高中数学第5章函数概念与性质课时分层作业22函数的最大值最小值含解析苏教版必修第一册

高中数学第5章函数概念与性质课时分层作业22函数的最大值最小值含解析苏教版必修第一册

课时分层作业(二十二)　函数的最大值、最小值 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1．设定义在R上的函数f(x)＝x|x|，则关于f(x)的最值的说法正确的是(　　)‎ A．只有最大值 B．只有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值 D　[f(x)＝画出图象(略)可知，既无最大值又无最小值．]‎ ‎2．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为(　　)‎ A．0 B．±2 ‎ C．2 D．－2‎ B　[由题意知a≠0，当a>0时，有(‎2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(‎2a＋1)＝2，解得a＝－2．综上知a＝±2．]‎ ‎3．下列函数在[1,4]上最大值为3的是(　　)‎ A．y＝＋2 B．y＝3x－2‎ C．y＝x2 D．y＝1－x A　[B、C在[1,4]上均为增函数，A、D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值．]‎ ‎4．函数f(x)＝|1－x|－|x－3|，x∈R的值域为(　　)‎ A．[－2,2] B．(－2,2]‎ C．(－2,2) D．[－2,2)‎ A　[f(x)＝|1－x|－|x－3|＝|x－1|－|x－3|，利用绝对值的几何意义可知f(x)表示x到1的距离与x到3的距离之差，结合数轴(略)可知值域为[－2,2]．]‎ ‎5．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．a>0 B．a≥0‎ C．a<0 D．a≤0‎ C　[令f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)＝－(x2－2x＋1)＋1＝－(x－1)2＋1，图象如图： ‎ - 5 -‎ ‎∴f(x)的最小值为f(0)＝f(2)＝0．‎ 而a<－x2＋2x恒成立，∴a<0．]‎ 二、填空题 ‎6．(一题两空)函数f(x)＝|x－2|－2在区间[0,3]上的最小值为　　　　，最大值为　　　　．‎ ‎－2　0　[f(x)＝图象如图．‎ 由图可知，x＝2时，f(x)min＝－2；‎ x＝0时，f(x)max＝f(0)＝0．]‎ ‎7．已知函数f(x)的值域为，则函数g(x)＝f(x)＋的值域为　　　　．‎ 　[∵≤f(x)≤，∴≤≤．‎ 令t＝，‎ 则f(x)＝(1－t2)，‎ 令y＝g(x)，则y＝(1－t2)＋t，‎ 即y＝－(t－1)2＋1．‎ ‎∴当t＝时，y有最小值；当t＝时，y有最大值．‎ ‎∴g(x)的值域为．]‎ ‎8．函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是　　　　．‎ ‎2≤m≤4　[f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈[0，m]．‎ 由最小值为1知m≥2．‎ 由最大值为5知f(0)＝5，f(4)＝5．所以2≤m≤4．]‎ 三、解答题 ‎9．已知函数f(x)＝2ax＋(a∈R)．‎ ‎(1)当a＝时，试判断f(x)在(0,1]上的单调性并用定义证明你的结论；‎ ‎(2)对于任意的x∈(0,1]，使得f(x)≥6恒成立，求实数a的取值范围．‎ - 5 -‎ ‎[证明]　(1)取任意的x1，x2，且00‎ 所以f(x)在(0,1]上的单调递减．‎ ‎(2)由f(x)≥6在(0,1]上恒成立，得2ax＋≥6 恒成立，‎ 即‎2a≥6－，∈[1，＋∞)⇒max＝9⇒‎2a≥9，即a≥．‎ ‎10．已知二次函数y＝f(x)＝x2－2x＋2．‎ ‎(1)当x∈[0,4]时，求f(x)的最值；‎ ‎(2)当x∈[2,3]时，求f(x)的最值；‎ ‎(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．‎ ‎[解]　y＝f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1．‎ ‎(1)∵对称轴x＝1∈[0,4]，∴当x＝1时，y有最小值，‎ ymin＝f(1)＝1．‎ ‎∵f(0)＝21时，f(x)<0．‎ ‎(1)求f(1)的值；‎ ‎(2)证明：f(x)为单调递减函数；‎ ‎(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．‎ ‎[解]　(1)令x1＝x2>0，‎ - 5 -‎ 代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0．‎ ‎(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，‎ 当x>1时，f(x)<0，∴f<0，‎ 即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)

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