【数学】2020届一轮复习（文）人教A版综合检测二
综合检测二(标准卷)
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间120分钟，满分150分．
4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝2n，n∈A}，则A∩B等于( )
A．{1,4} B．{2,3} C．{2,4} D．{1,2}
答案 C
解析 把n＝1,2,3,4分别代入x＝2n，得x＝2,4,6,8，即B＝{2,4,6,8}，
∵A＝{1,2,3,4}，
∴A∩B＝{2,4}．
2．设i是虚数单位，若复数z＝，则等于( )
A.－i B．1＋i
C．1－i D.＋i
答案 A
解析 ∵复数z＝，∴z＝＝＝＋，
∴＝－.
3．设变量x，y满足约束条件，则z＝2x－y的最小值为( )
A．－3 B．－2 C．－1 D．2
答案 B
解析 绘制不等式组表示的可行域(阴影部分包含边界)，结合目标函数可得，目标函数在点A(－1,0) 处取得最小值z＝2x－y＝－2.
4.如图，在△OAB中， P为线段AB上的一点， ＝x＋y，且＝2，则( )
A．x＝，y＝ B．x＝，y＝
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝
答案 A
解析 由题可知＝＋，又＝2，所以＝＋B＝＋(－)＝O＋ ，所以x＝，y＝，故选A.
5．在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：
9．4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( )
A．9.4,0.484 B．9.4,0.016
C．9.5,0.040 D．9.5,0.016
答案 D
解析 根据平均值和方差的计算公式知，＝(9.4＋9.4＋9.6＋9.4＋9.7)＝9.5；s2＝[3×(9.4－9.5)2＋(9.6－9.5)2＋(9.7－9.5)2]＝0.016.故选D.
6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S值为( )
A．15 B．37 C．83 D．177
答案 B
解析 执行程序，可得
S＝0，i＝1，不符合，返回循环；
S＝2×0＋1＝1，i＝3，不符合，返回循环；
S＝2×1＋3＝5，i＝5，不符合，返回循环；
S＝2×5＋5＝15，i＝7，不符合，返回循环；
S＝2×15＋7＝37，i＝9，符合，输出S＝37.
故选B.
7．在公比为q的正项等比数列{an}中，a4＝1，则当2a2＋a6取得最小值时，log2q等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 A
解析 2a2＋a6≥2＝2＝2，当且仅当q4＝2时取等号，所以log2q＝＝，故选A.
8.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法．如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 设圆的半径为r，则圆的面积S圆＝πr2，正六边形的面积S正六边形＝6××r2×sin60°＝r2，所以向圆中随机投掷一个点，该点落在正六边形内的概率P＝＝＝，故选A.
9．已知某几何体的三视图如图所示，俯视图是由边长为2的正方形和半径为1的半圆组成，则该几何体的体积为( )
A．8＋ B．8＋ C．4＋ D．8＋
答案 D
解析 由三视图可知几何体为半圆锥与正方体的组合体，
V＝23＋××π×12×2＝8＋.
10．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且asin 2B＋bsin A＝0，若a＋c＝2，则边b的最小值为( )
A．4 B．3 C．2 D.
答案 D
解析 根据asin 2B＋bsin A＝0，由正弦定理可得sin Asin 2B＋sin Bsin A＝0⇒cos B＝－，
∵0
0，b>0)的左、右两支分别交于M，N两点，且MF1，NF2都垂直于x轴(其中F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点)，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C.－1 D.
答案 D
解析 ∵直线l与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，且MF1，NF2都垂直于x轴，
∴根据双曲线的对称性，
设点M(－c，－y)，N(c，y)(y>0)，
则－＝1，即|y|＝，且|MF1|＝|NF2|＝|y|，
又∵直线l的倾斜角为45°，
∴直线l过坐标原点，|y|＝c，
∴ ＝c，整理得c2－ac－a2＝0，
即e2－e－1＝0，解方程得e＝.
12．若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，4]
C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)
答案 B
解析 ∵2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，
∴a≤x＋2ln x＋对x∈(0，＋∞)恒成立，
令f(x)＝x＋2ln x＋，则f′(x)＝1＋－＝.
由f′(x)>0得x>1，即f(x)在(1，＋∞)上为增函数；由f′(x)<0得01＋，
∴两圆外离，
∴|PD|的最小值为3－1－＝2－1，
∴|＋|的最小值为4－2.
15.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(0)＝________.
答案 1
解析 由函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象知，A＝2，＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝2，
又f＝2sin＝2,
∴φ＝＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<，∴φ＝.
∴f(x)＝2sin，f(0)＝2sin＝1.
16．已知抛物线C：y2＝8x，点P(0,4)，点A在抛物线上，当点A到抛物线准线l的距离与点A到点P的距离之和最小时，F是抛物线的焦点，延长AF交抛物线于点B，则△AOB的面积为________．
答案 4
解析 根据抛物线性质知抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离，故当P，A，F三点共线时达到最小值，由P(0,4)，F(2,0)，可得lAB：2x＋y－4＝0，联立抛物线方程可得x2－6x＋4＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，故|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋4＝10，原点到直线lAB：2x＋y－4＝0的距离d＝＝，所以△AOB的面积为×10×＝4.
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)设Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．
解 (1)由a＋2an＝4Sn＋3，可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3，
可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即
2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)，由于an>0，可得an＋1－an＝2，又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)，a1＝3，所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.
(2)由an＝2n＋1可知bn＝＝＝，设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝.
18．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点，求证：
(1)PA∥平面EDB；
(2)AD⊥PC.
证明 (1)连接AC交BD于O，连接OE，
∵底面ABCD是正方形，∴O为AC中点，
∵在△PAC中，E是PC的中点，
∴OE∥PA，
∵OE⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
(2)∵侧棱PD⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，
∴PD⊥AD，
∵底面ABCD是正方形，
∴AD⊥CD，
又PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，
∴AD⊥平面PCD，
又PC⊂平面PCD，∴AD⊥PC.
19．(12分)十九大报告提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫工作．某帮扶单位帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售．为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分布在区间内(单位：克)，
统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：
(1)按分层抽样的方法从质量落在，的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽2个，求这2个蜜柚质量均小于2 000克的概率；
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5 000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：
A．所有蜜柚均以40元/千克收购；
B．低于2 250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2 250的以80元/个收购．
请你通过计算为该村选择收益最好的方案．
解 (1)由题得蜜柚质量在[1 750,2 000)和[2 000，2 250)的比例为2∶3，∴分别抽取2个和3个．
记抽取质量在[1 750,2 000)的蜜柚为A1，A2，质量在[2 000,2 250)的蜜柚为B1，B2，B3，
则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有以下10种：
A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3，
其中质量均小于2 000克的仅有A1A2这1种情况，故所求概率为.
(2)方案A好，理由如下：
由频率分布直方图可知，蜜柚质量在[1 500,1 750)的频率为250×0.000 4＝0.1，
同理，蜜柚质量在[1 750,2 000)，[2 000,2 250)，[2 250，2 500)，[2 500,2 750)，[2 750,3 000]的频率依次为0.1，0.15，0.4,0.2,0.05，
若按方案A收购：根据题意各段蜜柚个数依次为500,500,750,2 000,1 000,250，
于是总收益为
×40÷1 000＝×250×[(6＋7)×2＋(7＋8)×2 ＋(8＋9)×3＋(9＋10)×8＋(10＋11)×4 ＋(11＋12)×1]×40÷1 000
＝25×50(26＋30＋51＋152＋84＋23) ＝457 500(元)，
若按方案B收购：∵蜜柚质量低于2 250克的个数为(0.1＋0.1＋0.15)×5 000＝1 750，
蜜柚质量高于2 250克的个数为5 000－1 750＝3 250，
∴收益为1750×60＋3 250×80 ＝250×20×[7×3＋13×4]＝365 000元，
∴方案A的收益比方案B的收益高，应该选择方案A.
20．(12分)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，P(，1)为椭圆上一点．
(1)求E的方程；
(2)已知斜率为，不过点P的动直线l交椭圆E于A，B两点．证明：直线AP，BP的斜率和为定值．
(1)解 由题知解得a2＝6，b2＝2.即所求E的方程为＋＝1.
(2)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
设l的方程为y＝x＋m(m≠0)．
易知，斜率为且经过P关于x轴的对称点(，－1)时，直线与椭圆相切，
此时只有一个交点，不合题意，则x1≠且x2≠.
联立方程组得
2x2＋2mx＋3m2－6＝0，Δ＝48－12m2>0，即m∈(－2,0)∪(0,2)．
所以x1＋x2＝－m，x1·x2＝.
所以kPA＝，kPB＝.
即kPA＋kPB＝＋
＝，
因为x1x2＋(m－2)(x1＋x2)－2(m－1)＝0，
故kPA＋kPB＝0.
所以直线AP，BP的斜率和为定值．
21．(12分)已知函数f(x)＝(2－a)(x－1)－2ln x(a为常数)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)，x∈的图象与x轴无交点，求实数a的最小值．
解 (1)a＝1时，f(x)＝x－2ln x－1，f′(x)＝1－，
由f′(x)>0得x>2；f′(x)<0得00成立，
即x∈时，a>2－.
令l＝2－，x∈，
则l′(x)＝，
再令m(x)＝2ln x＋－2，x∈，
m′(x)＝<0，于是m在上为减函数，
故m(x)>m＝2－2ln 2>0，∴l′(x)>0在上恒成立，
∴l(x)在上为增函数，∴l(x)2－恒成立，只要a∈[2－4ln 2，＋∞)，
∴实数a的最小值为2－4ln 2.
请在第22～23题中任选一题作答．
22．(10分)直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝6cos θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(2,1)，求|PA|＋|PB|的最小值．
解 (1)由ρ＝6cos θ得ρ2＝6ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝6x，即(x－3)2＋y2＝9.
(2)将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2＋2(sin α－cos α)t－7＝0.
由Δ＝4(sin α－cos α)2＋4×7＞0，故可设t1，t2是上述方程的两根，
所以t1＋t2＝2(cos α－sin α)，t1t2＝－7，
又由直线过点(2,1)，故结合参数的几何意义得
|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝＝≥2，当sin 2α＝1时取等号．
所以|PA|＋|PB|的最小值为2.
23．(10分)设函数f(x)＝|2x－a|＋|x＋a|(a>0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；
(2)若关于x的不等式f(x)<＋a在x∈[1,2]上有解，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，
f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝＋＋|x＋1|≥0＋＝，
当且仅当x＝时，取等号．
(2)当x∈[1,2]时，f(x)<＋a⇒|2x－a|＋x＋a<＋a⇒|a－2x|<－x⇔3x－0，所以0
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