【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第九章阅读与欣赏(八)　解决解析几何问题的六种通法学案

【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第九章阅读与欣赏(八)　解决解析几何问题的六种通法学案

解决解析几何问题的六种通法[学生用书P173]‎ ‎　中点问题点差法 ‎ 已知点A、B的坐标分别是(－1，0)、(1，0)，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.‎ ‎(1)求动点M的轨迹方程；‎ ‎(2)若过点N的直线l交动点M的轨迹于C、D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程．‎ ‎【解】　(1)设M(x，y)，‎ 因为kAM·kBM＝－2，所以·＝－2(x≠±1)，‎ 化简得2x2＋y2＝2(x≠±1)，‎ 即为动点M的轨迹方程．‎ ‎(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)．‎ 当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x＝，则C，D，此时CD的中点不是N，不合题意．‎ 故设直线l的方程为y－1＝k，‎ 将C(x1，y1)，D(x2，y2)代入2x2＋y2＝2(x≠±1)得 ‎2x＋y＝2，①‎ ‎2x＋y＝2，②‎ ‎①－②整理得k＝＝－＝－＝－1，‎ 所以直线l的方程为y－1＝(－1)×，‎ 即所求直线l的方程为2x＋2y－3＝0.‎ 直线y＝kx＋m与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，其中点为M(x0，y0)，这类问题最常用的方法是“点差法”，即A，B在圆锥曲线上，坐标适合圆锥曲线方程，得两个方程作差，通过分解因式，然后使用中点坐标公式、两点连线的斜率公式建立求解目标方程，解方程解决问题．‎ ‎　对称问题几何意义法 ‎ 已知椭圆C：＋＝1，直线l：y＝2x＋b，在椭圆上是否存在两点关于直线l对称，若存在，求出b的取值范围．‎ ‎【解】　‎ 设椭圆C：＋＝1上存在两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)关于直线l：y＝2x＋b对称，P，Q的中点为M(x0，y0)．‎ 因为PQ⊥l，所以可设直线PQ的方程为y＝－x＋a，代入C化简整理得13x2－16ax＋16a2－144＝0.‎ 由根与系数的关系得x1＋x2＝a，y1＋y2＝a，故得M.‎ 因为Δ＞0，所以(－16a)2－4×13(16a2－144)＞0，‎ 解得－＜a＜.‎ 又因为M在直线l：y＝2x＋b上，‎ 所以＝＋b，所以b＝－a，‎ 因此b的取值范围是.‎ 故在椭圆C上存在两点关于直线l对称，且b的取值范围是.‎ 圆锥曲线上存在两点，关于某条直线对称，求参数的取值范围，这类问题常见的解法是：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是圆锥曲线上关于直线y＝kx＋b对称的两点，则PQ的方程为y＝－x＋m，代入圆锥曲线方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，其中P，Q的横(或纵)坐标即为方程的根，故Δ>0，从而求得k(或b)的取值范围．　 ‎ ‎　最值(范围)问题不等式法 ‎ 已知拋物线C的顶点为O(0，0)，焦点为F(0，1)．‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于 M，N两点，求|MN|的最小值．‎ ‎【解】　(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，则＝1，p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.‎ ‎(2)易知直线AB的斜率存在．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1.‎ 由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，‎ 所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.从而|x1－x2|＝4.‎ 由解得点M的横坐标xM＝，又y1＝，所以xM＝＝.‎ 同理，点N的横坐标xN＝.‎ 所以|MN|＝|xM－xN|＝ ‎＝8＝.‎ 令4k－3＝t，t≠0，则k＝.‎ 当t>0时，|MN|＝2 >2.‎ 当t<0时，|MN|＝2 ≥.‎ 综上所述，当t＝－，即k＝－时，|MN|取得最小值.‎ 解析几何最值(范围)问题，有时需要使用双参数表达直线方程，解决方法：一是根据直线满足的条件，建立双参数之间的关系，把问题化为单参数问题；二是直接使用双参数表达问题，结合求解目标确定解题方案．　 ‎ ‎　定点问题参数法 ‎ 已知椭圆C：＋y2＝1，过椭圆C的右顶点A的两条斜率之积为－ 的直线分别与椭圆交于点M，N，问：直线MN是否过定点D？若过定点D，求出点D的坐标；若不过定点，请说明理由．‎ ‎[点拨]　法一，以双参数表达直线MN的方程，求解双参数满足的关系．法二，以直线AM的斜率为参数表达直线MN的方程．‎ ‎【解】　法一：直线MN过定点D.当直线MN的斜率存在时，‎ 设MN：y＝kx＋m，‎ 代入椭圆方程得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 根据已知可知·＝－，‎ 即4y1y2＋(x1－2)(x2－2)＝0，‎ 即(1＋4k2)x1x2＋(4km－2)(x1＋x2)＋4m2＋4＝0，‎ 所以(1＋4k2)·＋(4km－2)＋4m2＋4＝0，‎ 即(4km－2)(－8km)＋8m2(1＋4k2)＝0，‎ 即m2＋2km＝0，得m＝0或m＝－2k.‎ 当m＝0时，直线y＝kx经过定点D(0，0)．‎ 由于AM，AN的斜率之积为负值，故点M，N在椭圆上位于x轴两侧，直线MN与x轴的交点一定在椭圆内部，而当m＝－2k时，直线y＝kx－2k过定点(2，0)，故不可能．‎ 当MN的斜率不存在时，点M，N关于x轴对称，此时AM，AN的斜率分别为，－，此时M，N恰为椭圆的上下顶点，直线MN也过定点(0，0)．‎ 综上可知，直线MN过定点D(0，0)．‎ 法二：直线MN恒过定点D.‎ 根据已知直线AM，AN的斜率存在且不为零，A(2，0)．‎ 设AM：y＝k(x－2)，‎ 代入椭圆方程，得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0，‎ 设M(x1，y1)，则2x1＝，‎ 即x1＝，y1＝k(x1－2)＝，‎ 即M.‎ 设直线AN的斜率为k′，则kk′＝－，即k′＝－，‎ 把点M坐标中的k替换为－，得N.‎ 当M，N的横坐标不相等，即k≠±时，kMN＝，直线MN的方程为y－＝，即y＝x，‎ 该直线恒过定点(0，0)．当k＝±时，M，N的横坐标为零，直线MN也过定点(0，0)．‎ 综上可知，直线MN过定点D(0，0)．‎ 证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程，根据方程的成立与参数值无关得出x，y的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点．　 ‎ ‎　定值问题变量无关法 ‎ 已知点M是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且|F1F2|＝4，∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面积为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设N(0，2)，过点P(－1，－2)作直线l，交椭圆C异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值．‎ ‎【解】　(1)在△F1MF2中，由|MF1||MF2|sin 60°＝，得|MF1||MF2|＝.‎ 由余弦定理，得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|·cos 60°＝(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1|·|MF2|(1＋cos 60°)，‎ 解得|MF1|＋|MF2|＝4.‎ 从而2a＝|MF1|＋|MF2|＝4，即a＝2.‎ 由|F1F2|＝4得c＝2，从而b＝2，‎ 故椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明：当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则其方程为y＋2＝k(x＋1)，‎ 由得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 从而k1＋k2＝＋＝＝2k－(k－4)·＝4.‎ 当直线l的斜率不存在时，可得A(－1，)，‎ B(－1，－)，得k1＋k2＝4.‎ 综上，k1＋k2为定值．‎ 定值问题就是证明一个量与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表达求证目标，通过运算求证目标的取值与变化的量无关．　 ‎ ‎　探索问题直推法 ‎ 已知曲线T：＋y2＝1(y≠0)，点M(，0)，N(0，1)，是否存在经过点(0，)且斜率为k的直线l与曲线T有两个不同的交点P和Q，使得向量＋与共线？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解】　假设存在，则l：y＝kx＋，代入椭圆方程得 ‎(1＋2k2)x2＋4kx＋2＝0.‎ 因为l与椭圆有两个不同的交点，‎ 所以Δ＝(4k)2－8(1＋2k2)>0，‎ 解得k2>，‎ 由题意知直线l不经过椭圆的左、右顶点，‎ 即k≠±1，‎ 亦即k2>且k2≠1.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－.‎ 得y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝－＋2＝.‎ 所以＋＝(x1＋x2，y1＋y2)‎ ‎＝，‎ 又＝(－，1)，‎ 向量＋与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)，‎ 所以－＝(－)·，‎ 解得k＝，不符合题意，所以不存在这样的直线．‎ 解决此类问题，首先假设所探求的问题结论成立或存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答；如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答．　 ‎