- 2021-06-10 发布 |
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文档介绍
2019届二轮复习(理)第九章平面解析几何第56讲课件(25张)(全国通用)
第 56 讲 圆的综合问题 考试要求 1. 圆的方程 (C 级要求 ) ; 2. 高考中可能考查隐性圆问题,以及直线与圆的位置关系 . 诊 断 自 测 2. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C : ( x - a ) 2 + ( y - a + 2) 2 = 1 ,点 A (0 , 2). 若圆 C 上存在点 M ,满足 MA 2 + MO 2 = 10 ,则实数 a 的取值范围是 ________. 答案 [0 , 3] 4.( 2017· 南京二模 ) 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 M : ( x - a ) 2 + ( y + a - 3) 2 = 1( a > 0) ,点 N 为圆 M 上任意一点 . 若以 N 为圆心, ON 为半径的圆与圆 M 至多有一个公共点,则 a 的最小值为 ________. 答案 3 答案 4 1. 定点定值问题 方法一:先特殊后一般,要加以证明 . 方法二:直接研究一般性,转化成恒成立问题 . 知 识 梳 理 2. 最值、取值范围问题 (1) 利用几何意义求解; (2) 转化成代数关系求解 . 3. 隐性圆问题 考点一 取值范围、最值问题 【例 1 】 已知圆 M : ( x - 1) 2 + ( y - 1) 2 = 4 ,直线 l : x + y - 6 = 0 , A 为直线 l 上一点 . (1) 若 AM ⊥ l ,过 A 作圆 M 的两条切线,切点分别为 P , Q ,求 ∠ PAQ 的大小; (2) 若圆 M 上存在两点 B , C ,使得 ∠ BAC = 60° ,求点 A 横坐标的取值范围 . 解 (1) 圆 M 的圆心 M (1 , 1) ,半径 r = 2 ,直线 l 的斜率为- 1 ,而 AM ⊥ l , ∴ k AM = 1. ∴ 直线 AM 的方程为 y = x . 如图,连接 MP , ∴∠ PAM = 45° , ∴ ∠ PAQ = 90°. (2) 过 A ( a , b ) 作 AD , AE 分别与圆 M 相切于 D , E 两点, ∵∠ DAE ≥ ∠ BAC , ∴ 要使圆 M 上存在两点 B , C ,使得 ∠ BAC = 60° ,只要作 ∠ DAE ≥ 60°. ∵ AM 平分 ∠ DAE , ∴ 只要 30° ≤ ∠ DAM <90°. 又 a + b - 6 = 0 ,解得 1 ≤ a ≤ 5 , 即点 A 横坐标的取值范围是 [1 , 5]. 【训练 1 】 已知圆 O : x 2 + y 2 = 4 和点 M (1 , a ). 解 (1) 由条件知点 M 在圆 O 上, (2) 设 O 到直线 AC , BD 的距离分别为 d 1 , d 2 ( d 1 , d 2 ≥ 0) , 考点二 定点定值问题 【例 2 】 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 1 : ( x + 3) 2 + ( y - 1) 2 = 4 和圆 C 2 : ( x - 4) 2 + ( y - 5) 2 = 4. 解 (1) 由题意知,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y = k ( x - 4) ,即 kx - y - 4 k = 0 , (1) 求证: △ AOB 的面积为定值; (2) 设直线 2 x + y - 4 = 0 与圆 C 交于点 M , N . 若 OM = ON ,求圆 C 的方程 . 考点三 隐性圆问题 【例 3 】 已知点 A ( - 3 , 0) , B (3 , 0) ,动点 P 满足 PA = 2 PB . (1) 若点 P 的轨迹为曲线 C ,求此曲线的方程; (2) 若点 Q 在直线 l 1 : x + y + 3 = 0 上,直线 l 2 经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公共点 M ,求 QM 的最小值,并求此时直线 l 2 的方程 . 解 (1) 设点 P 的坐标为 ( x , y ) , 化简可得 ( x - 5) 2 + y 2 = 16 即为所求 . 易证四边形 M 1 CM 2 Q 是正方形,所以 l 2 的方程是 x = 1 或 y =- 4. 【训练 3 】 (2016· 江苏卷 ) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知以 M 为圆心的圆 M : x 2 + y 2 - 12 x - 14 y + 60 = 0 及其上一点 A (2 , 4). 解 (1) M : ( x - 6) 2 + ( y - 7) 2 = 25 ,圆心 M (6 , 7) , 因为圆 N 的圆心 N 在直线 x = 6 上,设 N (6 , y 0 ) ,又圆 N 与 x 轴相切,与圆 M 外切, 所以 2 y 0 = 7 - 5 , y 0 = 1 ,所以圆 N 的标准方程为 ( x - 6) 2 + ( y - 1) 2 = 1. 故直线 l 的方程为 2 x - y + 5 = 0 或 2 x - y - 15 = 0.查看更多