2018-2019学年海南省儋州一中高二上学期第一次月考数学试题 解析版

2018-2019学年海南省儋州一中高二上学期第一次月考数学试题 解析版

绝密★启用前 儋州一中2018-2019学年高二上学期第一次月考数学试卷 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．全称命题“，”的否定是 (　　)‎ A．， B．，‎ C．， D．以上都不正确 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题否定形式为: 改为,并否定结论.‎ ‎【详解】‎ 改为,并否定结论,故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本道题目考查了命题的否定, 改为,并否定结论.‎ ‎2．若aR，则a=2是（a-1）（a-2）=0的 A.充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C.充要条件 C.既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由a=2可得（a-1）（a-2）=0成立，反之不一定成立，故选A.‎ ‎3．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为与y轴相切，所以可知圆的半径，根据圆心坐标，可得圆的标准方程。‎ ‎【详解】‎ 圆心为(2，－3)并且与y轴相切 所以半径 ‎ 所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4‎ 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了根据圆心坐标和半径写出圆的方程，属于基础题。‎ ‎4．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得椭圆的焦点在y轴上且a=13，b=10，利用c2=a2﹣b2即可得到c．‎ 解：由题意可得椭圆的焦点在y轴上且a=13，b=10，∴=．‎ ‎∴焦点为．‎ 故选D．‎ 点评：熟练掌握椭圆的性质是解题的关键．‎ ‎5．已知圆C：，则过点P(1,2)的最短弦所在直线l的方程是(　　)‎ A． B． C． D．.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可知，当直线l与直线垂直时，所截得弦长最短，再由点斜式确定直线l的方程.‎ ‎【详解】‎ 由题可知，当直线l与直线垂直时，所截得弦长最短，‎ ‎ P(1,2)，圆C：x2＋y2－4x－5＝0，标准方程为，‎ ‎ ，；‎ ‎ ；‎ 由点斜式得直线l方程为：，即.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求解直线方程的点斜式法，考查直线与圆的位置关系和圆的弦长变化规律，以及互相垂直的两直线斜率关系，考查用几何法解决直线与圆的综合问题的能力.‎ ‎6．若双曲线的渐近线的方程为，则双曲线焦点F到渐近线的距离为(　　)‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本道题结合渐近线方程,计算出双曲线方程,利用点到直线距离公式 ‎ ,即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 渐近线方程为,解得,故,‎ ‎ 其中一条渐近线方程为,而点 ‎ 利用点到直线距离公式,解得,故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本道题目考查了双曲线的性质和点到直线距离公式,解决此类题目先得出双曲线方程,再计算距离.‎ ‎7．直线与圆交于E，F两点，则△EOF(O是原点)的面积为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：由题意分别求得三角形的底面和高，然后计算面积即可.‎ 详解：由题意可知EF边上的高为圆心到直线的距离：，‎ 直线被圆截得的弦长为：，‎ 则的面积为.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：圆的弦长的常用求法：‎ ‎(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；‎ ‎(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.‎ ‎8．已知椭圆的离心率，则m的值为(　　)‎ A．3 B．3或 C． D．或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当m＞5时，a2=m，b2=5，c2=m﹣5，e2=⇒m 当0＜m＜5时，a2=5，b2=m，c2=5﹣m，e2=⇒m ‎【详解】‎ 当m＞5时，a2=m，b2=5，c2=m﹣5，e2=⇒m=；‎ 当0＜m＜5时，a2=5，b2=m，c2=5﹣m，e2=⇒m=3；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的离心率，属于基础题．‎ ‎9．已知点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是M，定点A坐标为，则的最小值是(　　)‎ A． B．4 C． D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本道题目通过绘图发现,要求最小值,转化为两点间距离最短,即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ 如图,故,故最短距离为,‎ ‎ ,所以,所以 ‎ ,故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本道题目考查了抛物线的性质,可以利用点P到准线距离,转化为两点间距离最短问题.‎ ‎10．已知为椭圆的左焦点，A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，且，PO∥AB(O为椭圆中心)，则椭圆的离心率为 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设出椭圆方程,利用,建立等式,结合椭圆的性质,即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ 设椭圆方程为 ‎ 则点P的坐标为 ‎ 利用,建立等式,,解得 ‎ 结合得到,,所以 ‎【点睛】‎ 本道题目考查了椭圆的性质,利用,建立等式,结合,即可得出答案.‎ ‎11．椭圆与双曲线有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为(　　)‎ A．48 B．24 C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本道题目考查了椭圆的性质和双曲线的性质,分别计算出三点坐标,然后结合三角形面积计算公式,即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ 结合椭圆性质,可以得到 ‎ 建立方程,得到点P的坐标为,‎ ‎ 故,故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆锥曲线的性质,结合性质,分别计算出三点坐标,即可得出答案.‎ ‎12．从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设直线上的点为，已知圆的圆心和半径分别为，则切线长为，故当时，，应选答案B。‎ 点睛：本题求解时先设直线上动点，运用勾股定理建立圆的切线长的函数关系，再运用二次函数的图像与性质求出其最小值，从而使得问题获解。本题的求解过程综合运用了函数思想与等价转化与化归的数学思想。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知，，若q是p的充分条件，则a的取值范围为________．‎ ‎【答案】[－1，6]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合充分条件的意义，建立不等式，计算a的范围。‎ ‎【详解】‎ ‎,因为q是p充分条件 ‎ 建立不等关系，解得 ‎ 故a的范围为 ‎【点睛】‎ 本道题目考查了充分必要条件的性质，结合意义，建立不等式。‎ ‎14．过抛物线的焦点作直线交抛物线于点，，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先大致绘出图像，结合抛物线上点到焦点距离等于该点到准线距离，计算MN。‎ ‎【详解】‎ ‎ 结合抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，故 ‎ ‎ ‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本道题考查了抛物线的性质，可以将AB的长转化成点到准线距离，然后结合梯形中位线定理，即可。‎ ‎15．已知双曲线的两个焦点，，P是双曲线上一点且，，则双曲线的标准方程为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本道题目先设出点P的坐标，结合，，计算点P的坐标，结合双曲线的性质，分别计算a,b的值，即可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 设点，‎ ‎ 结合，代入点坐标，计算得到 ‎ 结合向量模长计算公式，则 ‎ 计算得到， ‎ ‎ 计算得到 ‎ 结合，，所以 ‎ 故双曲线方程为 ‎【点睛】‎ 本道题目是向量和圆锥曲线的综合题，可以考虑利用向量坐标运算，计算参数。‎ ‎16．直线与曲线有且只有一个公共点，则b的取值范围是_________‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 曲线即表示一个半径为的半圆，如图，数形结合求得当直线与曲线恰有一个公共点时的取值范围 ‎【详解】‎ 曲线即表示一个半径为的半圆，如图所示 当直线经过点时，求得 当直线经过点时，求得 当直线和半圆相切于点时，由圆心到直线的距离等于半径 可得，求得或（舍去）‎ 故当直线与曲线恰有一个公共点时的取值范围是：‎ 或 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线和圆的位置关系，其中曲线图形为半圆，数形结合先判定出只有一个交点的情况，不要漏掉相切，然后再计算结果 ‎17．过椭圆内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求此弦所在的直线方程. ‎ ‎【答案】x＋2y－4＝0‎ ‎【解析】‎ 试题分析：解：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），∵M（2，1）为AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，∵又A、B两点在椭圆上，则x12+4y12=16，x22+4y22=16，两式相减得(x12-x22)+4(y12-y22)=0，于是（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，故所求直线的方程为y-1=-(x-2)，即x+2y-4=0．‎ 考点：直线与椭圆的位置关系 点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎18．直线经过点P（5，5），且和圆C：相交，截得的弦长为．求的方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由直线经过点设的方程为：；由圆的半径、弦长和弦心距的关系得圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式即可解得，代入直线方程即可.‎ 试题解析：‎ 解:由题意可知直线的斜率存在，可设的方程为：‎ 即：‎ 又由圆截直线的弦长为 则圆心到直线的距离为 所以：由点到直线的距离公式 解得 代入所设的方程化简为：.‎ 考点：直线与圆的位置关系.‎ ‎19．已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合点斜式，计算出直线l的方程，联解椭圆方程，结合 ‎ ，利用根与系数关系，即可 ‎ 得出答案。‎ ‎【详解】‎ 设A，B两点的坐标分别为，，由椭圆方程知，，‎ ‎∴，∴，∴直线l的方程为，‎ 将其代入椭圆方程，并化简整理得 ‎，∴，，‎ ‎∴|AB|＝·＝·＝.‎ ‎【点睛】‎ 本道题目为一道直线与圆锥曲线关系的综合题，联解直线方程和椭圆方程，掌握好 ‎，即可。‎ ‎20．圆内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为的弦．‎ ‎(1)当时，求AB的长；‎ ‎(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．‎ ‎【答案】（1）（6′）依题意直线AB的斜率为-1，直线AB的方程为：y-2=-(x+1),圆心O(0,0)到直线AB的距离为d=,则AB==,AB的长为.‎ ‎（2）（6′）当弦AB被点P平分时，弦AB与OP垂直，此时OP的斜率为-2，所以AB的斜率为,根据点斜式方程直线AB的方程为x-2y+5=0.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)过点O做OG⊥AB于G,连接OA,依题意可知直线AB的斜率,求得AB的 方程,利用点到直线的距离求得OG，由圆的半径进而求得OA的长,则OB可求得;‎ ‎(2)弦AB被P平分时,OP⊥AB,则OP的斜率可知,利用点斜式求得AB的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 过点O做OG⊥AB于G,连接OA;过点P（-1，2）的直线AB倾斜角 ‎ 直线AB斜率-1，则直线AB的方程是：y=-x+1‎ ‎ ‎ 圆的半径 ‎ ‎（2））当弦被点P平分时， 此时直线OP的斜率-2，‎ 则直线AB的斜率为 ，‎ 由直线的点斜式方程可知，直线AB的方程为： ‎ 即直线AB的方程为：x-2y+5 =0‎ ‎21．已知动直线l：（m＋3）x－（m＋2）y＋m＝0与圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝9．‎ ‎（1）求证：无论m为何值，直线l总过定点A，并说明直线l与圆C总相交．‎ ‎（2）m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）时，直线被圆C所截得的弦长最小，最小值为2．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）直线变形为．利用直线系过定点，若定点在圆的内部即可；（2）利用垂径定理和弦长公式即可得出．‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：直线变形为．‎ 令解得 如图所示，故动直线恒过定点A（2,3）．‎ 而 （半径）．‎ ‎∴点A在圆内，故无论m取何值，直线与圆C总相交．‎ ‎（2）解：由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC垂直直线时，弦长最小，‎ 此时kl·kAC＝－1，即，∴‎ 最小值为．‎ 故时，直线被圆C所截得的弦长最小，最小值为．‎ 考点：直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质．‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线相交于不同的A、B两点．‎ ‎(1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；‎ ‎(2)如果，证明直线l必过一定点，并求出该定点．‎ ‎【答案】(1).‎ ‎ (2)证明见解析; .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，求出弦长；‎ ‎（Ⅱ）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于﹣4，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标．‎ 试题解析：‎ ‎(1)解,　,‎ ‎ (2)证明　由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，‎ 消去x得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，‎ ‎∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2 ＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2‎ ‎＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.‎ 令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，‎ ‎∴直线l过定点(2,0)．∴若·＝－4，则直线l必过一定点．‎ 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎