数学理卷·2018届福建省莆田第八中学高三上学期第四次月考（2018

数学理卷·2018届福建省莆田第八中学高三上学期第四次月考（2018

莆田第八中学2018届高三第4 次月考 数学试题（理科）‎ ‎ ‎ 第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）‎ 一．选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．已知全集，集合，集合，那么（ ）‎ A. B. C. D．‎ ‎2．若复数，其中为虚数单位，则复数的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．若等差数列的公差为，且是与的等比中项，则该数列的前项和取最小值时，的值等于（ ）‎ ‎ A．7 B．6 C．5 D．4 ‎ ‎4.已知上的奇函数满足：当时，，则（ ）‎ A. B． C. D. ‎ ‎5.下列命题正确的个数为（ ）‎ ①“都有”的否定是“使得”；‎ ‚②“”是“”成立的充分条件；‎ ƒ③命题“若，则方程有实数根”的否命题为真命题 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.函数的图象大致是（ ）‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积等于 （ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.对锐角α若，则( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎10．如图所示，在梯形ABCD中，∠B＝，，BC＝2，点E为AB的中点，若向量在向量上的投影为，则=（ ）‎ A． ‎ B．－2 ‎ B． C．0 D．‎ ‎11. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点.若双曲线的离心率为2，的面积为，则（ ） ‎ ‎ A. 2 B． 1 C． D．3‎ ‎12.已知函数若关于的方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）‎ 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）‎ ‎13．= ‎ ‎14．将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则的值是_______‎ ‎15. 已知满足的最大值为，若正数满足，则的最小值为 .‎ ‎16．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD的外接球的表面积为 ．‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，‎ ‎（Ⅰ）求数列和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令,设数列的前项和为,求.‎ ‎18. （本小题满分分）‎ 已知向量，，设函数，若函数的图象关于直线对称且．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，求的最大值．‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，平面平面，底面为等腰梯形，，，，为正三角形.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）设的中点为，求平面与平面所成二面角的平 ‎ 面角的余弦值．‎ ‎20．(本小题满分12分)已知椭圆：的离心率为，、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任意一点，且的周长为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作直线与椭圆交于、两点，点满足（为原点），求四边形面积的最大值，并求此时直线的方程．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数在区间上的最大值和最小值；‎ ‎（2）若在区间内，函数的图象恒在直线下方，求实数的取值范围．‎ 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）‎ 已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（1）判断直线与曲线的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若直线和曲线相交于两点，且，求直线的斜率．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）‎ 已知，使不等式成立．‎ ‎（1）求满足条件的实数的集合；‎ ‎（2）若，对，不等式恒成立，求的最小值．‎ 高三理科月考（20180104）理科数学参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A B B B D C D C B A B 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．‎ ‎13.-1 ; 14. ?; 15. ; 16. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. 解析：(1)设数列的公差为,数列的公比为,则 由得解得 所以，． …………………5分 ‎ (2)由(1)可知 ‎ ………………①‎ ‎ ………………②‎ ‎①-②得:‎ ‎ …………………10分 ‎18．解：（1）‎ ‎ 　 …………………2分 ‎ 函数的图象关于直线对称，则 ‎ 则，且，则 …………………4分 ‎ ∴，令，解得 ‎∴函数的单调递减区间为　 …………………6分 ‎（2），且A是△ABC内角，‎ ‎∴，则，所以，则，‎ ‎ 　∵，由余弦定理 ‎ 　则，而，所以 ‎，当且仅当时，‎ 所以的最大值为．…………………12分 ‎19. 解：（1）在等腰梯形中，过点作于点，‎ 如图所示：有 ‎∴在中，有，即 又因为平面平面且交线为，∴平面.---5分 ‎（2） 由平面平面，且为正三角形,为的中点，‎ ‎∴，得平面．‎ 如图所示，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点平行于所在直线为轴，建立空间直角坐标系.‎ 由条件，则，，．‎ 则，，，．------- 6分 在等腰梯形中，过点作的平行线交延长线于点如图所示：‎ 则在中，有，，∴．------- 7分 ‎（另解:可不做辅助线，利用求点坐标）‎ ‎∴，，设平面的法向量 则 ，取，则，，‎ ‎∴面的法向量．------- 9分 同理有，，设平面的法向量 则 ，‎ 取，则，，∴面的法向量．--10分 设平面与平面所成二面角的平面角为，‎ ‎∴．‎ 即平面与平面所成二面角的余弦值为．------- 12分 ‎（2）∵，∴四边形为平行四边形，‎ 显然直线的斜率存在，设的方程为，‎ 把代入得，‎ 由得，‎ ‎∴，，‎ ‎∵………………………7分 ‎∴‎ ‎=，‎ 令，∴，‎ ‎∴…………………10分 当且仅当，即时取等号，‎ ‎∴，此时的方程为。 12分 ‎21. （1）， ．（2）‎ ‎【解析】试题分析: （1）求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在给定区间上为增函数,所以为最小值, 为最大值;（2）令,则的定义域为,即在内恒成立,对函数求导,按照极值点是否落在区间内分类讨论函数的单调性,得出函数的极值,利用的最大值小于零得出参数范围.‎ 试题解析:（1）当时， ， ，‎ 对于，有，∴在区间上为增函数，‎ ‎∴， ．‎ ‎（2）令，则的定义域为．‎ 在区间上，函数的图象恒在直线下方等价于在区间上恒成立．‎ ‎∵，‎ ‎①若，令，得极值点， ．‎ 当，即时，在上有．‎ 此时， 在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；‎ 当，即时，同理可知， 在区间上，有，也不合题意；‎ ‎②若，则有，此时在区间上恒有．‎ 从而在区间上是减函数．‎ 要使在此区间上恒成立，只需满足．‎ 由此求得的范围是．‎ 综合①②可知，当时，函数的图象恒在直线下方．‎ ‎22．（1）直线与曲线相交；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由 ‎,又直线过点,且该点到圆心的距离为直线 与曲线相交；（2）先当验证直线的斜率不存在时,直线过不成立直线 必有斜率, 设其方程为 ‎ 圆心到直线的距离 ‎ 的斜率为．‎ 试题解析：（1）因为,所以,所以曲线的直角坐标方程为 ‎,即,因为直线过点,且该点到圆心的距离为，所以直线与曲线相交．‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时,直线过圆心,则直线必有斜率, 设其方程为 ‎,即,圆心到直线的距离,‎ 解得,所以直线的斜率为．‎ 考点：坐标系与参数方程．‎ ‎【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线C的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．‎ ‎23．（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）令，利用零点分段法去绝对值，求得函数，故；（2）利用基本不等式和（1）的结论，有，即，同理根据基本不等式有， 时取等号.‎ 试题解析：‎ ‎（1）令，则，‎ 由于使不等式成立，有．．．．．．．．．．．5分 ‎（2）由（1）知， ，‎ 从而，当且仅当时取等号，‎ 再根据基本不等式当且仅当时取等号，‎ 所以的最小值6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：不等式选讲.‎