陕西省2020届高三下学期教学教学质量检测数学（文）试题

陕西省2020届高三下学期教学教学质量检测数学（文）试题

2020 年高三第二次教学质量检测 文科数学 一､选择题 1.定义 ，若 ，则 （ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题中的新定义,找出属于 不属于 的元素.即可确定出 . 【详解】解:集合 . 故选 C 【点睛】此题考查了补集及其运算,属于新定义题型,弄清题中“差集”的新定义是解本题的 关键. 2.已知 是虚数单位，复数 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为 ，所以复数 的虚部为 ，故选 B. 3.函数 的一个零点所在的区间是(　 ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出 根据零点存在性定理得解. { | , }A B x x A x B− = ∈ ∉ {1,2,3,4,5}, {2,3,6}M N= = M N− = M N {1,4,5} {6} M N M N− {1,2,3,4,5}, {2,3,6}M N= = {1,4,5}M N− = i 5 1 2 i i− 1− 1 i− i ( ) ( )( ) ( )5 1 2 5 1 25 21 2 1 2 1 2 5 i i i ii ii i i + += = = − +− − + 5 1 2 i i− 1 ( ) ( ) 2ln 1f x x x = + − ( )0,1 ( )1,2 ( )2,3 ( )3,4 (1) (2) 0,f f < 【详解】由题得 ， ， 所以 所以函数 的一个零点所在的区间是 . 故选 B 【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础 题. 4.空气质量指数(简称：AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照 AQI 大小 分为六级： 为优， 为良， 为轻度污染， 为中度污染， 为重度污染， 为严重污染.下面记录了北京市 天的空气质量指数，根 据图表，下列结论错误的是(　　) A. 在北京这 天的空气质量中，按平均数来考查，最后 天的空气质量优于最前面 天的空 气质量 B. 在北京这 天的空气质量中，有 天达到污染程度 C. 在北京这 天的空气质量中， 月 日空气质量最差 D. 在北京这 天的空气质量中，达到空气质量优的天数有 天 【答案】D 【解析】 【分析】 由频率分布折线图逐一对四个选项分析即可得出. 【详解】因为 ， ， ， ，所以在北京这 天的空气质量中， 按平均数来考察，最后 天的空气质量优于最前面 天的空气质量，即选项 A 正确； AQI 不低于 的数据有 个： ， ， ，所以在北京这 天的空气质量中，有 天 达到污染程度，即选项 B 正确； ( ) 21 ln 2 =ln 2 2 01f = − − < ( ) 22 ln3 =ln3 1 02f = − − > (1) (2) 0,f f < ( ) ( ) 2ln 1f x x x = + − ( )1,2 [ )0,50 [ )50,100 [ )100,150 [ )150,200 [ )200,250 [ )250,300 22 22 4 4 22 3 22 12 29 22 7 97 59> 51 48> 36 29> 68 45> 22 4 4 100 3 143 225 145 22 3 因为 月 日的 AQI 为 ，为重度污染，该天的空气质量最差，即选项 C 正确； AQI 在 的数据有 个： ， ， ， ， ， ，即达到空气质量优的天数有 天，所以选项 D 错. 故选：D. 【点睛】本题考查频率分布折线图的应用，属于基础题. 5.已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则向量 与 的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平方运算可求得 ，利用 求得结果. 【详解】由题意可知： ，解得： 本题正确选项： 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积. 6.已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ） A. 39 B. 45 C. 50 D. .55 【答案】C 【解析】 【分析】 对已知等式变形得数列数列 是等差数列，从而求得 ，得出结论． 【详解】∵ ，∴ ，∴ ， 即 ，∴数列 是等差数列，公差为 1，首项为 ，∴ ， ． ， ， 12 29 225 [ )0,50 6 36 47 49 48 29 45 6 a b 2a = | | 1b = 2b a+ =  a b 2 2 2 3 2 8 2 4 1 2a b⋅ = cos , a ba b a b ⋅< >=   2 2 22 3 2 4b a b a b a a b+ = + ⋅ + = + ⋅ =      1 2a b⋅ = 1 2cos , 42 2 a ba b a b ⋅∴ < >= = =   D { }na n nS 1 0a = 1 2 1 1n n na a a+ = + + + 5 4a S+ = { 1}na + na 1 2 1 1n n na a a+ = + + + 2 1 1 ( 1 1)n na a+ + = + + 1 1 1 1n na a+ + = + + 1 1 1 1n na a+ + − + = { 1}na + 1 1 1a + = 1na n+ = 2 1na n= − 1 2 3 4 50, 3, 8, 15, 24a a a a a= = = = = 4 0 3 8 15 26S = + + + = ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查数列的递推式，考查等差数列的通项公式和数列的前 项和定义．解题关键 是已知变形得出数列 是等差数列． 7.已知圆 和 关于直线 对称，若圆 的方程是 ，则圆 的方程 是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题首先可以通过圆 的方程得出圆 的圆心，然后通过圆 和 关于直线 对称得 出圆 的圆心坐标，最后得出圆 的方程． 【详解】由圆 的方程是 ，得圆心坐标为 ，半径为 ， 设点 关于 的对称点为 ， 则 ，解得 ． 所以圆 的圆心坐标为 ，则圆 的方程是 ，故选 D． 【点睛】本题考查的是圆的相关性质，主要考查圆关于直线的对称圆方程，圆与对称圆的圆 心关于直线对称，半径相同，由此即可通过计算出对称圆的圆心来推断出对称圆方程． 8.已知函数 图象如图所示，则该函数可能是（ ）的 5 5 24 26 50a S+ = + = n { 1}na + 1C 2C y x= − 1C ( )2 25 4x y+ + = 2C ( )2 25 2x y+ + = ( )22 5 4x y+ + = ( )2 25 2x y− + = ( )22 5 4x y+ − = 1C 1C 1C 2C y x= − 2C 2C 1C ( )2 25 4x y+ + = ( )5 0，− 2 ( )5 0，− y x= − ( )0 0x y， 0 0 0 0 15 5 2 2 y x y x  = + − = − 0 0 0 5 x y =  = 2C ( )0 5， 2C ( )22 5 4x y+ − = ( )y f x= A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由图象关于原点对称知函数为奇函数，A、C 中函数为偶函数排除，B、D 选项中函数为奇函数， 再根据函数的单调性确定可能的函数. 【详解】由图象可知，该图象关于原点对称，故函数 为奇函数. A 选项， ，且定义域 ， ∴该函数为偶函数，不符合题意，A 错误. B 选项， ，且定义域为 ， ∴该函数为奇函数.易知当 时， ； 当 时， ； 当 时， ，符合题意，B 正确. C 选项， ，且定义域为 ， ∴该函数为偶函数，不符合题意，C 错误. D 选项， ，且定义域 ， 为 sin xy x = cos xy x = cos xy x = sin xy x = ( )y f x= ( ) ( ) ( )sin sinx xf x f xx x −− = = =− ( ) ( ),0 0,−∞ +∞ ( ) ( ) ( )cos cosx xf x f xx x −− = = − = −− ( ) ( ),0 0,−∞ +∞ π0 2x< < ( ) 0f x > π 3π 2 2x< < ( ) 0f x < 3π 2π2 x< < ( ) 0f x > ( ) ( ) ( )cos cosx xf x f xx x −− = = =− ( ) ( ),0 0,−∞ +∞ ( ) ( ) ( )sin sinx xf x f xx x − − = = − = −− ( ) ( ),0 0,−∞ +∞ ∴该函数为奇函数.易知当 时， ；当 时， ，不符合题意，D 错 误. 故选：B. 【点睛】本题考查函数图象的辨析，考查函数的基本性质，涉及三角函数的单调性，属于中 档题. 9.2019 年底，武汉突发新冠肺炎疫情，2020 年初开始蔓延.党中央､国务院面对“突发灾难” 果断采取措施，举国上下，万众一心支援武汉，全国各地医疗队陆续增援湖北，纷纷投身疫 情防控与救治病人之中.为了分担“抗疫英雄”的后顾之忧，某校教师志愿者开展“爱心辅导” 活动，为抗疫前线医务工作者子女开展在线辅导.春节期间随机安排甲､乙两位志愿者为一位 初中生辅导功课共 3 次，每位志愿者至少辅导 1 次，每一次只有 1 位志愿者辅导，到甲恰好 辅导两次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 用列举法列出所有基本事件，然后计数可得概率． 【详解】由题意辅导三次的所有基本事件为：甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲，甲乙乙，乙甲乙， 乙乙甲共 6 个，其中甲恰好辅导两次的有甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲共 3 个，∴所求概率为 ． 故选：D． 【点睛】本题考查古典概型，解题方法是列举法，即用列举法写出所有基本事件，然后分别 计数后计算概率． 10.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： ①AB⊥EF； ②AB 与 CM 所成的角为 60°； ③EF 与 MN 是异面直线；④MN∥CD． 其中正确的个数为( )个 0x > ( ) 0f x ≥ 0x < ( ) 0f x ≤ 2 3 1 3 3 4 1 2 3 1 6 2P = = A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 由题可先画出正方体,再利用空间中判断线线夹角的一般方法逐个选项判断即可. 【详解】还原正方体,以正方形 为底面有 对①,因为 ∥ ,且 有 ,故①正确. 对②,因为 ∥ ,所以②错误. 对③,由图可得显然正确. 对④, ,故④错误. 故选 B 【点睛】本题主要考查空间中线面的位置关系与夹角,一般利用平行将线段移至相交位置分析 夹角. 11.我国古代《周髀算经》中记载，古人通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图， 一位渔民在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一来记录捕鱼条数.由图可知，这位渔民 共捕鱼（ ）条. NACF AB CM CM EF⊥ AB EF⊥ AB CM MN CD⊥ A. 39 B. 64 C. 11 D. 224 【答案】B 【解析】 【分析】 根据满五进一来记录捕鱼条数的规律，这相当于五进制数，化为十进制即可． 【 详 解 】 由 题 意 所 记 录 的 数 相 当 于 五 进 制 数 ， ∴ 这 位 渔 民 共 捕 鱼 条 数 为 ． 故选：B． 【点睛】本题考查进制数之间的认识与转化，读懂题意是解题关键． 12.已知定义在 上的函数 满足 ，其中 是函数 的 导函数.若 ，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 引入新函数 ，求导后确定 的单调性，由单调性解不等式． 【详解】设 ，则 ，∵ 且 ，∴ ，∴ 在 上单调递减， 不等式 可化为 ，即 ，∴ ，∴ ． 故选：D． 【点睛】本题考查用单调性解函数不等式，解题关键是引入新函数 ，然后利用 已知条件确定单调性后求解不等式． 二､填空题 13.某校高一（1）班有学生 36 人，高一（2）班有学生 42 人，现在要用分层抽样的方法从两 22 5 2 5 4 64× + × + = ( )0, ∞+ ( )f x ( ) ( ) 0xf x f x′ − < ( )f x′ ( )f x ( ) ( ) ( )2 2020 2020 2f m m f− > − m ( )0,2020 ( )2020,+∞ ( )2022,+∞ ( )2020,2022 ( )( ) f xg x x = ( )g x ( )( ) f xg x x = 2 ( ) ( )( ) xf x f xg x x ′ −′ = ( ) ( ) 0xf x f x′ − < 0x > ( ) 0g x′ < ( )g x (0, )+∞ ( ) ( ) ( )2 2020 2020 2f m m f− > − ( 2020) (2) 2020 2 f m f m − >− ( 2020) (2)g m g− > 0 2020 2m< − < 2020 2022m< < ( )( ) f xg x x = 个班抽出 13 人参加军训表演，则高一（2）班被抽出的人数是__________. 【答案】7 【解析】 根据分层抽样的定义得到 故答案为 7. 14.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏 北 的方向上，行驶 600m 后到达 处，测得此山顶在西偏北 的方向上，仰角为 ，则 此山的高度 ________ m. 【答案】 【解析】 试题分析:由题设可知在 中, ,由此可得 ,由 正 弦 定 理 可 得 , 解 之 得 , 又 因 为 , 所 以 ,应填 . 考点：正弦定理及运用． 15.已知函数 ，若曲线 在 处的切线与直线 平行，则 ______. 【答案】2 【解析】 【分析】 求出导函数，利用 可求得 ． 42 7.13 78 x x= ⇒ = A 30 B 75 30 CD = 100 6 100 6 ( ) 3 2 xf x x me= − ( )y f x= ( )( )0, 0f 4 2 0x y+ − = m = (0) 4f ′ = − m 【 详 解 】 由 已 知 ， ∵ 曲 线 在 处 的 切 线 与 直 线 平行，∴ ， ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线平行的条件，掌握导数几何意义是解题基 础． 16.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是 1 个点(算第 1 层)，第 2 层每边有 2 个点，第 3 层每边有 3 个点，…，依此类推，则该六边形点阵的第 6 层共有______个点.如果一个六边形 点阵共有 169 个点，则它共有______层. 【答案】 (1). 30 个 (2). 8 层 【解析】 【分析】 观察图形，归纳出每层点数之间的递推关系，从而得出每层点数所成数列的通项公式． 【详解】记第 层点数为 ，则 ， ， ， 时， ，∴数 列 从第 2 项开始成等差数列， ，即 ， ∴ ，由 得 （ 舍去）．即题中六 边形点阵有 8 层． 故答案为：30；8． 【点睛】本题考查归纳推理，解题关键是寻找规律，本题可以看作是数列模型 应用，即以 每层点数作为一个数列的项，形成一个数列，然后归纳出数列项的规律，利用数列知识得出 结论． 三､解答题 17.如图，在直三棱柱 中， ， 分别是棱 ， 的中点，点 在 棱 上，且 ， ， . 的 2( ) 3 2 xf x x me′ = − ( )y f x= ( )( )0, 0f 4 2 0x y+ − = (0) 2 4f m′ = − = − 2m = n na 1 1a = 2 6a = 3 12a = 2n ≥ 1 6n na a+ = + { }na 6( 1)na n= − 1, 1 6( 1), 2n na n n ==  − ≥ 6 6 (6 1) 30a = × − = ( 1)[6 6( 1)]1 1692 n n− + −+ = 8n = 7n = − 1 1 1ABC A B C− D E BC AB F 1CC AB AC= 1 3AA = 2BC CF= = （1）求证： 平面 ； （2）当 时，求三棱锥 的体积. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 试题分析：（1）连接 交 于点 ，由重心性质可得 ，由相似可得 ，最后根据线面平行判定定理得结论（2）取 上一点 使 ，利 用平行进行等体积代换 ，最后根据锥体体积公式求体积 试题解析：解：（1）(法一)连接 交 于点 ，连接 由 分别是棱 中点，故点 为 的重心 在 中，有 ，又 平面 平面 （法二）取 的中点 ，连接 1C E  ADF 2AB = 1A FDE− 3 12 CE AD P 1 2 3 CP CF CE CC = = 1/ /PF EC 1AA H 12AH HA= 1 1 1 1A DEF F A DE H A DE D A HEV V V V− − − −= = = CE AD P PF ,D E ,BC AB P ABC∆ ∴ 1CC E∆ 1 2 3 CP CF CE CC = = ∴ 1/ /PF EC 1EC ⊄ ADF ∴ 1 / /C E ADF BD G 1,EG C G 由 是棱 的中点， 为 的中点， 为 的中位线，即 平面 又 为棱 的中点， 为 的中点 由 ，由 ，且 为直三棱柱 ，进而得 ，即 平面 又 平面 平面 又 平面 平面 (2)取 上一点 使 ∵ 且直三棱柱 ∴ ，∵ 为中点 ∴ , , 平面 ∴ 而 , 点 到平面 的距离等于 ∴ ∴三棱锥 的体积为 E AB G BD ∴ EG ABC∆ / /EG ADF D BC G BD 2 3 CD CG = 1 3, 2AA CF= = 1 1 1ABC A B C− ∴ 1 2 3 CF CC = 1 CD CF CG CC = ∴ 1/ /DF C G 1 / /C G ADF 1C G EG G∩ = ∴ 1 / /EGC ADF 1C E ⊆ 1EGC ∴ 1 / /C E ADF 1AA H 12AH HA= 12CF FC= 1 1 1ABC A B C− / /HF AC ,D E / /DE AC / /DE HF / /HF 1A DE 1 1 1 1A DEF F A DE H A DE D A HEV V V V− − − −= = = 1 1 11 12 2EHAS∆ = × × = D 1 1AA B B 3 2 1 1 1 1 3 3 3 2 2 12D A HE A DEFV V− −= × × = = 1A DEF− 3 12 18.已知函数 ，若 的图象上相邻两条对称轴的 距离为 ，图象过点 . （1）求 的表达式和 的递增区间； （2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到函数 的图象.若函数 在区间 上有且只 有一个零点，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ， 的递增区间为 ， . （2） 【解析】 【分析】 （1）由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数，相邻两条对称轴的距离为 ，可 得周期，从而得 ，再代入坐标 得 ； （2）由三角函数图象变换得 ，题意转化为 的图象与直线 在 上 只有一个公共点，结合函数图象易得结论． 【详解】（1） ， 的最小正周期为 ，∴ . ∵ 的图象过点 ，∴ ，∴ ， 即 . ( ) ( )cos2 3sin 2 0f x x x tω ω ω= + + > ( )f x π 4 ( )0,0 ( )f x ( )f x ( )f x π 8 ( )y g x= ( ) ( )F x g x k= + π0, 2      k ( ) π2sin 4 16f x x = + −   ( )f x π π π π,2 6 2 12 k k − +   k Z∈ [ 3 1, 3 1] { 1}− + + − π 4 ω (0,0) t ( )g x ( )y g x= y k= − [0, ]2 π ( ) πcos2 3sin 2 2sin 2 6f x x x t x tω ω ω = + + = + +   ( )f x 2π π 2 2ω = 2ω = ( )f x ( )0,0 π2sin 06 t+ = 1t = − ( ) π2sin 4 16f x x = + −   令 ， ， ， ， 故 的递增区间为 ， . （2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得 的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来 的 2 倍(纵坐标不变)，得到函数 的图象. ∵ ，∴ ，∴ ，故 在区间 上的值域为 . 若函数 在区间 上有且只有一个零点， 即函数 的图象和直线 只有一个公共点， 如图， 根据图象可知， 或 ，即 . 故实数 的取值范围是 . 【点睛】本题考查由三角函数的性质求解析式，考查三角函数的单调性，考查函数的零点个 数问题，掌握正弦函数的图象与性质是解题关键．函数零点个数问题常常转化为函数图象与 π π π2 π 4 2 π2 6 2k x k− ≤ + ≤ + k ∈Z 1 π 1 ππ π2 6 2 12k x k− ≤ ≤ + k ∈Z ( )f x π π π π,2 6 2 12 k k − +   k Z∈ ( )f x π 8 π π π2sin 4 1 2sin 4 12 6 3y x x   = − + − = − −       ( ) π2sin 2 13g x x = − −   π0, 2x  ∈    π π 2π2 ,3 3 3x  − ∈ −   π 3sin 2 ,13 2x   − ∈ −      ( ) π2sin 2 13g x x = − −   π0, 2      3 1,1 − −  ( ) ( )F x g x k= + π0, 2      ( ) π2sin 2 13g x x = − −   y k= − 3 1 3 1k− − ≤ − < − 1k− = [ 3 1, 3 1] { 1}k ∈ − + + − k [ 3 1, 3 1] { 1}− + + − 直线交点个数，利用数形结合思想求解． 19.随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、 共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某公司随即抽取 人对共享产品是否对日常生活有 益进行了问卷调查，并对参与调查的 人中的性别以及意见进行了分类，得到的数据如下 表所示： 男 女 总计 认为共享产品对生活有益 认为共享产品对生活无益 总计 （1）根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过 的前提下，认为对共享产品的态度 与性别有关系？ （2）现按照分层抽样从认为共享产品增多对生活无益的人员中随机抽取 人，再从 人中随 机抽取 人赠送超市购物券作为答谢，求恰有 人是女性的概率. 参与公式： 临界值表： 【答案】(1) 可以在犯错误的概率不超过 的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关 系(2) 【解析】 试题分析：（1）根据题中数据，利用参考公式计算 的观测值 ，对应查表下结论即可； （2）从认为共享产品增多对生活无益的女性中抽取 4 人，记为 ，从认为共享产品 1000 1000 400 300 700 100 200 300 500 500 1000 0.1% 6 6 2 1 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 2 0( )P K k≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 0.1% 8 15P= 2K k , , ,A B C D 增多对生活无益的男性中抽取 2 人，记为 ，写出所有的基本事件，即可得到恰有 1 人是女 性的概率. 试题解析： （1）依题意，在本次的实验中， 的观测值 ， 故可以在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系； （2）依题意，应该从认为共享产品增多对生活无益的女性中抽取 4 人，记为 ，从 认为共享产品增多对生活无益的男性中抽取 2 人，记为 ， 从以上 6 人中随机抽取 2 人，所有的情况为： ， 共 15 种，其中满足条件的为 共 8 种情况，故所求概率 ． 20.已知点 在椭圆 ： 上，且点 到 的左、右焦点 的距离之和为 . （1）求 的方程； （2）设 为坐标原点，若 的弦 的中点在线段 （不含端点 ， ）上，求 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆的定义和椭圆上点的坐标，求得椭圆的标准方程. （2）设出 的坐标，求得 中点的坐标，由 的斜率得到 ，利用 ,a b 2K ( )21000 400 200 300 100 47.619 10.828700 300 500 500k × × − ×= ≈ >× × × , , ,A B C D ,a b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , , , , , , , ,A B A C A D A a A b B C B D B a B b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , ,C D C a C b D a D b a b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , , , , , ,A a A b B a B b C a C b D a D b 8 15P = 2 3 3,3 3M       C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > M C 2 2 C O C AB OM O M OA OB⋅  2 2 12 x y+ = 4 5,3 3  −   ,A B AB OM ( )1 2 1 22x x y y+ = + 点差法求得 的斜率，设出直线 的方程并代入椭圆方程，写出判别式以及韦达定理，利 用平面向量的坐标运算，化简求得 的取值范围. 【详解】（1）由条件知 ， ，所以 ， ， ∴椭圆 方程为 . （2）设点 、 的坐标为 ， ，则 中点 在线段 上，且 ， ∴ ，又 ， ，两式相减得 ， 易知 ， ，所以 ，即 . 设 方程为 ，代入 并整理得 . 由 解得 ，又由 ，∴ . 由韦达定理得 ， ， 故 . 而 ，所以 的取值范围是 . 【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查点差法， 考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题. 21.函数 的图象关于原点对称，函数 分别在点 ､ 处有极大值和极小值，且 ， . 的 AB AB OA OB⋅  2 2 4 1 13 3a b + = 2 2 2a = 2a = 1b = C 2 2 12 x y+ = A B ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB 1 2 1 2,2 2 x x y y+ +     OM 1 2OMk = ( )1 2 1 22x x y y+ = + 2 21 1 12 x y+ = 2 22 2 12 x y+ = ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 02 x x x x y y y y − + + − + = 1 2 0x x− ≠ 1 2 0y y+ ≠ ( )1 2 1 2 1 2 1 2 12 y y x x x x y y − += − = −− + 1ABk = − AB y x m= − + 2 2 12 x y+ = 2 23 4 2 2 0x mx m− + − = ( )28 3 0m∆ = − > 2 3m < 1 2 2 20,2 3 3 x x m+  = ∈   0 3m< < 1 2 4 3 mx x+ = ( )2 1 2 2 1 3 m x x − = ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2OA OB x x y y x x x m x m⋅ = + = + − + − +  ( ) ( )2 2 2 2 1 2 1 2 4 1 42 3 3 m mx x m x x m m − = − + + = − + 2 4 3m= − 0 3m< < OA OB⋅  4 5,3 3  −   ( ) ( )3 2 0f x ax bx cx a= + + > ( )f x ( )( ),A fα α ( )( ),B fβ β 2AB = ( ) ( )f fα β β α− = − （1）求函数 的解析式； （2）若 ， 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） .（2） 或 . 【解析】 【分析】 （1）由函数图象关于原点对称得 ，由极值点得方程 的两实根是 ， ，从而得 ，由 及 得 的关系， 此关系式连同 代入 可求得 ，得函数解析式； （2）求出 的最小值，解相应不等式可得 的范围． 【详解】（1） 的图象关于原点对称，即函数为奇函数，∴ 恒成立，即 ． ， ，∴ ， ∵ ， 是 的两个极值点， ∴方程 的两实根是 ， ，则 ， ∵ ∴ ， 又 ，∴ ， . （2）由（1）， ， ，由 得 ，从而极大值 ( )f x [ ]2,1x∈ − ( ) 6f x m m > − m ( ) 3 3 2f x x x= − 6m < − 0 1m< < 0b = 2( ) 3 0f x ax c′ = + = α β 0, 3 c a α β αβ+ = = 2AB = ( ) ( )f fα β β α− = − ,c a ,α β αβ+ ( ) ( )f fα β β α− = − ,a c ( )( [ 2,1])f x x∈ − m ( )f x ( ) ( )f x f x− = − 3 2 3 2( )ax bx cx ax bx cx− + − = − + + 2 0bx = 0b = ( ) 3f x ax cx= + ( ) 3f x ax cx= + ,α β ( )f x 2( ) 3 0f x ax c′ = + = α β 0 3 c a α β α β + = ⋅ = ( ) ( ) ( )2 2 22 ( ) ( ) 4 2AB f fα β α β α β= ⇒ − + − = ⇒ − = 34 23 2 c c aa − ⋅ = ⇒ = − ( ) ( ) 2 3f f a c cα β β α α α αβ β β α− = − ⇒ + − − = − ( ) ( )22 2 1 3 1a c a cα αβ β α β αβ ⇒ + + + = − ⇒ + − + = −  23 31 1 12 2 ca c c ac a aa  − + = − ⇒ − + = − ⇒ − = −   0a > 1a = ( ) 3 3 2f x x x= − 3 3( ) 2f x x x= − 2 3( ) 3 2f x x′ = − ( ) 0f x′ = 2 2x = ± 为 ，极小值为 ，又 ，∴当 时， 的最小值是 ，故 ， 所以 或 . 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数的极值的概念，考查不等式恒成立问题．掌握导 数与函数极值（最值）关系是解题基础．不等式恒成立问题常常分离参数后转化为求函数的 最值，然后再解相应不等式得出结论． 22.在平面直角坐标系 中，已知圆 的参数方程为 （ 为参数， ）.以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线 的 极坐标方程是 . （1）若直线 与圆 有公共点，试求实数 的取值范围； （2）当 时，过点 且与直线 平行的直线 交圆 于 两点，求 的值. 【答案】(1) (2) 【解析】 试题分析:(1)根据极坐标与普通方程的互化公式求出直线的直角坐标方程,消参得出圆的普 通方程, 直线 与圆 有公共点，则圆心到直线的距离 ,即可求出范围;(2)将直线的参数 方程代入曲线方程,根据 t 的几何意义求值即可. 试题解析: （1）由 ， 得 ， 即 ， 2 2( )2 2f − = 2 2( )2 2f = − ( 2) 5f − = − [ ]2,1x∈ − ( )f x 5− ( )( )6 165 0m mm m m + −− > − ⇒ < 6m < − 0 1m< < xOy C 1 cos , sin x r y r θ θ = +  = θ 0r > O x l sin 13 πρ θ − =   l C r 2r = ( )2,0D l l′ C ,A B 1 1 DA DB − 3 2 ,2  + +∞   1 3 l C d r≤ sin 13 πρ θ − =   sin cos cos sin 13 3 π πρ θ θ − =   1 3 12 2y x− = 故直线 的直角坐标方程为 . 由 得 所以圆 的普通方程为 . 若直线 与圆 有公共点，则圆心 到直线 的距离 ，即 ， 故实数 的取值范围为 . （2）因为直线 的倾斜角为 ，且过点 ， 所以直线 的参数方程为 （ 为参数），① 圆 的方程为 ，② 联立①②，得 ， 设 两点对应的参数分别为 ， 则 ， ， 故 . 23.已知函数 . （1）解不等式 ； （2）已知函数 ，若对于任意 ，都存在 ，使 得 成立，求实数 的取值范围. l 3 2 0x y− + = 1 , , x rcos y rsin ϕ ϕ = +  = 1 , , x rcos y rsin ϕ ϕ − =  = C ( )2 2 21x y r− + = l C ( )1,0 l 3 1 1 0 2 3 1 d r × − × + = ≤ + 3 2 2r +≥ r 3 2 ,2  + +∞   l′ 3 π ( )2,0D l′ 2 ,2 3 2 tx y t  = +  = t C ( )2 21 4x y− + = 2 3 0t t+ − = ,A B 1 2,t t 1 2 1t t+ = − 1 2 3t t = − 1 2 1 2 1 1 1 3 DB DA t t DA DB DA DB t t − +− = = =⋅ ( ) 2 1 1f x x x= + + − ( ) 3f x ≤ ( ) 2 2019 2 2020g x x a x= − − + − 1x R∈ 2x R∈ ( ) ( )1 2f x g x= a 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）根据绝对值定义分类去掉绝对值符号后，分类解不等式即可得； （2）求出 和 的最小值，题意题意转化为 的最小值不小于 的最小值，解 之可得 的范围． 【详解】（1）依题意，得 ， 由 ，得 或 或 .解得 . 即不等式 的解集为 . （2）由（1）知， ， ， 则 ，解得 ， 即实数 的取值范围为 . 【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查绝对值的性质，根据绝对值的定义去绝对值符号是 解绝对值不等式的常用方法，除去绝对值符号求解外还可利用绝对值三角不等式求含绝对值 的函数的最值． { }1 1x x− ≤ ≤ 1 5,2 2  −   ( )f x ( )g x ( )f x ( )g x a ( ) 13 , 2 12, 12 3 , 1 x x f x x x x x − ≤ − = + − < <  ≥  ( ) 3f x ≤ 1 2 3 3 x x  ≤ − − ≤ 1 12 2 3 x x − < <  + ≤ 1 3 3 x x ≥  ≤ 1 1x− ≤ ≤ ( ) 3f x ≤ { }1 1x x− ≤ ≤ ( )min 1 3 2 2f x f  = − =   ( ) 2 2019 2 2020 2 2019 2 2020 1g x x a x x a x a= − − + − ≥ − − − + = − 31 2a − ≤ 1 5 2 2a− ≤ ≤ a 1 5,2 2  −  