2019年高考数学总复习检测第33讲 平面向量的应用

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2019年高考数学总复习检测第33讲 平面向量的应用

第33讲 平面向量的应用 ‎1.一船从某河一岸驶向另一岸,船速为v1,水速为v2,已知船可垂直到达对岸,则(B)‎ A. |v1|<|v2| B. |v1|>|v2|‎ C. |v1|=|v2| D. |v1|与|v2|的大小不确定 ‎2.(2017·新课标卷Ⅱ)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则(A)‎ A.a⊥b B.|a|=|b|‎ C.a∥b D.|a|>|b|‎ ‎ (方法一)因为|a+b|=|a-b|,所以|a+b|2=|a-b|2.所以a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b,‎ 所以a·b=0,所以a⊥b.‎ ‎(方法二)利用向量加法的平行四边形法则.‎ 在▱ABCD中,设=a,=b,‎ 由|a+b|=|a-b|知||=||,‎ 从而四边形ABCD为矩形,即AB⊥AD,故a⊥b.‎ ‎3.已知O、N、P在△ABC所在平面内,且||=||=||,++=0,且·=·=·,则点O、N、P依次是△ABC的(C)‎ A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心 ‎ 由||=||=||知,O为△ABC的外心.‎ 由++=0知,N为△ABC的重心.‎ 由·=·⇒(-)·=0⇒⊥,‎ 同理,⊥,⊥,所以P为△ABC的垂心.‎ ‎4.已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z),且a⊥b.若x,y满足不等式|x|+|y|≤1,则z的取值范围为(D)‎ A.[-2,2] B. [-2,3] ‎ C. [-3,2] D. [-3,3]‎ ‎ 因为a⊥b,所以2(x+z)+3(y-z)=0,‎ 则z=2x+3y,x,y满足不等式+≤1,‎ 画出可行域如下:‎ 当z=2x+3y经过点A(0,1)时,z=2x+3y取得最大值3,当z=2x+3y经过点C(0,-1)时,z=2x+3y取得最小值-3.‎ ‎5.两人一起提重为|G|的书包时,两拉力的夹角为θ,每人用力均为|F|,则|F|与|G|的关系是 |F|= .‎ ‎ 按力的平行四边形法则有|F|=.‎ ‎6.在正三角形ABC中,D是BC边上的点,若AB=3,=2,则·=  .‎ ‎ 如图,在△ABD中,‎ ·=·(+)‎ ‎=2+· ‎=9+||·||·cos 120°‎ ‎=9-=.‎ ‎7.在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上,且=m+n(m,n∈R).‎ ‎(1)若m=n=,求||;‎ ‎(2)用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.‎ ‎ (1)因为m=n=,=(1,2),=(2,1),‎ 所以=(1,2)+(2,1)=(2,2).‎ 所以||==2.‎ ‎(2)因为=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n), ‎ 即两式相减得:m-n=y-x.‎ 令y-x=t,由图可知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.‎ ‎8.已知向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(cos θ,sin θ)(θ∈R),实数m,n满足c=ma+nb,则(m-3)2+n2的最大值为(D)‎ A.2 B.4 ‎ C.8 D.16‎ ‎ 因为c=ma+nb,‎ 所以(cos θ,sin θ)=m(1,1)+n(1,-1),‎ 所以 ‎①2+②2得m2+n2=1.‎ ‎①+②得m=cos θ+sin θ,即m=sin(θ+).‎ 所以-1≤m≤1.‎ 所以(m-3)2+n2=10-6m≤16,‎ 即(m-3)2+n2的最大值为16.‎ ‎9.已知A(a,0)、B(3,2+a),直线y=ax与线段AB的交点为M,且=2,则a= -4或2 .‎ ‎ 设M(x0,y0),由=2,得 ‎(x0-a,y0)=2(3-x0,2+a-y0),‎ 则又y0=ax0,‎ 所以解得a=-4或2.‎ ‎10.如图,平行四边形OACB中,BD=BC,OD与BA相交于E,求证:BE=BA.‎ ‎ 如图,设=a,=b,‎ 则=a,=b+a,‎ 设=ma+nb,‎ 因为O,E,D三点共线,所以=.①‎ =-=(m-1)a+nb,=b-a,‎ 又A,E,B三点共线,所以=,即m+n-1=0.②‎ 由①②解得m=,n=3m=,‎ 故=a+b.‎ 所以=-=a+b-b=a-b,‎ 又=a-b,‎ 所以=,即BE=BA.‎
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