北京市第十五中学2020届高三上学期期中考试数学试题

北京市第十五中学2020届高三上学期期中考试数学试题

‎2019北京十五中高三（上）期中 数学 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x＜0}，B＝{x|x－1≥0}，那么集合A∩＝（ ）‎ A. {x|0＜x＜1} B. {x|x＜0} C. {x|x＞2} D. {x|1＜x＜2}‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：集合A＝{x|0＜x＜2}，集合B＝{x|x≥1}，故＝{x|x＜1}‎ 所以A∩＝{x|0＜x＜1}，选A 考点：二次不等式的解法，集合的运算 ‎2.若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数运算法则计算得，根据点所在象限列不等式组即可求解.‎ ‎【详解】由题：，在复平面内所对应的点在第四象限，‎ 所以，解得：，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查复数的基本运算和几何意义，关键在于准确计算，并判定点所在象限.‎ ‎3.下列函数中，既是偶函数，又在区间上为减函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本初等函数性质，ABC三个选项的函数均不是偶函数，D选项满足题意.‎ ‎【详解】，定义域为，不可能为偶函数，所以A不正确；‎ ‎，定义域为，不可能为偶函数，所以B不正确；‎ ‎，根据二次函数性质，图象关于对称，所以C不正确；‎ 考虑函数，定义域为R，，所以函数是偶函数，‎ 当时，，函数单调递减，所以D选项正确.‎ 故选：D ‎【点睛】此题考查函数单调性与奇偶性的辨析，关键在于熟练掌握常见基本初等函数的单调性和奇偶性，根据单调性和奇偶性的讨论方法进行判别.‎ ‎4.设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.‎ ‎【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若，那么是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件；若，那么，互为充要条件；若，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知 ‎,若，那么是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件；若，那么，互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将是条件的判断，转化为是条件的判断.‎ ‎5.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则使按照等差数列的规律计算得出的，下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分（1寸分），已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为（ ）‎ 节气 冬至 小寒（大雪）‎ 大寒（小雪）‎ 立春（立冬）‎ 雨水（霜降）‎ 惊蛰（寒露）‎ 晷影（寸）‎ ‎135‎ 节气 春分（秋分）‎ 清明（白露）‎ 谷雨（处暑）‎ 立夏（立秋）‎ 小满（大暑）‎ 芒种（小暑）‎ 夏至 晷影（寸）‎ ‎75.5‎ ‎16.0‎ A. 72.4寸 B. 81.4寸 C. 82.0寸 D. 91.6寸 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据列表得出每个节气所对应等差数列中的项数，根据等差数列的通项公式求解.‎ ‎【详解】设《易经》中所记录的晷影长为等差数列，公差为，‎ 由题可得：，即，解得，‎ 所以《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为寸.‎ 故选：C ‎【点睛】此题以中国优秀传统文化为背景，其本质是考查等差数列，进行基本量的计算，通过首项和公差计算具体项.‎ ‎6.已知函数，若（），则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可知由可得 根据基本不等式可求的取值范围.‎ ‎【详解】 若由，则 与矛盾；同理 也可导出矛盾，故 而 ‎ 即 ‎ 故选B ‎【点睛】本题考查分段函数的性质以及基本不等式的应用，属中档题.‎ ‎7.已知在直角三角形中，为直角，，，若是边上的高，点在内部或边界上运动，则的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图形几何特征分析向量数量积的最大值和最小值可能取得的条件，结合函数关系求值域.‎ ‎【详解】‎ 如图：在直角三角形中，为直角，，，所以，‎ 建立直角坐标系如图所示：，直线的方程为：，‎ 所以直线的方程：，所以，‎ 点在内部或边界上运动，与夹角大于等于90°‎ 由图可得：与夹角大于等于，‎ 点在线段上时，，且为最大值，‎ 点在线段上时，有最小值，设点，‎ ‎.‎ 综上所述：的取值范围是.‎ 故选：D ‎【点睛】此题考查求向量数量积的取值范围，关键在于根据题意找准点所在位置，结合几何特征以及函数求解，体现数形结合的思想.‎ ‎8.已知函数的一条对称轴为，，且函数在上具有单调性，则的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，将函数化简，根据对称轴求得a的值，再根据已知条件求得两点必须关于对称中心对称，求得的值，可得结果.‎ ‎【详解】由题，=，为辅助角， ‎ 因为对称轴为，所以 ‎ 即 解得 ‎ 所以 ‎ 又因为在上具有单调性，且，‎ 所以两点必须关于正弦函数的对称中心对称，‎ 即 ‎ 所以 ‎ 当时，取最小 故选A ‎【点睛】本题考查了三角函数综合知识，包含图像与性质，辅助角公式化简等，熟悉性质图像是解题的关键，属于中等较难题.‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9.在的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】‎ 试题分析：的展开式通项公式为，‎ 令 所以 考点：二项式定理与性质 ‎10.已知向量，，，且 ，则实数 __________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：先根据向量加法求，再根据向量数量积为零得方程，解得实数值.‎ 详解：，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ 点睛：(1)向量平行：，,‎ ‎(2)向量垂直：，‎ ‎(3)向量加减乘： ‎ ‎11.已知数列 的前 项和，则它的通项公式是_____;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据数列的前项和，求出，再根据当时，求出，并验证当是否也满足，即可求出数列的通项公式．‎ ‎【详解】数列的前项和 ‎，,‎ 又，‎ ‎，检验当时，，‎ ‎【点睛】本题考查数列前项和与通项公式之间的关系，易错点是，所以必须要检验是否满足通项，属于基础题，必须掌握 ‎12.函数的最小正周期是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎,.‎ ‎13.海水受日月的引力，在一定的时候发生的涨落现象叫潮，港口的水深会随潮的变化而变化，某港口水的深度（单位：米）是时刻，单位：小时）的函数，记作，下面是该港口某日水深的数据，经长期观察，曲线可以近似地看成函数的图象，根据以下数据，函数的近似表达式为______________.‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ ‎24‎ ‎8.0‎ ‎11.0‎ ‎7.9‎ ‎5.0‎ ‎8.0‎ ‎11.0‎ ‎8.0‎ ‎5.0‎ ‎8.0‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图表数据依次求出，振幅，通过周期求出，即可得解.‎ ‎【详解】根据图表，结合函数图象特征，‎ 可得，‎ 所以函数的近似表达式为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查三角函数模型的应用，关键在于熟练掌握函数图象性质，根据函数图象特征求解函数解析式.‎ ‎14.设集合是实数集的子集，若点满足:,都,使得,则称为集合的聚点.则在下列集合中:‎ ‎①; ②;‎ ‎③; ④整数集.‎ 以为聚点的集合有___________.（请写出所有满足条件的集合的编号）‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ ‎①中，集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在的时候，不存在满足得的，∴0不是集合的聚点；②集合，对任意的，都存在（实际上任意比小得数都可以），使得，∴0是集合的聚点；③集合中的元素是极限为0的数列，对于任意的，存在，使，∴0是集合的聚点；④对于某个，比如，此时对任意的，都有或者，也就是说不可能，从而0不是整数集的聚点，故答案为②③.‎ 三、解答题 ‎15.在中，角，，的对边分别为，，，，，.‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）求的面积.‎ ‎【答案】(Ⅰ)a=7 （II）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式求得.，利用正弦定理可求；；‎ ‎（II）在中，由知为钝角，所以.利用，可求求的面积.‎ ‎【详解】（I）因为，即，‎ 又，为钝角，所以.‎ 由，即，解得.‎ ‎（II）在中，由知为钝角，所以.‎ ‎，‎ 所以 所以 ‎【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．‎ ‎16.设（）是各项均为正数的等比数列，且，.‎ ‎（I）求的通项公式；‎ ‎（II）若，求.‎ ‎【答案】（I），.‎ ‎（II）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（I）设为首项为，公比为（），则依题意，‎ ‎，解得，，即可得到的通项公式；‎ ‎（II）因为，利用分组求和法即可得到.‎ ‎【详解】（I）设为首项为，公比为（），则依题意，‎ ‎，解得，，‎ 所以的通项公式为，.‎ ‎（II）因为，‎ 所以 ‎【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，以及分组求和法属基础题.‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（Ⅰ）由题意，根据三角函数的图象与性质，即可求解；‎ ‎（Ⅱ）由题意，得，利用三角函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）‎ ‎ ‎ 由，得，‎ 所以，函数的单调递增区间是；‎ ‎（Ⅱ），‎ 由，得，‎ 当，即时，有最大值；‎ 当，即时，有最大值；‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于忽视函数的定义域导致错解，试题难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）求在区间上的最小值；‎ ‎（3）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）函数在单调递减，在单调递增；（2）当时，函数的最小值为，当时，函数的最小值为 ‎，当时，函数的最小值为；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，根据，即可求解单调区间；‎ ‎（2）结合（1）分类讨论当时，当时，当时，分别求解最小值；‎ ‎（3）结合（2）的结论，分析两个零点满足的条件列不等式组求解.‎ ‎【详解】（1）， ‎ 由得，由得，‎ 函数在单调递减，在单调递增；‎ ‎（2）由（1）函数在单调递减，在单调递增，‎ 当时，，函数在单调递增，‎ 所以函数的最小值为，‎ 当时，，函数在单调递减，在单调递增，‎ 所以函数的最小值为，‎ 当时，，函数在单调递减，‎ 所以函数最小值为，‎ 综上所述：当时，函数的最小值为，当时，函数的最小值为，当时，函数的最小值为；‎ ‎（3）若区间上恰有两个零点，则在区间上不单调，‎ 所以必有，且，‎ 解得：‎ ‎【点睛】此题考查利用导函数讨论函数的单调性，求函数的最值，解决函数零点相关问题，涉及分类讨论，属于中档题.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）当时，判断在上的单调性，并说明理由；‎ ‎（3）当时，求证：都有 ‎【答案】（1）；（2）函数在上的单调递增；（3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，求出导函数，得出，即可得解；‎ ‎（2）求出导函数，根据三角函数的值域分析函数单调性；‎ ‎（3）结合（2）的结论即可求证.‎ ‎【详解】（1）当时，，，‎ ‎，‎ 所以曲线在处的切线方程：；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，，，仅当时，，‎ 所以当时，恒成立，仅当且时，，‎ 所以函数在上的单调递增；‎ ‎（3）由（2）可得：当时，函数在上的单调递增，‎ 所以都有 ‎【点睛】此题考查导数的几何意义，求曲线上某点处的切线方程，讨论函数的单调性，根据单调性证明不等式.‎ ‎20.若项数为的单调增数列满足：①；②对任意，存在使得；则称数列具有性质.‎ ‎（1）分别判断数列1，3，4，7和1，2，3，5是否具有性质，并说明理由；‎ ‎（2）若数列具有性质，且.‎ ‎（i）证明数列的项数；‎ ‎（ii）求数列中所有项的和的最小值.‎ ‎【答案】（1）数列1，3，4，7不具备性质P，数列1，2，3，5具有性质；（2）（i）证明见解析，（ii）75‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据定义验证即可得解；‎ ‎（2）（i）根据数列关系分析，结合，即可得到，即可得证；‎ ‎（ii）构造数列：1,2,4,5,9,18,36，或1,2,3,6,9,18,36，再证明75是最小值.‎ ‎【详解】（1）因为，数列1，3，4，7不具备性质P，‎ ‎，所以数列1，2，3，5具有性质；‎ ‎（2）（i）证明：数列单调递增，具有性质，且，，‎ 所以，即，所以，，‎ 所以，‎ 所以；‎ ‎（ii）构造数列：1,2,4,5,9,18,36，或1,2,3,6,9,18,36，显然这两个数列满足性质，‎ 且数列之和均为75，下面说明75为数列中所有项的和的最小值，‎ 若18在数列中，要求数列中的所有项的和最小，则，‎ 若18不在数列中，，由（i）可知，‎ 数列所有项之和，‎ 所以要使所有项之和最小，必有，‎ 同理可得要使数列中所有项的和最小，必有，，‎ 同理可得：或5，‎ 依次类推，要使数列中的所有项的和最小，该数列为1,2,4,5,9,18,36，或1,2,3,6,9,18,36，‎ 综上所述：数列中所有项的和的最小值为75.‎ ‎【点睛】此题考查数列新定义问题，关键在于读懂定义，根据数列性质，寻找等量关系和不等关系求解，在寻找最小值问题中，常用思路，分析最小值出现的情况，再证明这个值最小.‎