【数学】2019届一轮复习北师大版数列学案

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第六章 数 列 数列的通项公式 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．求数列的通项公式，要注意多观察、多试验，大胆猜想，小心论证．‎ ‎2．已知求的问题，要特别注意的情况．‎ ‎3．求数列的通项公式，常见的有六种类型 ‎ ‎（1）已知数列的前项，求其通项公式．常用方法 观察分析法、逐差法、待定系数法等，根据数列前几项，观察规律，归纳出数列通项公式是一项重要能力．‎ ‎（2）已知数列前项和，或前项和与的关系，求通项可利用．‎ ‎（3）已知递推式求通项，这类问题要求不高，主要掌握“先猜后证”“化归法”“累加法”等．‎ ‎（4）型，求问题，其关键是确定待定系数，使．‎ ‎（5）型，求问题，可用方法．‎ ‎（6）型，求问题，可用方法．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 由和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等．对于形如“”型的递推关系式求通项公式，只要 可求和，便可利用累加法；对于形如“”型的递推关系式求通项公式，只要可求积，便可利用累积或迭代法；对于形如“”型递推关系求通项公式，可用迭代或构造等比数列法．‎ ‎ ]‎ ‎2．典型例题 ‎ 例1．【2018湖北武昌1月调研】等比数列的前项和，若对任意正整数等式成立，则的值为（ ）‎ A．-3 B．1 C．-3或1 D．1或3‎ ‎【答案】C ‎【方法点睛】已知求的一般步骤 （1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式．‎ 例2．【2018河南平顶山高三上 期期末调研】定义数列如下 ，，当时，有；定义数列如下 ，，当时，有，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由，两边同除，可得，即，‎ 则数列构成首项为，公差为的等差数列，所以，所以 ‎ 同理可得，则数列构成首项为，公差为的等差数列，所以，‎ ‎ 可得，所以，故选D．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了数列的递推公式和等差数列的通项、累乘法求解数列的通项公式等知识点的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，在利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形，运算问题时，要注意采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018安徽合肥高三一模】已知数列的前项和为，若，则（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎2．【2018全国名校大联考高三第三次联考】设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）‎ A． B．9 C．18 D．36‎ ‎【答案】C ‎【解析】对任意的正数均有且，又且 ，又是定义在上的单调增函数， ①，当时，，，当时， ②，①-②可得，， 为等差数列，，，故选C．‎ 等差数列的性质 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．若、、、，且，为等差数列，则．‎ ‎2．在等差数列中，仍为等数列，公差为．‎ ‎3．若为等差数列，则仍为等数列，公差为．‎ ‎4．等差数列的增减性 时为递增数列，且当时前项和有最小值；时为递减数列，且当时前项和有最大值． ‎ ‎5．若等数列的前项之和可以写成，则，，当时它表示二次函数，数列的前项和是成等差数列的充要条件．‎ ‎6．设分别是等数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和，则有当数列项数为时，有；当数列项数为时，有，‎ ‎，，．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项数之间的关系．‎ ‎2．典型例题 ‎ 例1．【2018河南高三12月联考】已知数列满足，，，则数列前项的和等于（ ）‎ A．162 B．182 C．234 D．346‎ ‎【答案】B ‎【名师点睛】在等差数列项与和的综合运算中，要注意数列性质的灵活应用，如在等差数列中项的下标和的性质，即 若，则与前n项和公式 经常结合在一起运用，采用整体代换的思想，以简化解题过程．‎ 例2．【2018河北衡水武邑中 高三上 期第三次调研】已知数列与的前项和分别为，且，，，若恒成立，则的最小值是( )‎ A． B． C．49 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】已知，，两式子做差得到，故数列是等差数列，由等差数列的通项公式得到，故 ，故裂项求和得到，由条件恒成立，得到 的最小值为．‎ 故答案选B．‎ ‎【名师点睛】本题考查到了通项公式的求法， ‎ 从而得到数列是等差数列，再求出 ，根据裂项求和的方法可以求出前n项和．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018河南平顶山模拟】等差数列 中，，，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，所以．故选A．‎ ‎2．【2018衡水金卷】已知等差数列的前项和为，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由等差数列的性质可得 ，∴，则，故选C．‎ 等比数列的性质 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．通项公式的推广 ．‎ ‎2．对于任意正整数，只要满足，则有．‎ ‎3．若（项数相同），是等比数列，则仍是等比数列．‎ ‎4．三个数成等比数列且积一定，通常设这三个数为比较方便．‎ ‎5．为等比数列的前和，则满足，但不一定成等比数列．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1必备技能 等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握它们，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式的下标的大小关系，可以简化题目的运算．‎ ‎2典型例题 ‎ 例1．【2018河北石家庄二中高三上 期第三次模拟】正项等比数列 中，，则的前项和 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，选B．‎ ‎【名师点睛】1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．‎ ‎2．等比数列的性质可以分为三类 一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．‎ 例2．【2018广州高三上 期第一次调研】在各项都为正数的等比数列中，若，则的最小值为______．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】因为等比数列各项都为正数，所以，，故答案为．‎ ‎【名师点睛】本题考查了等比数列的相关性质和基本不等式求最值的问题，涉及等比数列求和公式的使用时，要注意讨论 和 两种情况，基本不等式求最值，常见的是类型包括已知和为定值，求乘积的最大值，，或是已知乘积为定值，求和的最小值，，已知和为定值，求和的最小值，比如 定值，求，可通过构造1 求最值，在变形的过程中经常会使用构造的方法．．[ ]‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018湖北八校高三上 期第一次联考（12月）】已知等比数列的前项和为 ‎，已知，则（ ）‎ A．－510 B．400 C．400或－510 D．30或40‎ ‎【答案】B ‎2．【2018安徽蒙城一中、淮南一中等“五校”高三上 期联考】已知正项等比数列（）满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵正项等比数列{an}满足 ，又q＞0，解得，∵存在两项am，an使得，∴，即，‎ ‎∴，当且仅当=取等号，但此时m，n∉N ．又，所以只有当，取得最小值是．故选C．‎ 数列求和 ‎【背一背重点知识】‎ 非等差、等比数列求和的常用方法 ‎ ‎1．倒序相加法 如果一个数列，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前前项和即是用此类法推导的．‎ ‎2．分组转化求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．‎ ‎3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法 求，如等比数列的前项和就是用此法推导的．‎ ‎4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1必备技能 数列求和的方法 （1）一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和；（2）解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路 ①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减 完成．②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等 求和． ‎ ‎2典型例题 ‎ 例1．【2018吉林长春十一中、东北师范大 附中、吉林一中，重庆一中等五校2018届高三1月联合模拟】已知数列的前项和，则数列的前6项和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】数列的前项和，，两式作差得到，‎ ‎，裂项求和得到，故选A．‎ ‎【名师点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用．本题使用裂项法求和．‎ 裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列．裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或．裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧 (1) ；（2） ；（3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．‎ 例2．【2018河南平顶山期末调研】已知数列 的前 项和为，，且；数列 是等比数列，且，．‎ ‎（1）求， 的通项公式；‎ ‎（2）数列 满足， 的前 项和为，求．‎ ‎【答案】(1) ，，， ．(2) ‎ ‎【解析】试题分析 （1）由，得，以上两式相减，利用数列的累乘法，求解求解数列的通项公式，进而求解的通项公式；‎ ‎（2）由（1）可得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前项和．‎ 试题解析 （1）∵，∴ ．‎ 以上两式相减得 ，即 ．所以，，所以，，即，，∴，，因此，，．‎ ‎（2）∵，∴，‎ ‎∴，‎ 以上两式相减得 ，所以 ．‎ ‎【名师点睛】数列求和只要方法有 （1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列；（2）裂项相消法求和，，，等的形式；（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列；（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和；（5）或是具有某些规律求和． ‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018河南豫南九校高三下 期第一次联考】设正项等比数列，，且的等差中项为．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，数列的前项和为，数列满足，为数列的前项和，求．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎（2）由（1）得，，[ | | ]‎ ‎∴，∴‎ ‎2．【2018江苏南京师范大 附中、天一、海门、淮阴四校2018届高三联考数 调研测试试题】设数列的首项为，前项和为，若对任意的，均有（是常数且）成立，则称数列为“数列”.‎ ‎（1）若数列为“数列”，求数列的通项公式；‎ ‎（2）是否存在数列既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若数列为“数列”， ，设，证明 .‎ ‎【答案】（1）；（2）不存在；（3）证明见解析．‎ ‎【解析】试题分析 ‎ 试题解析 （1）因为数列为“数列”，则，故，两式相减得 ，‎ 又时，，所以，故对任意的恒成立，即（常数），‎ 故数列为等比数列，其通项公式为．‎ ‎（2）假设存在这样的数列，则有，故有 两式相减得 ，故有，同理由是“数列”可得，所以对任意恒成立．所以，‎ 即，又，即，‎ 两者矛盾，故不存在这样的数列既是“数列”，也是“数列”．‎ ‎（3）因为数列为“数列”，所以，所以，故有，，‎ 又时，，故，满足，所以对任意正整数恒成立，数列的前几项为 ．故 ‎，‎ 所以，两式相减得 ‎ ，显然，‎ 故，即．‎ ‎（一）选择题（12 5=60分）‎ ‎1．【2018山西临汾一中、忻州一中、长治二中、康杰中 联考】现有这么一列数 ，，，，（ ），，，…，按照规律，（ ）中的数应为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分母为，分子为连续的质数，所以（ ）中的数应为，选B．‎ ‎2．【2018四川成都七中高三上 期模拟】已知等差数列的前项和为，，若，则（ ） ！ ‎ A．10 B．11 C．12 D．13‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ，所以，选B．‎ ‎3．【2018辽宁沈阳东北育才 校高三第九次模拟】已知数列满足是首项为1，公比为的等比数列，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵数列满足是首项为1，公比为的等比数列，∴=2n−1，‎ ‎∴an=a1×××…×=1×21×22×…×2n−1=，∴a101=25050．故选 C．‎ ‎4．【2018河北衡水金卷】数列满足，（），则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎5．【2018湖南株洲高三一模】已知数列的前项和为，，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以，两式相减有，所以，则数列 以首项为1，公比为3的等比数列，所以，选D．‎ ‎6．【2018河南商丘一模】在等差数列中，前项和为，若，则（ ）‎ A．100 B．110 C．120 D．220‎ ‎【答案】B ‎【解析】设等差数列的公差为，由题意易得 ，∴，即，‎ ‎，故选B．‎ ‎7．【2018湖北稳派教育高三上 期第二次联考】在各项均为正数的等比数列中，若，则公比=‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由等比数列的性质可得 ，且 ，‎ 据此可知等比数列的公比 ．故选A．‎ ‎8．【2018吉林长春十一中、东北师范大 附中、吉林一中，重庆一中等五校高三1月联合模拟】我国南北朝时的数 著作《张邱建算经》有一道题为 “今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ）‎ A．多1斤 B．少1斤 C．多斤 D．少斤 ‎【答案】C ‎【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列 则 由等差数列的性质得，故选C ‎9．【2018全国名校大联考高三第三次联考】已知是等差数列，，记数列的第项到第项的和为，则取得最小值时的的值为（ ）‎ A．6 B．8 C．6或7 D．7或8‎ ‎【答案】C[ _ _ ]‎ ‎10．【2018浙江部分市 校（新昌中 、台州中 等）上 期高三联考】已知等差数列、的前项和分别为、，若，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设等差数列、的公差分别为和．‎ ‎∵，∴，即，∴，即①‎ ‎∴，即②‎ 由①②解得，，∴，故选A．‎ ‎11．【2018湖北武汉高三12月调研】已知数列满足，，若，则数列的通项（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，，‎ 则，数列是首项为2，公比为2的等比数列，，利用叠加法，‎ ‎，，则．故选B．‎ ‎12．【2018山西晋中高三1月高考适应性调研】艾萨克·牛顿（1643年1月4日——1727年3月31日）英国皇家 会会长，英国著名物理 家，同时在数 上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列 满足，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数（）有两个零点，，数列为牛顿数列，设，已知，，的前项和为，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数有两个零点1，2，，，则由题意，，，且，，数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，则，．故选C．‎ ‎（二）填空题（4 5=20分）‎ ‎13．【2018广东化州高三上 期第二次模拟】已知为数列的前项和，且，则数列的通项公式为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由，得，当时，；当时，，所以数列的通项公式为．‎ ‎14．【2018陕西榆林二中高三上 期第七次模拟考试】在数列、中，是与的等差中项，，且对任意的都有，则的通项公式为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎15．【2018皖江名校高三12月份大联考】已知数列，是其前项的和且满足，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，，∴，当时，①，②‎ ‎∴①-②得 ，即∴，，又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，得 ‎，∴，∴代入得 ．答案为 ．‎ ‎16．【2018四川广元高三第一次高考适应性统考】若正项递增等比数列满足，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题设正项递增等比数列的公比为 则，根据已知则由，即 故，设，则构造函数求导得，可知函数在 上单调递减，在 上单调递增，故当 取得最小值，即，即答案为．‎