32=0.39,‎ P(ξ=10)=2×0.1×0.2+2×0.4×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36,‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎0.01‎ ‎0.24‎ ‎0.39‎ ‎0.36‎ ‎[典题2] 某商店试销某种商品20天,获得如下数据:‎ 日销售量(件)‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎5‎ 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率.‎ ‎(1)求当天商店不进货的概率;‎ ‎(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列.‎ ‎[解] (1)P(当天商店不进货)=P(当天商品销售量为0件)+P(当天商品销售量为1件)=+=.‎ ‎(2)由题意知,X的可能取值为2,3.‎ P(X=2)=P(当天商品销售量为1件)==;‎ P(X=3)=P(当天商品销售量为0件)+P(当天商品销售量为2件)+P(当天商品销售量为3件)=++=.‎ 所以X的分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ P ‎[点石成金] 求离散型随机变量分布列的步骤 考点3 超几何分布 ‎ ‎ ‎[典题3] 为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.‎ ‎(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;‎ ‎(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列.‎ ‎[解] (1)由已知得,‎ P(A)==.‎ 所以事件A发生的概率为.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.‎ P(X=k)=(k=1,2,3,4).‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎[点石成金] 超几何分布的两个特点 ‎(1)对于服从某些特殊分布的随机变量,其分布列可直接应用公式给出;‎ ‎(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数,随机变量取值的概率实质上是古典概型.‎ ‎[2017·山东济南调研]PM2.5是指悬浮在空气中的直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095-2012,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.‎ 从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示:‎ PM2.5日均值(微克/立方米)‎ ‎[25,‎ ‎35]‎ ‎(35,‎ ‎45]‎ ‎(45,‎ ‎55]‎ ‎(55,‎ ‎65]‎ ‎(65,‎ ‎75]‎ ‎(75,‎ ‎85]‎ 频数 ‎3‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,求恰有一天空气质量达到一级的概率;‎ ‎(2)从这10天的数据中任取3天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列.‎ 解:(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,恰有一天空气质量达到一级”为事件A,则 P(A)==.‎ ‎(2)依据条件,随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,‎ P(ξ=k)=(k=0,1,2,3).‎ ‎∴P(ξ=0)==,‎ P(ξ=1)==,‎ P(ξ=2)==,‎ P(ξ=3)==.‎ 因此ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎[方法技巧] 1.随机变量的线性关系 若X是随机变量,Y=aX+b,a,b是常数,则Y也是随机变量.‎ ‎2.分布列性质的两个作用 ‎(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值.‎ ‎(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求相关事件的概率.‎ ‎3.求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定ξ的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率.‎ ‎[易错防范] 掌握离散型随机变量的分布列的注意事项 ‎(1)分布列的结构为两行,第一行为随机变量X所有可能取得的值;第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率.看每一列,实际上是上为“事件”,下为“事件发生的概率”,只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.每完成一列,就相当于求一个随机事件发生的概率.‎ ‎(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1.[2016·新课标全国卷Ⅰ]某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.‎ ‎(1)求X的分布列;‎ ‎(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;‎ ‎(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?‎ 解:(1)由柱状图并以频率代替概率可得,1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而 P(X=16)=0.2×0.2=0.04;‎ P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;‎ P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;‎ P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;‎ P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;‎ P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;‎ P(X=22)=0.2×0.2=0.04.‎ 所以X的分布列为 X ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ P ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎0.04‎ ‎(2)由(1)知,P(X≤18)=0.44,P(X≤19) =0.68,故n的最小值为19.‎ ‎(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).‎ 当n=19时,‎ E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4 040.‎ 当n=20时,‎ E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04 =4 080.‎ 可知当n=19时所需费用的期望值小于当n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.‎ ‎2.[2016·山东卷]甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得 0分.‎ 已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:‎ ‎(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;‎ ‎(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X).‎ 解:(1)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,‎ 记事件C:“甲第二轮猜对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,‎ 记事件E:“‘星队’至少猜对3个成语”.‎ 由题意,E=ABCD+BCD+ACD+ABD+ABC.‎ 由事件的独立性与互斥性,得 P(E)=P(ABCD)+P(BCD)+P(ACD) +P(ABD) +P(ABC)‎ ‎=P(A)P(B)P(C)P(D)+P()P(B)P(C)P(D)+P(A)P()P(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+P(A)P(B)P(C)P()‎ ‎=×××+2××××+×××=.‎ 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.‎ ‎(2)由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.‎ 由事件的独立性与互斥性,得 P(X=0)=×××=,‎ P(X=1)=2××××+×××==,‎ P(X=2)=×××+×××+×××+×××=,‎ P(X=3)=×××+×××==,‎ P(X=4)=2××××+×××==,‎ P(X=6)=×××==.‎ 可得随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ P 所以数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 离散型随机变量的分布列答题模板 ‎                   ‎ ‎[典例] 已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.‎ ‎(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;‎ ‎(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列.‎ ‎[解] (1)第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率P1=×=.‎ ‎(2)由题意,X的可能取值为200,300,400.‎ 则P(X=200)==;‎ P(X=300)=+=;‎ P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=.‎ ‎∴X的分布列如下:‎ X ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ P ‎[答题模板] 求离散型随机变量分布列及期望的一般步骤:‎ 第一步:找出随机变量X的所有可能取值;‎ 第二步:求出X取每一个值时的概率;‎ 第三步:列出分布列.‎ ‎(1)解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值,正确应用概率公式.‎ ‎(2)此类问题还极易发生如下错误:虽然弄清随机变量的所有取值,但对某个取值考虑不全面.‎ ‎(3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1.‎ 方法点睛
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