2019年高考数学总复习检测第36讲 等差数列的概念及基本运算
第36讲 等差数列的概念及基本运算
1．(2016·福州市毕业班质量检查)已知数列{an}是等差数列，且a7－2a4＝6，a3＝2，则公差d＝ (B)
A．2 B．4
C．8 D．16
因为a7－2a4＝a7－(a1＋a7)＝－a1＝6，所以a1＝－6.
又a3＝2，所以公差d＝＝＝4.
2．已知正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n≥2)，则a6等于(D)
A．16 B．8
C．2 D．4
由2a＝a＋a可知数列{a}是等差数列，且首项为a＝1，公差d＝a－a＝4－1＝3.
所以{a}的通项a＝1＋3(n－1)＝3n－2，
所以an＝.所以a6＝＝4.
3．(2017·湖南长沙高三模拟一)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面3节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中的第2节、第3节和第8节竹子的容积之和为(A)
A.升 B.升
C.升 D.升
设自上至下各节的容积依次为a1，a2，…，an.
依题意有
故由①得a2＋a3＝，由②得a8＝.
故a2＋a3＋a8＝＋＝＋＝(升)．
4．(2015·北京卷)设{an}是等差数列．下列结论中正确的是(C)
A．若a1＋a2>0，则a2＋a3>0
B．若a1＋a3<0，则a1＋a2<0
C．若0
D．若a1<0，则(a2－a1)(a2－a3)>0
因为{an}是等差数列，所以2a2＝a1＋a3，
当a2>a1>0时，得公差d>0，所以a3>0，
所以a1＋a3>2，所以2a2>2，
即a2>.
5．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)设等差数列{an}的前n项和Sn满足S2016－S1＝1，则S2017＝ .
因为S2016－S1＝a2＋a3＋…＋a2016＝2015()＝2015a1009＝1，所以a1009＝，
从而S2017＝2017()＝2017a1009＝.
6．(2015·新课标卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝
－ .
由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1·Sn，
两边同除以Sn＋1·Sn，得－＝－1，
故数列是以－1为首项，－1为公差的等差数列，
所以＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.
7．(2013·新课标卷Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
(1)设{an}的公差为d，由题意得a＝a1a13，
即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，于是d(2a1＋25d)＝0，
又a1＝25，所以d＝0(舍去)或d＝－2.
故an＝－2n＋27.
(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2，
由(1)知a3n－2＝－6n＋31，
故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．
从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)
＝－3n2＋28n.
8．(2016·郑州市二模)设数列{an}满足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是(D)
A．4 B．4
C．4 D．4
由2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，
得nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan，
又因为1×a1＝1,2×a2－1×a1＝5，
所以数列{nan}为首项为1，公差为5的等差数列，
则20a20＝1＋19×5＝96，解得a20＝.
9．数列{an}是等差数列，且a1＋a2＋…＋a10＝10，a11＋a12＋…＋a20＝20，则a41＋a42＋…＋a50＝ 50 .
因为A1＝S10，A2＝S20－S10，A3＝S30－S20，…，数列{An}构成等差数列，其中A1＝S10＝10，公差d＝10，
所以a41＋a42＋…＋a50＝A5＝A1＋(5－1)×d
＝10＋4×10＝50.
10．已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．
(1)求证数列为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)(方法一：构造法)
因为a1＝5且an＝2an－1＋2n－1，
所以当n≥2时，an－1＝2(an－1－1)＋2n，
所以＝＋1，所以－＝1，
所以是以＝2为首项，以1为公差的等差数列．
(方法二：代入法)
因为a1＝5，n≥2时，
所以－＝－＝1，
所以是以＝2为首项，以1为公差的等差数列．
(2)由(1)知＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
所以an＝(n＋1)2n＋1.
