高中数学必修2教案:第四章 4_2_2-4_2_3直线与圆的方程的应用

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高中数学必修2教案:第四章 4_2_2-4_2_3直线与圆的方程的应用

‎4.2.2 圆与圆的位置关系 ‎4.2.3 直线与圆的方程的应用 ‎[学习目标] 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.体会用代数方法处理几何问题的思想.‎ ‎[知识链接]‎ ‎1.判断直线与圆的位置关系的两种方法为代数法、几何法.‎ ‎2.两圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含.‎ ‎[预习导引]‎ ‎1.圆与圆位置关系的判定 ‎(1)几何法:若两圆的半径分别为r1、r2,两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:‎ 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1、r2的关系 d>r1+r2‎ d=r1+r2‎ ‎|r1-r2|0),‎ 则=r+1,①‎ =,②‎ =r.③‎ 联立①②③解得a=4,b=0,r=2,或a=0,b=-4,r=6,即所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36.‎ 规律方法 两圆相切时常用的性质有:‎ ‎(1)设两圆的圆心分别为O1、O2,半径分别为r1、r2,‎ 则两圆相切 ‎(2)两圆相切时,两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时,两圆圆心的连线垂直平分公共弦).‎ 跟踪演练1 求与圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点A(4,-1)且半径为1的圆的方程.‎ 解 设所求圆的圆心为P(a,b),则 =1.①‎ ‎(1)若两圆外切,则有=1+2=3,②‎ 联立①②,解得a=5,b=-1,所以,所求圆的方程为 ‎(x-5)2+(y+1)2=1;‎ ‎(2)若两圆内切,则有=|2-1|=1,③‎ 联立①③,解得a=3,b=-1,所以,所求圆的方程为 ‎(x-3)2+(y+1)2=1.‎ 综上所述,所求圆的方程为 ‎(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.‎ 要点二 与两圆相交有关的问题 例2 已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.‎ 解 设两圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标是方程组的解,‎ ‎①-②得:3x-4y+6=0.‎ ‎∵A,B两点坐标都满足此方程,‎ ‎∴3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程.‎ 易知圆C1的圆心(-1,3),半径r1=3.‎ 又C1到直线AB的距离为d==.‎ ‎∴|AB|=2=2=.‎ 即两圆的公共弦长为.‎ 规律方法 1.两圆相交时,公共弦所在的直线方程 若圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则两圆公共弦所在直线的方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.‎ ‎2.公共弦长的求法 ‎(1)代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间的距离公式求出弦长.‎ ‎(2)几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解.‎ 跟踪演练2 求过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点,且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.‎ 解 设所求圆的方程为x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0,‎ 即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-4-28λ=0.‎ 圆心为,由题意得 ‎-+-4=0,∴λ=-7.‎ ‎∴圆的方程是x2+y2-x+7y-32=0.‎ 要点三 直线与圆的方程的应用 例3 一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径为30 km的圆形区域,已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?‎ 解 以台风中心为坐标原点,以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图),其中取10 km为单位长度,‎ 则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=9,‎ 港口所对应的点的坐标为(0,4),‎ 轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0),‎ 则轮船航线所在直线l的方程为+=1,‎ 即4x+7y-28=0.‎ 圆心(0,0)到航线4x+7y-28=0的距离 d==,而半径r=3,∴d>r,‎ ‎∴直线与圆外离,所以轮船不会受到台风的影响.‎ 规律方法 解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面:‎ 跟踪演练3 台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东40千米处,B城市处于危险区内的时间为(  )‎ A.0.5小时 B.1小时 C.1.5小时 D.2小时 答案 B 解析 以台风中心A为坐标原点建立平面直角坐标系,如图,则台风中心在直线y=x 上移动,又B(40,0)到y=x的距离为d=20,由|BE|=|BF|=30知|EF|=20,即台风中心从E到F时,B城市处于危险区内,时间为t==1小时.故选B.‎ ‎1.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系为(  )‎ A.外离 B.相交 C.外切 D.内切 答案 B 解析 圆O1的圆心坐标为(1,0),半径长r1=1;圆O2的圆心坐标为(0,2),半径长r2=2;1=r2-r1<|O1O2|=0)外切,则r的值是(  )‎ A. B. C.5 D. 答案 D 解析 由题意可知=2r,‎ ‎∴r=.‎ ‎5.已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于A、B两点,则直线AB的方程是________.‎ 答案 x+3y=0‎ 解析 ⇒2x+6y=0,‎ 即x+3y=0.‎ ‎1.判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种,其中几何法较简便易行、便于操作.‎ ‎2.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用,要善于利用其解决一些实际问题,关键是把实际问题转化为数学问题;要有意识用坐标法解决几何问题,用坐标法解决平面几何问题的思维过程:‎ 一、基础达标 ‎1.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为(  )‎ A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 答案 B 解析 两圆圆心坐标分别为(-2,0),(2,1),半径分别为2和3,圆心距d==.‎ ‎∵3-2
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