数学（文）卷·2017届广西高三上学期教育质量诊断性联合考试（2017

数学（文）卷·2017届广西高三上学期教育质量诊断性联合考试（2017

‎2016年广西秋季学期高三年级教育质量诊断性联合考试 数学试卷（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.下列集合中，是集合的真子集的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.复数的实部与虚部分别为（ ）‎ A．， B．， C．, D．, ‎ ‎3.设为钝角，且，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.设，，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.设向量，，，若（），则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.设，满足约束条件则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．0 ‎ ‎7.将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则（ ）‎ A． B．的图象关于对称 C． D．的图象关于对称 ‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的等于（ ）‎ A．94 B．99 C．45 D．203 ‎ ‎9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图的右边为一个半圆，则此几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.函数的单调递增区间为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.直线与双曲线的左支、右支分别交于、两点，为右顶点，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知定义在上的奇函数在上递减，若对恒成立，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若从上任取一个实数作正方形的边长，则该正方形的面积大于4的概率为 ．‎ ‎14.长、宽、高分别为2,1,2的长方体的每个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 ．‎ ‎15.已知曲线由抛物线及其准线组成，则曲线与圆的交点的个数为 ．‎ ‎16.我国南宋著名数学家秦九昭在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为 平方千米．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 某体育场一角的看台共有20排，且此看台的座位是这样排列的：第一排有2个座位，从第二排起每一排比前一排多1个座位，记表示第排的座位数．‎ ‎（1）确定此看台共有多少个座位；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知某企业的近3年的前7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：‎ ‎（1）试问这3年的前7个月哪个月的月平均利润最高？‎ ‎（2）通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；‎ ‎（3）试以第3年的前4个月的数据如表，用下行回归的拟合模式估测第3年8月份的利润．‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 利润（单位：百万元）‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎6‎ 相关公式：，．‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）中，点是的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，，求证：．‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆：的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为，过椭圆的右焦点作斜率为（）的直线与椭圆相交于、两点，线段的中点为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点垂直于的直线与轴交于点，求的值．‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的单调区间；‎ ‎（2）求证：恒成立的充要条件是．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的方程为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）直线：（）与圆交于点、，求线段的长．‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知，为不等式的解集．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求证：当，时，．‎ ‎2016年广西秋季学期高三年级教育质量诊断性联合考试数学试卷（文科）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15.4 16.21‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由题可知数列是首项为2，公差为1的等差数列，‎ ‎∴（）．‎ ‎∴此看台的座位数为．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴．‎ ‎18.解：（1）由折线图可知5月和6月的平均利润最高．‎ ‎（2）第1年前7个月的总利润为（百万元），‎ 第2年前7个月的总利润为（百万元），‎ 第3年前7个月的总利润为（百万元），‎ 所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势．‎ ‎（3）∵，，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 当时，（百万元），∴估计8月份的利润为940万元．‎ ‎19.证明：（1）连接交于，连接．‎ 在中，因为，分别为，的中点，所以，‎ 又因为平面，平面，所以平面．‎ ‎（2）直三棱柱，故底面，平面，所以 ‎．‎ 又因为为棱的中点，，所以，‎ 因为，所以平面，所以，‎ 因为为棱中点，不妨设，所以，‎ 又因为，所以在和中，，‎ 所以，即，所以，‎ 因为，所以平面，‎ 因为平面，故．‎ ‎20.解：（1）过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为，设右焦点的坐标为，依题意知，‎ 又，解得，，，‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）设过椭圆的右焦点的直线的方程为，‎ 将其代入，得，‎ 设，，‎ 则，，‎ ‎∴，‎ 因为为线段的中点，‎ 故点的坐标为，‎ 又直线的斜率为，‎ 直线的方程为，‎ 令，得，由点的坐标为，‎ 则，解得．‎ ‎21.解：因为，所以，‎ 所以，解得．‎ 令，得，所以得单调递增区间为，‎ 令，得，所以的单调递减区间为．‎ ‎（2）证明：①充分性．‎ 当时，，，‎ 所以当时，，所以函数在上是增函数；‎ 当时，，所以函数在上是减函数．‎ 所以．‎ ‎②必要性．‎ ‎，其中．‎ ‎（i）当时，恒成立，所以函数在上是增函数．‎ 而，所以当时，，与恒成立矛盾，‎ 所以不满足题意．‎ ‎（ii）当时，‎ 因为当时，，所以函数在上是增函数；‎ 当时，，所以函数在上是减函数．‎ 所以，‎ 因为，所以当时，，此时与恒成立矛盾，‎ 所以．‎ 综上所述，恒成立的充要条件是．‎ ‎22.解：（1）可化为，‎ 故其极坐标方程为．‎ ‎（2）将代入，得，‎ ‎∴，，‎ ‎∴．‎ ‎23.解：（1）‎ 当时，由，得，舍去；‎ 当时，由，得，即；‎ 当时，由，得，即．‎ 综上，．‎ ‎（2）因为，，∴，，‎ 所以．‎