高考数学人教A版（理）一轮复习：小题专项集训(十三) 立体几何(二)

高考数学人教A版（理）一轮复习：小题专项集训(十三) 立体几何(二)

小题专项集训(十三)　立体几何（二）‎ ‎(时间：40分钟　满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共50分)[来源:学科网][来源:Z。xx。k.Com]‎ ‎1．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，＝x＋＋，则x的值为 (　　)．‎ A. B. C. D．0‎ 解析　由四点共面的充要条件，知x＋＋＝1，因此x＝.‎ 答案　A ‎2. (2011·辽宁)如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是(　　)．‎ A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 解析　易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，A正确；AB∥DC，DC⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，B正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同．‎ 答案　D ‎3．点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s＝(1，－1,1)的直线l的距离为，则点M的坐标是 (　　)．‎ A．(0,0，±2) B．(0,0，±3)‎ C．(0,0，±) D．(0,0，±1)‎ 解析　设M为(0,0，z)，直线l的一个单位方向向量为s0＝ ‎，故点M到直线l的距离d＝＝ ＝，解得z＝±3.‎ 答案　B ‎4．在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为(　　)．‎ A．－ B．－ C. D. 解析　如图建立直角坐标系D－xyz，设DA＝1，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E.则＝(－1,1,0)，＝，若异面直线DE与AC所成的角为θ，cos θ＝|cos〈，〉|＝.‎ 答案　D ‎5．(2011·全国)已知二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于 (　　)．‎ A. B. C. D．1‎ 解析　∵＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2，‎ ‎∴||2＝2.在Rt△BDC中，BC＝.‎ ‎∵面ABC⊥面BCD，过D作DH⊥BC于H，则DH⊥面ABC，‎ ‎∴DH的长即为D到平面ABC的距离，‎ ‎∴DH＝＝＝.故选C.‎ 答案　C ‎6．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB ‎＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为 (　　)．‎ A. 　　　 B. C. 　　　 D. 解析　以A为坐标原点，AB、AC、AA1所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝AB＝AC＝2，则＝(0,2,1)，Q(1,1,0)，P(1,0,2)，＝(0，－1,2)，所以·＝0，所以QP与AM所成角为.‎ 答案　D ‎7．如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为 (　　)．‎ 解析　以D为原点，DA、DC所在直线分别为x、y轴建系如图：‎ 设M(x，y,0)，设正方形边长为a，则 P，C(0，a,0)，‎ 则|MC|＝，‎ ‎|MP|＝ .‎ 由|MP|＝|MC|得x＝2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线y＝x的一部分．‎ 答案　A ‎8．如图所示，在四面体P－ABC中，PC⊥面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B－AP－C的余弦值为 (　　)．‎ A. B. C．－ D. 解析　如图所示，作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E.设AB＝1，则易得CE＝，EP＝，PA＝PB＝，可以求得BD＝，ED＝.因为＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·，‎ 所以·＝－，所以cos〈，〉＝－.故选C.‎ 答案　C ‎9．(2013·南通一模)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则 (　　)．‎ A．EF至多与A1D、AC之一垂直 B．EF与A1D、AC都垂直 C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 解析　设AB＝1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)，＝，＝(－1，－1,1)，＝－，·＝·＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC，故选B.‎ 答案　B ‎10．P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在α，β平面上引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为 ‎(　　)．‎ A．60° B．70° C．80° D．90°‎ 解析　不妨设PM＝a，PN＝b，如图所示，作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F，因为∠BPM＝∠BPN＝45°，所以PE＝a，PF＝b，所以·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝abcos 60°－a×bcos 45°－abcos 45°＋a×b＝－－＋＝0，所以⊥，所以二面角α－AB－β的大小为90°.‎ 答案　D 二、填空题(每小题5分，共25分)‎ ‎11．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.‎ 解析　∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，‎ ‎∴(c－a)·(2b)＝(0,0,1－x)·(2,4,2)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.‎ 答案　2‎ ‎12．(2013·徐州模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．‎ 解析　如图建立直角坐标系D－xyz，设DA＝1，由已知条件A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，C(0,1,0)，＝，＝(－1,0,0)设异面直线AE与BC所成角为θ.‎ cos θ＝|cos〈，〉|＝＝.‎ 答案　 ‎13．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2.则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为________．[来源:学科网]‎ 解析　如图，以点A为原点，AB，AC，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz.AB＝AC＝1，PA＝2，得A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(0,1，0)，P(0,0,2)，D，E，F.‎ ‎∴＝(0,0,2)，＝，＝.[来源:Zxxk.Com]‎ 设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)．则 即解得 取z＝1，则平面DEF的一个法向量为n＝(2,0,1)．‎ 设PA与平面DEF所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝‎ ＝，故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.‎ 答案　 ‎14．已知：如图，△ABC是以∠B为直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M、N、D分别是SC、AB、BC的中点，则A到平面SND的距离为________．‎ 解析　建立如图的空间直角坐标系，则N(0,2,0)，S(0,0,2)，D(－1,4，0)，∴＝(0，－2,2)，＝(－1,4，－2)．设平面SND的法向量为n＝(x，y,1)，∵n·＝0，n·＝0，‎ ‎∴，∴，∴n＝(2,1,1)．∵＝(0,0,2)．‎ ‎∴A到平面SND的距离为＝＝.‎ 答案　 ‎15．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，则二面角B1－A1C－C1的大小是________．‎ 解析　如图所示，以B为原点O，OA，OC，OB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(0,0,2)，C1(0,2,2)，‎ 设AC的中点为M，M的坐标为(1,1,0)，连接BM ‎，由题意，知BM⊥AC，BM⊥CC1，又AC∩CC1＝C，所以BM⊥平面A1C1CA，即＝(1,1,0)是平面A1C1CA的一个法向量．设平面A1B1C的一个法向量为n＝(x，y，z)，由题意，得＝(－2,2，－2)，＝(－2,0,0)，所以令z＝1，得x＝0，y＝1，所以n＝(0,1,1)．设法向量n与的夹角为φ，二面角B1－A1C－C1的大小为θ，显然θ为锐角，所以cos θ＝|cos φ|＝＝，解得θ＝.‎ 答案