2020_2021学年新教材高中数学第5章函数概念与性质5

2020_2021学年新教材高中数学第5章函数概念与性质5

‎5.4　函数的奇偶性 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．了解函数奇偶性的定义及奇偶函数的图象特征．‎ ‎2．会判断函数的奇偶性．(重点)‎ ‎3．掌握函数奇偶性的运用．(难点)‎ 通过学习本节内容培养学生的直观想象和逻辑推理核心素养，提升学生的数学运算核心素养．‎ 日常生活中常见的对称现象，如美丽的蝴蝶、建筑……并让学生自己列举生活中对称的实例，你能发现生活中类似的数学对称美吗？‎ ‎1．偶函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．‎ ‎2．奇函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．‎ ‎3．奇偶性 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．‎ ‎4．奇、偶函数的图象性质 ‎(1)偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数．‎ ‎(2)奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数f(x)＝x的图象关于(0,0)对称． (　　)‎ ‎(2)偶函数的图象一定与y轴相交． (　　)‎ ‎(3)若对函数f(x)有f(－1)＝f(1)，则f(x)为偶函数． (　　)‎ ‎(4)奇函数的图象一定过(0,0)． (　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．若f(x)是定义在区间[a－2,5]上的奇函数，则a＝　　　　．‎ - 8 -‎ ‎－3　[易知a－2＋5＝0，∴a＝－3．]‎ ‎3．已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)的值等于　　　　．‎ ‎－10　[f(－2)＝2，∴－‎8a－2b－4＝2，∴‎8a＋2b＝－6，∴f(2)＝‎8a＋2b－4＝－10．]‎ 函数奇偶性的判断 ‎【例1】　(1)若函数f(x)的图象如图，则f(x)为　　　　函数．(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)‎ ‎(2)判断下列函数的奇偶性．‎ ‎①f(x)＝；‎ ‎②f(x)＝＋ln(1－x)；‎ ‎③f(x)＝＋；‎ ‎④f(x)＝．‎ ‎[思路点拨]　(1)观察图象的对称性．‎ ‎(2)利用奇偶性的定义，先确定定义域，再看f(x)与f(－x)的关系．‎ ‎(1)偶　[因为函数的图象关于y轴对称，所以函数是偶函数．]‎ ‎(2)[解]　①因为函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．‎ 又f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．‎ ‎②定义域要求 所以－1≤x＜1，‎ 所以f(x)的定义域不关于原点对称，‎ 所以f(x)是非奇非偶函数．‎ ‎③由 得x∈{2，－2}，定义域关于原点对称，且f(±2)＝0，‎ 所以f(x)既是奇函数又是偶函数．‎ - 8 -‎ ‎④由 得 ‎ 所以函数的定义域为[－1,0)∪(0,1]．‎ 此时f(x)＝＝，x∈[－1,0)∪(0,1]，所以f(－x)＝＝－＝－f(x)，‎ 所以函数f(x)是奇函数．‎ 判断函数奇偶性的方法 ‎(1)定义法 ‎(2)图象法 若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用于选择题中．‎ ‎1．判断下列各函数的奇偶性．‎ ‎(1)f(x)＝(x－2)；‎ ‎(2)f(x)＝ ‎[解]　(1)由≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．‎ ‎(2)当x<－1时，f(x)＝x＋2，－x>1，‎ ‎∴f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)；‎ 当x>1时，f(x)＝－x＋2，－x<－1，‎ f(－x)＝－x＋2＝f(x)；‎ 当－1≤x≤1时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，f(－x)＝0＝f(x)．‎ ‎∴对定义域内的每个x都有f(－x)＝f(x)，因此f(x)是偶函数．‎ 已知函数奇偶性求解析式 - 8 -‎ ‎【例2】　(1)已知f(x)是R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x(1＋x)，求f(x)；‎ ‎(2)若函数f(x)＝x2＋(m－1)x＋3(x∈R)是偶函数，求m的值．‎ ‎[思路点拨]　(1)已知x<0时的解析式，用奇偶性求x>0的解析式，应通过(－x)进行过渡，但别忽视x＝0的情况；(2)应用偶函数满足f(－x)＝f(x)．‎ ‎[解]　(1)∵f(x)为R上的奇函数，‎ ‎∴f(－0)＝－f(0)，‎ ‎∴f(0)＝0．‎ 当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，‎ ‎∴f(－x)＝x(1－x)．‎ ‎∵f(x)为R上的奇函数，‎ ‎∴－f(x)＝x(1－x)，‎ ‎∴f(x)＝－x(1－x)．‎ 综上可知，f(x)＝ ‎(2)∵f(x)为偶函数，‎ ‎∴f(－x)＝f(x)，‎ 即x2－(m－1)x＋3＝x2＋(m－1)x＋3，‎ ‎∴2(m－1)x＝0．‎ ‎∵x∈R，∴m－1＝0，得m＝1．‎ ‎1．本题易忽视定义域为R的条件，漏掉x＝0的情形．若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0．‎ ‎2．利用奇偶性求解析式的思路 ‎(1)在待求解析式的区间内设x，则－x在已知解析式的区间内；‎ ‎(2)利用已知区间的解析式进行代入；‎ ‎(3)利用f(x)的奇偶性，求待求区间上的解析式．‎ ‎2．f(x)为R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．‎ ‎[解]　当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1．‎ 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，‎ 所以当x＜0时，f(x)＝2x2＋3x－1．‎ 因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0．‎ - 8 -‎ 综上可得f(x)的解析式为 f(x)＝ 奇偶函数的单调性 ‎[探究问题]‎ ‎1．观察图中的两个图象，说明这两个图象对应的函数具有何种奇偶性？它们在y轴左右两侧的单调性相同吗？由此，我们可以得出的结论是什么？‎ ‎[提示]　两个图象均为奇函数的图象，在y轴左右两侧，函数的单调性相同，可得出结论：奇函数在对称区间上的单调性相同．‎ ‎2．能否证明一下探究1中的结论(不妨以“已知f(x)在[a，b](a>0)上递增”为例)．‎ ‎[提示]　已知f(x)是奇函数，在区间[a，b](a>0)上是单调递增的．证明f(x)在区间[－b，－a]上也单调递增．‎ 证明：任取x1，x2∈[－b，－a]且x10，求实数m的取值范围．‎ ‎[解]　∵f(x)是奇函数，在[0,2]上单调递增，‎ ‎∴f(x)在[－2,2]上都递增．‎ 由f(m)＋f(m－1)>0，‎ ‎∴f(m)>－f(m－1)＝f(1－m)，‎ 由f(x)的单调性知1－m0，‎ ‎∴f(－x)＝(－x)3＋1＝－x3＋1，‎ ‎∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－x3＋1．]‎ ‎4．已知函数f(x)＝是奇函数．‎ ‎(1)求实数m的值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)设x＜0，则－x＞0，‎ - 8 -‎ 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x．‎ 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，‎ 于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2．‎ ‎(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，‎ 结合f(x)的图象(如图所示)知所以1＜a≤3，‎ 故实数a的取值范围是(1,3]．‎ - 8 -‎