吉林省“五地六校”合作体2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试卷

吉林省“五地六校”合作体2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试卷

‎ ‎ 高二数学（理科）试题 ‎ ‎ 本试卷分选择题、填空题和解答题共22题，共150分，共2页，考试时间120分钟，考试结束后，只交答题卡。‎ 第Ⅰ卷 （选择题，满分60分）‎ 一、 选择题：本大题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有 ‎ 一项是符合题目要求的。‎ ‎1、已知命题：，则是 （ ） ‎ ‎ A．， B．， ‎ C．，　 D．，‎ ‎2、若直线过点，，则此直线的倾斜角是 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）‎ ‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎4、已知命题：，使得，命题：，使得，‎ 则下列命题是真命题的是 （ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎5、“”是“方程表示椭圆”的 （ ）‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6、方程所表示的曲线是 （ ）‎ ‎ A．一个圆 B．两个圆 C．半个圆 D．两个半圆 ‎7、以为圆心，为半径的圆的标准方程为 （ ） ‎ ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎8、已知是空间中三条不同的直线，是平面，给出下列命题：①若，，则；‎ ‎②若，，则；③若，，则；④若，，则。其中 真命题的序号是 （ ）‎ ‎ A．①② B．②③ C．①④ D．②④ ‎ ‎9、已知在三棱锥中，，，，，，‎ 且平面平面，那么三棱锥外接球的体积为 （ ）‎ ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10、在平面内两个定点的距离为，点到这两个定点的距离的平方和为，则点的轨迹）‎ ‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．线段 ‎11、已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与的左右两支分别交于两点，且，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12、如图，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆 相切于点，且点为线段的中点，则椭圆的离心率为 （ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎ 第Ⅱ卷 （非选择题，满分90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡相应的位置上）‎ ‎13、一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为__________。‎ ‎14、抛物线的焦点到准线的距离是__________。‎ ‎15、如图，在长方形中，，，是的中点，沿将向上折起，使 为，且平面平面。‎ 则直线与平面所成角的正弦值为__________。‎ ‎16、椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上任一点，且 的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率 的取值范围是__________。‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17、（本小题10分）‎ 已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为，求顶点的坐标。‎ ‎18、（本小题12分）‎ 如图，在长方体中，，，点是线段的中点。‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求点到平面的距离。‎ ‎ ‎ ‎19、（本小题12分）‎ 已知圆过点，，且圆心在直线上。‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的 直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎20、(本小题12分)‎ 如图，四棱锥的底面四边形为菱形，平面，，，为的中点。‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的平面角的余弦值。‎ ‎ ‎ ‎21、（本小题12分）‎ ‎ 已知抛物线与圆的两个交点之间的距离为。‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，求。‎ ‎22、（本小题12分） ‎ 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎ （2）若是椭圆的左顶点，经过左焦点的直线与椭圆交于两点，求 与（为坐标原点）的面积之差绝对值的最大值。‎ ‎（3）已知椭圆上点处的切线方程为，为切点。若是直线上任意一点，从向椭圆作切线，切点分别为，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标。‎ ‎ 高二数学（理科）试题答案 ‎ ‎ 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C B D A C C D D A C A 二、 填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、 解答题 ‎17、【解】‎ 由及边上的高所在直线的方程为得：‎ 边所在直线的方程为。……………………………………………‎ ‎ 又边上的中线所在直线的方程为。‎ ‎ 由，得。……………………………………………………‎ ‎18、【解】‎ ‎（1）证明：因为平面，平面，所以。……‎ ‎ 中，，，，‎ 同理。有，，，………‎ ‎，所以平面。‎ 又平面，所以。…………………………………‎ ‎（2）因为，，，‎ ‎ 所以。…………………………………………………………‎ ‎ 又因为，，，‎ ‎ 所以，…………………………………………………‎ ‎ 设点到平面的距离为，‎ ‎ 则，…………………………………‎ ‎ 解得，………………………………………………………………………‎ ‎ 即点到平面的距离为。……………………………………………‎ ‎19、【解】‎ ‎（1）设圆的方程为，……………………………………‎ ‎ 依题意得，解得。………………………………‎ ‎ 所以圆的方程为。…………………………………‎ ‎（2）假设符合条件的实数存在。‎ ‎ 因为垂直平分弦，故圆心必在上，‎ ‎ 所以的斜率，，所以。………………………‎ ‎ 由圆的半径，‎ 圆心到直线的距离，………‎ 所以不存在这样的实数，使得过点的直线垂直平分弦。………‎ ‎20、【解】‎ ‎（1）连结，由已知得与都是正三角形。‎ ‎ 又因为点为边的中点，所以。……………………………………‎ ‎ 又因为，所以。‎ ‎ 又平面，平面，所以。………………‎ ‎ 又因为，平面，所以平面。……‎ ‎（2）方法一：以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空 间直角坐标系。‎ 由（1）知平面的一个法向量为。……………………………‎ ‎，，。所以，。‎ 设平面一个法向量为，‎ 由，得，。‎ 取，则，故。‎ 设与的夹角为，则。………………‎ 所以平面与平面所成角的二面角的平面角的余弦值为。……‎ 方法二：取中点，连。是正三角形，所以。‎ ‎ 连，则平面，从而。………………………………‎ ‎ 为二面角的平面角。…………………………………………‎ ‎ 在中，。已知，所以。……………………‎ ‎ 在中，。……………………………………‎ ‎21、【解】‎ ‎（1）设交点为。易知，。‎ 代入得，。…………………………………………………‎ ‎（2）由（1）知，抛物线。‎ ‎，设。………………………………………‎ ‎ 联立得。所以，。……………‎ ‎ 所以。……………………‎ ‎22、【解】‎ ‎（1）由题意得。又，，所以，。‎ ‎ 所以椭圆的方程为。………………………………………………‎ ‎（2）设的面积为，的面积为。‎ ‎ 当直线斜率不存在时，直线方程为。‎ ‎ 据椭圆对称性，得面积相等，所以。………………‎ ‎ 当直线斜率存在时，设直线方程为，设，。‎ ‎ 得，则。‎ ‎ 所以 ‎ 。……………………‎ ‎ 又因为，当且仅当或时取“”。‎ ‎ 所以的最大值为。……………………………………………………‎ ‎（3）证明：设，，。‎ 由已知得切线。① 切线。②…‎ 把代入①②得，。‎ 从而直线方程为，即。…………………‎ 对，当，时恒成立，恒过定点。……………………‎