2018届二轮复习 函数的图象与性质 学案（ 江苏专用）

2018届二轮复习 函数的图象与性质 学案（ 江苏专用）

专题2：函数的图象与性质 班级 姓名 ‎ 一、前测训练 ‎1．求下列函数的值域：‎ ‎（1）y＝sin(2x＋) x∈[0，] （2）y＝ （3）y＝x＋ ‎（4）f(x)＝()x－x，x∈[－1，2] （5）f(x)＝x2＋ （6）f(x)＝xlnx 答案：（1）[，1]；（2）(－1，1]；（3）(－∞，]；（4）[－，3]；（5）[2－1，＋∞)；‎ ‎ （6）[－，＋∞).‎ ‎2．（1）f(x)＝x(＋)的奇偶性为 ．‎ ‎（2）若f(x)＝为奇函数，则a的值为 ．‎ 答案：（1）偶函数；（2）．‎ ‎3．（1）函数f(x)＝的增区间为 ； (2)f(x)＝log(x2－2x)的增区间为 ；‎ ‎(3)f(x)＝lnx－2x2的减区间为 ．‎ 答案：（1）(－∞，－1)和(－1，＋∞)；（2）(－∞，0)；（3）(，＋∞) ．‎ ‎4．(1)若f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝1＋，则f(x) ＝ ．‎ ‎（2）若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)=0，则f(x)＜0的x的取值范围是 ．‎ 答案：（1）；（2）(－2，2).‎ ‎5．设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，(1)则f(7.5)＝ ；(2)当x∈[4，6]时，f(x)＝ ．‎ 答案：（1）－；（2） ‎6．（1）已知函数f(x)＝ln(2x＋1)，①将函数y＝f(x)图象向右平移2个单位后的解析式为 ．②与函数y＝f(x)图象关于y轴对称的函数解析式为 ．‎ ‎（2）方程＝x＋m有一个实数解，则m的取值范围为 ．‎ 答案：（1）①y＝ln(2x－3)；②y＝ln(1－2x)；（2）[－1，1)∪｛｝.‎ ‎7．（1）若函数y＝log2(x＋2)的图象与y＝f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)= ．‎ ‎（2）已知f(x)＝log2|ax＋3|关于x＝1对称，则实数a＝ ．‎ 则实数a＝ ．‎ 答案：（1）log2(4－x)；（2）0或－3．‎ 二、方法联想 ‎1．值域求法 ‎（1）单调性法；（2）基本不等式法；（3）部分函数有界性法；（4）判别式法．‎ 注意：单调性法是最基本最一般的方法，配方、换元等是变形的手段．‎ ‎ 变式1、若函数的值域是则实数的取值范围是 . ‎ 答案：‎ ‎(分段函数的值域是各段函数值域的并集)‎ 变式2、定义为中的最小值，设，则的最大值是__________‎ 答案：2‎ ‎（数形结合求值域)‎ 变式3、函数的值域为_________‎ 答案：‎ ‎（构造图像求值域）‎ ‎2．判断函数奇偶性 方法1 定义法；方法2 图象法．‎ 优先考虑用图象法，定义法前先判断定义域．但证明奇偶性只能用定义法．‎ 已知函数奇偶性 方法1 若函数为奇函数且0在定义域内，用f(0)＝0；方法2 利用特殊值法；方法3 利用定义．‎ ‎ 优先用方法1，再用方法2，注意检验．但如果是解答题，必须用定义证明其奇偶性．‎ ‎ 变式1、设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)=　　　　.‎ 答案：-3‎ ‎（已知函数奇偶性求值）‎ ‎ 变式2、已知为非零常数,满足,则 .‎ ‎ (熟悉常见函数的奇偶性)‎ ‎3．判断函数单调性 方法1 导数法；方法2 定义法；方法3组合函数法；方法4 复合函数法．‎ ‎ 判断函数的单调性优先考虑定义域，方法选择可先考虑组合函数法，再考虑复合函数法，关键时候用导数法，别忘了定义法．‎ ‎ 注意：单调性证明只能用导数法和定义法．‎ 变式1、设函数,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是 . ‎ 答案：‎ ‎(注意单调性的不同表现形式,数形结合)‎ 变式2、已知函数.若，则的取值范围是　　　　.‎ 答案：‎ ‎（分段函数的奇偶性、单调性结合）‎ ‎4．奇偶性、单调性应用 处理函数问题，如最值、解不等式、图象等，可分析函数的奇偶性，判断函数的单调性，其中奇(偶)函数y轴两侧单调性口诀：奇同偶反．‎ 变式1、若是偶函数,则 .‎ 答案: ‎ ‎(应用定义代数运算)‎ 变式2、已知函数则满足的的取值范围是 .‎ ‎(函数解析式隐含函数性质)‎ ‎5．奇偶性、对称性、周期性的综合 常用结论：‎ ‎ ①如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x＋T)＝ f(x)，则称f(x)为周期函数．‎ ‎ ②若函数满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期为2a．‎ ‎ ③若函数满足f(x＋a)＝ ，则f(x)的周期为2a．‎ ‎④若函数满足f(x＋a)＝ － ，则f(x)的周期为2a．‎ 变式1、设是定义在上的周期为2的函数，当时，‎ ‎ 则 .‎ 答案：0‎ ‎(转化到已知范围内)‎ 变式2：函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋4)＝f(x)对一切实数x都成立，若f(1)＝0，则关于x的方程f(x)＝0在[0，10]上的解的个数为______________．‎ ‎（函数的周期性与奇偶性结合）‎ 答案：11‎ ‎6．函数图象变换 ‎ ‎(一) 平移变换； (二) 对称变换 处理函数问题优先考虑函数的图象，即数形结合法．作函数图象时，先考虑用图象变换法转化为基本函数问题．我们也可以由函数的图象分析函数的性质(或值域)，反过来要考虑函数的性质对函数作图的作用．‎ 变式1、已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是_________.‎ 答案： ‎ ‎(图形对称)‎ ‎ 变式2、定义域为的函数满足，当时，，则 ‎ 答案： ‎ ‎（函数周期性的拓展）‎ ‎7．图象的对称问题 ‎ 方法1 相关点法；方法2 特殊值法．‎ ‎ 常用结论：‎ ‎①若函数满足f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)图象关于直线x＝ 对称．‎ ‎②若函数满足f(a＋x)＋f(b－x)＝m，则f(x)图象关于点(，)对称．‎ ‎③函数y＝f(a＋x)与函数 y＝f(a－x) 图象关于直线x＝0即y 轴对称．‎ ‎④函数y＝f(a＋x)与函数 y＝－f(a－x) 图象关于点(0，0)及坐标原点对称．‎ 变式1、已知是定义在上的函数，满足 ‎，当时，，则函数的最小值为（ ）‎ 答案： ‎ ‎（运用函数周期性求函数的最小值）‎ 变式2、设函数是定义在上的增函数,且对于任意的都有恒成立.如果实数 满足不等式组那么的取值范围是 .‎ 答案：(13,49)‎ ‎(题意转化,数形结合)‎ 三、例题分析 例1.已知函数f(x)＝．‎ ‎（1）当a＝b＝1时，求满足f(x)≥3x的x的取值范围；‎ ‎（2）若y＝f(x)的定义域为R，又是奇函数，求y＝f(x)的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明.‎ 解：（1）x的取值范围为(－∞，－1]．‎ ‎（2）f (x)＝＝(－1＋). ‎ f (x) 在R上单调递减.‎ ‎【教学建议】‎ ‎1.本题考查指数函数的单调性、函数的奇偶性.第一问中涉及指数不等式的解法，第二问涉及等式恒成立问题.‎ ‎2.本题的易错点是第二问中忽视由“f(x)的定义域为R”所得到的“b≥0”的条件.‎ ‎3.单调性是函数在其定义域上的局部性质，它往往与不等式相结合，应用时要看清函数的单调区间.‎ ‎4.判断函数的单调性的常用方法有：①能画出图象的一般用数形结合法去观察；②由基本初等函数通过加减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数的单调性判断问题；③对于解析式较复杂的一般用导数法；④对于抽象函数的一般用定义法.‎ 例2. 已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1(a为实常数)．‎ ‎（1）若a＝1，作函数f(x)的图象；‎ ‎（2）设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；‎ ‎（3）设h(x)＝，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．‎ 解：（1）作图象如右图所示．‎ ‎（2）g(a)＝ ‎（3）实数a的取值范围为．‎ ‎【教学建议】‎ ‎1.本题主要考查二次函数的性质，结合绝对值考查分类讨论思想，第一问主要是画图；第二问中二次函数属于轴动区间定的题型，主要考查分类讨论，细心一点即可完成；第三问比较发散，既可等价转化为h′(x)≥0对于任意的x∈[1，2]恒成立来解决，也可以用定义法来解决．‎ ‎2.求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好图象，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间、定区间动轴”的问题，要抓住“三点一轴”，“三点”指区间的两个端点和区间的中点，“一轴”指的是抛物线的对称轴.‎ ‎3.本题的易错点有三个，一是第（2）问中容易遗漏“a＝0”的情况；二是第三问用导数解决函数的单调性问题时，误将“h′(x)＝a－≥0在[1，2]上恒成立”写成“h′(x)＝a－＞0在[1，2]上恒成立”；三是无论用导数还是单调性的定义，都忽视了“a＝0”的情形.‎ 例3.设n为正整数，规定：fn(x)＝f{f[…f(x)]，已知f(x)＝.‎ ‎（1）解不等式f(x)≤x；‎ ‎（2）设集合A＝{0，1，2}，对任意x∈A，证明：f3(x)＝x；‎ ‎（3）探求f2 014；‎ ‎（4）若集合B＝{x|f12(x)＝x，x∈[0，2]}，证明：B中至少包含有8个元素．‎ 解：（1）解集为.‎ ‎（2）证明：∵f(0)＝2，f(1)＝0，f(2)＝1，‎ ‎∴当x＝0时，f3(0)＝f(f(f(0)))＝f(f(2))＝f(1)＝0；‎ 当x＝1时，f3(1)＝f(f(f(1)))＝f(f(0))＝f(2)＝1；‎ 当x＝2时，f3(2)＝f(f(f(2)))＝f(f(1))＝f(0)＝2.‎ 即对任意x∈A，恒有f3(x)＝x.‎ ‎（3）.‎ ‎（4）由（1）知，f＝，∴fn＝.‎ 则f12＝.∴∈B.‎ 由（2）知，对x＝0，或1，或2，恒有f3(x)＝x，‎ ‎∴f12(x)＝f4×3(x)＝x.‎ 则0，1，2∈B.‎ 由（3）知，对x＝，，，，恒有 f12(x)＝f4×3(x)＝x，‎ ‎∴，，，∈B.‎ 综上所述，0，1，2，，，，∈B.‎ ‎∴B中至少含有8个元素．‎ ‎【教学建议】‎ ‎1.本题给出新定义内容，第一问就是解不等式，第二问实际就是对定义的认识并直接套用，第三问则需要对定义进行更深一步的认识，探究函数值之间存在的规律．‎ ‎2.形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则；对于分段函数的求值（解不等式）问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.‎ ‎3.自定义问题是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，它要求在短时间内通过阅读、理解，解决题目给出的问题.解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从新定义中获取的新信息进行有效的整合，并转化为熟悉的知识加以解决.‎ ‎4.周期性是函数在定义域上的整体性质，本题体现的是函数值的周期性.‎ 四、反馈练习(专题2：函数的图象与性质)‎ ‎1.函数的定义域为 ；答案 (考查函数的定义域).‎ ‎2.已知函数为奇函数，且当时，，则 ；答案 ‎ ‎(考查函数的奇偶性).‎ ‎3.已知偶函数在单调递减，若则的取值范围是 ；‎ 答案 (考查函数的奇偶性和单调性).‎ ‎4.设奇函数满足对任意都有且时，则 ；答案 (考查函数图像的对称性).‎ ‎5.已知函数在（1,2）上单调递增，则实数的取值范围是 ；答案 ‎ ‎(考查复合函数的单调性).‎ ‎6.函数对一切实数都满足，并且方程有三个实根，则这三个实根的和为 ；答案 (考查函数图像的对称性,函数零点).‎ ‎7. 已知函数对任意满足，且当时，若有4个零点，则实数的取值范围是 ；答案 (考查函数图像的对称性,函数零点).‎ ‎8.已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围是 ；答案 (考查函数的奇偶性和单调性).‎ ‎9.已知函数是的减函数，那么的取值范围是 ；‎ 答案 (考查分段函数的单调性).‎ ‎10.若不等式在时恒成立,则实数的取值范围为 .‎ 答案 (考查函数图像,不等式恒成立).‎ ‎11.设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中若，则的值为 ；答案 (考查分段函数,函数的周期性).‎ ‎12．已知函数 (a是常数且a＞0)．对于下列命题：‎ ‎①函数f(x)的最小值是－1；‎ ‎②函数f(x)在R上是单调函数；‎ ‎③若f(x)＞0在上恒成立，则a的取值范围是(1，＋∞)；‎ ‎④对任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f＜‎ 其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．‎ 答案　①③④(考查分段函数的单调性,函数图像).‎ ‎13.已知函数是定义在上的单调递增奇函数，若当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ 答案 (考查函数的奇偶性和单调性,不等式恒成立).‎ ‎14. 已知函数，其中为自然对数的底.‎ ‎（1）判断函数的奇偶性与单调性；‎ ‎（2）是否存在实数，使不等式对一切都成立？若存在，求出；若不存在，请说明理由.‎ 答案 (1)奇函数，单调增；（2）.(考查函数的奇偶性和单调性,不等式恒成立).‎ ‎15.已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．‎ ‎(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；‎ ‎(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．‎ 解(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，在[1，＋∞)上为增函数，f(x)min＝f(1)＝.‎ ‎(2)f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)．‎ ‎①当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数．最小值为f(1)＝a＋3.‎ 要使f(x)>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3>0，即a>－3，∴－30，a>－3.∴01时，f(x)在[1，]上为减函数，在(，＋∞)上为增函数，所以f(x)在[1，＋∞)上的最小值是f()＝2＋2，2＋2>0，显然成立．‎ 综上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零时，a的取值范围是(－3，＋∞)．‎ ‎ (考查函数的单调性,不等式恒成立).‎ ‎16.设函数(a＞0且a≠1)是奇函数．‎ ‎(1)求k的值；‎ ‎(2)若f(1)＞0，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)＞0；‎ ‎(3)若f(1)＝，且在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m的值．‎ 解　(1)因为f(x)是奇函数，且f(0)有意义，所以f(0)＝0，所以k－1＝0，k＝1.‎ ‎(2)因为f(1)＞0，所以a－＞0，∴a＞1，∴f(x)＝ax－a－x是R上的单调增函数．‎ 于是由f(x2＋2x)＞－f(x－4)＝f(4－x)，得x2＋2x＞4－x，即x2＋3x－4＞0，解得x＜－4或x＞1.‎ ‎(3)因为f(1)＝，所以a－＝，解得a＝2(a＞0)，所以g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2.设t＝f(x)＝2x－2－x，则由x≥1，‎ 得t≥f(1)＝，g(x)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2.‎ 若m≥，则当t＝m时，ymin＝2－m2＝－2，解得m＝2.‎ 若m＜，则当t＝时，ymin＝－3m＝－2，‎ 解得m＝(舍去)．综上得m＝2.‎ ‎(考查函数的奇偶性和单调性).‎