2018-2019学年福建省东山县第二中学高二上学期期中考试数学（文）试题 Word版

2018-2019学年福建省东山县第二中学高二上学期期中考试数学（文）试题 Word版

东山二中2018—2019学年（上）高二期中考 文科数学试卷 ‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)‎ ‎1．已知不等式的解集是 ，则的值为(　　)‎ A．　　　　　　B． C． D．‎ ‎2. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，,‎ 以下命题成立的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎3． 已知直线，则当变化时，所有直线都通过 定点 (　 )‎ A．　　　　　　B． C． D．‎ ‎4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）‎ A．9盏 B．5盏 C．3盏 D．1盏 ‎5. 在中，若,则是（ ）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C. 等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎6.对具有线性相关关系的变量有一组观测数据 ,其回归直线方程是且, ,则实数是(　　)‎ A．　　　　　　B． C． D．‎ ‎7．某中学2015届有840名学生，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为(　　)‎ A．11　 B．12 C．13 D．14‎ ‎8．某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得 ‎ 的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，‎ 乙班学生成绩的中位数是83，则的值为(　　)‎ A．7 B．‎8　 ‎C．9 D．10‎ ‎9. 给出如下四对事件:‎ ‎①某人射击1次,“射中7环”与“射中8环”;‎ ‎②甲、乙两人各射击1次,“至少有1人射中目标”与“甲射中,但乙未射中目标”;‎ ‎③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,“至少一个黑球”与“都是红球”;‎ ‎④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,“没有黑球”与“恰有一个红球”.‎ 其中属于互斥但不对立的事件的有(　　)‎ A． 0对 B. 1对 C.2对 D.3对 ‎10. 下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为14，18，则输出的为（ ）‎ ‎ ‎ ‎11. 函数在(-∞,2]上是单调减函数的必要不充分条件是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数,，若对,,使得，则实数的取值范围是（ ）‎ 二、填空题(每小题5分，共20分)‎ ‎13．若实数满足，则的最小值为________．‎ ‎14.在如图所示的正方体中， 分别是棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为________‎ ‎15.有下列四个命题,其中真命题有　　 (只填序号). ‎ ‎①“若,则互为倒数”的逆命题;‎ ‎②“全等三角形的面积相等”的否命题;‎ ‎③“若,则有实根”的逆命题;‎ ‎④“若,则”的逆否命题.‎ ‎16.在平面直角坐标系中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2的点构成的区域, E是到原点的距离大于1的点构成的区域,向D中随机投一点,则落入E中的概率为　　　　.  ‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.如图，在中，是边上的一点，，，.‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎18. 等比数列的各项均为正数，且 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和为； ‎ ‎19.某高级中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如下表：‎ 高一 高二 高三 女生 ‎373‎ 男生 ‎377‎ ‎370‎ 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.‎ ‎（1）如果用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少人？‎ ‎（2）已知，求高三年级女生比男生多的概率.‎ ‎20．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，…后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求第四小组的频率，并补全频率分布直方图；‎ ‎（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；‎ ‎（3）从成绩是40～50分及90～100分的学生中选两人，记他们的成绩为x，y，求满足“”的概率.‎ ‎21.已知命题 ;‎ 命题函数在[1,+∞)上单调递减.‎ ‎(1)若为真命题,求的取值范围;‎ ‎ (2)若为真命题, 为假命题,求的取值范围.‎ ‎22．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．‎ ‎（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．‎ ‎（2）从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有，求使得取得最小值的点的坐标．‎ 东山二中2018—2019学年（上）高二年期中考 文科数学答案 一、选择题(每小题5分，共60分)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D A C C A A B B C B C D 二、填空题（每小题5分，共20分） ‎ ‎13、 14、 15、 ①③ 16、‎ 三．解答题（共6小题，其中17题10分，其余每小题均为12分，共70分）‎ ‎17.解：（1）由已知，得………………………………………………1分 又，，‎ 在中，由余弦定理，‎ 得，……………………4分 整理，得.解得.…………………………………………5分 ‎（2）由（1）知，，‎ 所以在中，由正弦定理.得，…………………………6分 解得.………………………………………………………7分 因为，所以，从而，即是锐角，……9分 所以.……………………………………………………10分 ‎18. 等比数列的各项均为正数，且 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和为； ‎ 解：（Ⅰ）设数列的公比为，由 有 ‎∴，由条件可知各项均为正数，故 由 有 故数列的通项式 ‎（Ⅱ）‎ 故 则：‎ 数列的前项和为 ‎19.某高级中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如下表：‎ 高一 高二 高三 女生 ‎373‎ 男生 ‎377‎ ‎370‎ 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.‎ ‎（1）如果用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少人？‎ ‎（2）已知，求高三年级女生比男生多的概率.‎ 解：全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率 ‎ ‎ ‎(1) 高三年级学生数为：‎ 用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，则应在高三年级抽取 ‎（2）若，则男女生人数可能情况为：‎ 女生数 ‎245‎ ‎246‎ ‎247‎ ‎248‎ ‎249‎ ‎250‎ ‎251‎ ‎252‎ ‎253‎ ‎354‎ ‎255‎ 男生数 ‎255‎ ‎254‎ ‎253‎ ‎252‎ ‎251‎ ‎250‎ ‎249‎ ‎248‎ ‎247‎ ‎246‎ ‎245‎ 基本事件总数有11个。‎ 记A=“高三年级女生比男生多”‎ 满足事件A的基本事件有5个 ‎0.03‎ ‎20．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，…后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求第四小组的频率，并补全频率分布直方图；‎ ‎（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；‎ ‎（3）从成绩是40～50分及90～100分的学生中选两人，记他们的成绩为x，y，求满足“”的概率.‎ 解：（1）由频率分布直方图可知第1、2、3、5、6小组的频率分别为：0.1、0.15、0.15、0.25、0.05，所以第4小组的频率为：1-0.1-0.15-0.15-0.25-0.05=0.3．‎ ‎∴在频率分布直方图中第4小组的对应的矩形的高为，对应图形如图所示： ‎ ‎（2）考试的及格率即60分及以上的频率 ‎∴及格率为0.15+0.3+0.25+0.05=0.75‎ 又由频率分布直方图有平均分为：‎ ‎ ‎ ‎（3）设“成绩满足”为事件A 由频率分布直方图可求得成绩在40～50分及90～100分的学生人数分别为4人和2人，记在40～50分数段的4人的成绩分别为，90～100分数段的2人的成绩分别为，则从中选两人，其成绩组合的所有情况有：‎ ‎，共15种，且每种情况的出现均等可能。若这2人成绩要满足“”，则要求一人选自40～50分数段，另一个选自90～100分数段，有如下情况：，共8种，所以由古典概型概率公式有，即所取2人的成绩满足“”的概率是． ‎ ‎21.已知命题 ;‎ 命题函数在[1,+∞)上单调递减.‎ ‎(1)若为真命题,求的取值范围;‎ ‎(2)若为真命题, 为假命题,求的取值范围.‎ 解:若p为真, ‎ 若q为真,函数 在[1,+∞)上单调递减,‎ 函数 在[1,+∞)上单调递增,‎ ‎ ‎ ‎ (1) 若为真命题,则均为真,所以m∈[0,4].‎ ‎(2) 若为真命题, 为假命题,则一真一假,‎ ‎， ‎ ‎， ‎ 所以m的取值范围为(-∞,0)∪(4,+∞).‎ ‎22．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．‎ ‎（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．‎ ‎（2）从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．‎ ‎【解析】（1）将圆C整理得(x＋1)2＋(y－2)2＝2．‎ ‎①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y＝kx，‎ ‎∴圆心到切线的距离为＝，即k2－4k－2＝0，解得k＝2±．‎ ‎∴y＝(2±)x；‎ ‎②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x＋y－a＝0，‎ ‎∴圆心到切线的距离为＝，即|a－1|＝2，解得a＝3或－1．‎ ‎∴x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．‎ 综上所述，所求切线方程为y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．‎ ‎（2）∵|PO|＝|PM|，‎ ‎∴x＋y＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，即2x1－4y1＋3＝0，‎ 即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．‎ 当|PM|取最小值时，即|OP|取得最小值，此时直线OP⊥l，‎ ‎∴直线OP的方程为：2x＋y＝0，‎ 解得方程组得 ‎∴P点坐标为．‎