2018届二轮复习简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案（全国通用）

2018届二轮复习简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案（全国通用）

‎ 1.3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 考情考向分析　逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查 生的推理判断能力，题型为填空题，低档难度．‎ ‎1．简单的逻辑联结词 ‎(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．‎ ‎(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断 p q p且q p或q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎2.全称量词和存在量词 ‎(1)全称量词：“所有”、“任意一个”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．‎ ‎(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．‎ ‎3．全称命题、存在性命题及含有一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ‎∀x∈M，p(x)‎ ‎∃x∈M，綈p(x)‎ 存在性命题 存在M中的一个x，使p(x)成立 ‎∃x∈M，p(x)‎ ‎∀x∈M，綈p(x)‎ 知识拓展 ‎1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 ‎(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．‎ ‎(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．‎ ‎(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．‎ ‎2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．‎ ‎3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)命题“3≥2”是真命题．(　√　)‎ ‎(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(　√　)‎ ‎(3)若命题p，q中至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(　√　)‎ ‎(4)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．(　×　)‎ ‎(5)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P13习题T3]已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为________．‎ 答案　2‎ 解析　p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．‎ ‎3．[P18习题T4]命题“正方形都是矩形”的否定是_________________________．‎ 答案　存在一个正方形，这个正方形不是矩形 题组三　易错自纠 ‎4．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的________条件．‎ 答案　充分不必要 解析　由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．‎ ‎5．下列命题中的假命题是________．(填序号)‎ ‎①∃x∈R，lg x＝1；‎ ‎②∃x∈R，sin x＝0；‎ ‎③∀x∈R，x3＞0；‎ ‎④∀x∈R，2x＞0.‎ 答案　③‎ 解析　当x＝10时，lg 10＝1，则①为真命题；‎ 当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题；‎ 当x＜0时，x3＜0，则③为假命题；‎ 由指数函数的性质知，∀x∈R,2x＞0，则④为真命题．‎ ‎6．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题p：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为__________．‎ 答案　(－∞，－2]‎ 解析　由已知条件，知p和q均为真命题，由命题p为真，得a≤0，由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.‎ 题型一　含有逻辑联结词的命题的真假判断 ‎1．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中的真命题是________．(填序号)‎ ‎①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④p∨(綈q)．‎ 答案　①‎ 解析　如图所示，‎ 若a＝，b＝，c＝，则a·c≠0，命题p为假命题；显然命题q为真命题，所以p∨q为真命题．‎ ‎2．(2017·山东改编)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是________．(填序号)‎ ‎①p∧q；②p∧(綈q)；③(綈p)∧q；④(綈p)∧(綈q)．‎ 答案　②‎ 解析　∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln(x＋1)＞ln 1＝0.‎ ‎∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．‎ ‎∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，‎ 此时a2＜b2，∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．‎ ‎∴p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题．‎ ‎3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：‎ ‎①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(綈p)∨(綈q)为假．‎ 其中，正确的是________．(填序号)‎ 答案　②‎ 解析　命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．‎ 思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤 ‎(1)确定命题的构成形式．‎ ‎(2)判断其中命题p，q的真假．‎ ‎(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．‎ 题型二　含有一个量词的命题 命题点1　全称命题、存在性命题的真假 典例 下列四个命题：‎ ‎①∃x∈(0，＋∞)，x＜x；‎ ‎②∃x∈(0,1)，logx＞；‎ ‎③∀x∈(0，＋∞)，x＞；‎ ‎④∀x∈，x＜.‎ 其中真命题序号为________．‎ 答案　②④‎ 解析　对于①，当x∈(0，＋∞)时，总有x＞x成立，故①是假命题；‎ 对于②，当x＝时，有1＝＝＞成立，故②是真命题；‎ 对于③，结合指数函数y＝x与对数函数y＝在(0，＋∞)上的图象，可以判断③是假命题；‎ 对于④，结合指数函数y＝x与对数函数y＝在上的图象，可以判断④是真命题．‎ 命题点2　含有一个量词的命题的否定 典例 (1)命题“∀x∈R，x＞0”的否定是________．‎ 答案　∃x∈R，x≤0‎ 解析　全称命题的否定是存在性命题，“>”的否定是“≤”．‎ ‎(2)(2017·苏州暑假测试)命题“∃x＞1，x2≥2”的否定是________．‎ 答案　∀x＞1，x2＜2‎ 解析　根据存在性命题的否定规则得“∃x＞1，x2≥2”的否定是“∀x＞1，x2＜2”．‎ 思维升华 (1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在给定集合内找到一个x，使p(x)成立．‎ ‎(2)对全称命题、存在性命题进行否定的方法 ‎①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；‎ ‎②对原命题的结论进行否定．‎ 跟踪训练 (1)下列命题是假命题的是________．(填序号)‎ ‎①∃α，β∈R，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β；‎ ‎②∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数；‎ ‎③∃x∈R，使x3＋ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且为常数)；‎ ‎④∀a>0，函数f(x)＝ln2x＋ln x－a有零点．‎ 答案　②‎ 解析　取α＝，β＝－，cos(α＋β)＝cos α＋cos β，①正确；‎ 取φ＝，函数f(x)＝sin＝cos 2x是偶函数，②错误；‎ 对于三次函数y＝f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x→－∞时，y→－∞，当x→＋∞时，y→＋∞，又f(x)在R上为连续函数，故∃x∈R，使x3＋ax2＋bx＋c＝0，③正确；‎ 当f(x)＝0时，ln2x＋ln x－a＝0，则有a＝ln2x＋ln x＝2－≥－，所以∀a>0，函数f(x)＝ln2x＋ln x－a有零点，④正确．‎ ‎(2)已知命题p：“∃x∈R，ex－x－1≤0”，则綈p为________．‎ 答案　∀x∈R，ex－x－1>0‎ 解析　根据全称命题与存在性命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>0”．‎ 题型三　含参命题中参数的取值范围 典例 (1)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p∧q是真命题，则实数a的取值范围是________________．‎ 答案　[－12，－4]∪[4，＋∞)‎ 解析　若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，‎ 即a≤－4或a≥4；若命题q是真命题，‎ 则－≤3，即a≥－12.‎ ‎∵p∧q是真命题，∴p，q均为真，‎ ‎∴a的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．‎ ‎(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．‎ 答案　 解析　当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，‎ g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，‎ 得0≥－m，所以m≥.‎ 引申探究 本例(2)中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．‎ 答案　 解析　当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，‎ 由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥.‎ 思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．‎ 跟踪训练 (1)已知命题“∃x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　(－1,3)‎ 解析　原命题的否定为∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a－1)2－4×2×＜0，则－2＜a－1＜2，即－1＜a＜3.‎ ‎(2)已知p：∀x∈，2x， ‎ 令g(x)＝，则g(x)在上单调递增，‎ 故g(x)≤g＝，故当p为真时，m>；‎ 函数f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1＝(2x＋1)2＋m－2，‎ 令f(x)＝0，得2x＝－1，‎ 若f(x)存在零点，‎ 则－1>0，解得m<1，‎ 故当q为真时，m<1.‎ 若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是.‎ 常用逻辑用语 考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．‎ 一、命题的真假判断 典例1 (1)已知a，b都是实数，那么“＞”是“ln a＞ln b”的________条件．‎ 答案　必要不充分 解析　由ln a＞ln b⇒a＞b＞0⇒＞，故必要性成立．当a＝1，b＝0时，满足＞，但ln b无意义，所以ln a＞ln b不成立，故充分性不成立．‎ ‎(2)已知函数f(x)＝给出下列两个命题：命题p：∃m∈(－∞，0)，方程f(x)＝0有解，命题q：若m＝，则f(f(－1))＝0，则下列命题为真命题的是________．(填序号)‎ ‎①p∧q；②(綈p)∧q；③p∧(綈q)；④(綈p)∧(綈q)．‎ 答案　②‎ 解析　因为3x＞0，当m＜0时，m－x2＜0，‎ 所以命题p为假命题；‎ 当m＝时，因为f(－1)＝3－1＝，‎ 所以f(f(－1))＝f＝－2＝0，‎ 所以命题q为真命题，‎ 逐项检验可知，只有(綈p)∧q为真命题．‎ 二、充要条件的判断 典例2 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，则“A＝－B”是“数列{an}是等比数列”的________条件．‎ 答案　必要不充分 解析　若A＝B＝0，则Sn＝0，数列{an}不是等比数列；若数列{an}是等比数列，则由a1＝Aq＋B，a2＝Aq2－Aq，a3＝Aq3－Aq2及＝，得A＝－B.‎ ‎(2)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)．设p：0＜r＜3，q：圆C上至多有2个点到直线x－y＋3＝0的距离为1，则p是q的________条件．‎ 答案　充要 解析　圆C：(x－1)2＋y2＝r2的圆心(1,0)到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝2.当r∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C上没有到直线的距离为1的点；当r＝1时，直线与圆相离，圆C上只有1个点到直线的距离为1；当r∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C上有2个点到直线的距离为1；当r＝2时，直线与圆相切，圆C上有2个点到直线的距离为1；当r∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C上有2个点到直线的距离为1.综上，当r∈(0,3)时，圆C上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C上至多有2个点到直线的距离为1，可得0＜r＜3，故p是q的充要条件．‎ 三、求参数的取值范围 典例3 (1)已知命题p：∀x∈[0,1]，a≥ex，命题q：∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是__________．‎ 答案　[e,4]‎ 解析　命题“p∧q”是真命题，p和q均是真命题．当p是真命题时，a≥(ex)max＝e；当q为真命题时，Δ＝16－4a≥0，a≤4，所以a∈[e,4]．‎ ‎(2)已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　(－∞，0]‎ 解析　∵x∈，∴f(x)≥2 ＝4，当且仅当x＝2时，f(x)min＝4，当x∈[2,3]时，g(x)min＝22＋a＝4＋a，依题意，知f(x)min≥g(x)min，即4≥a＋4，∴a≤0.‎ ‎1．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是________．(填序号)‎ ‎①p∧q；②(綈p)∧(綈q)；③(綈p)∧q；④p∧(綈q)．‎ 答案　④‎ 解析　因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x＞0恒成立，故p为真命题；因为当x＞1时，x＞2不一定成立，反之，当x＞2时，一定有x＞1成立，故“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故q为假命题．则p∧q，綈p为假命题，綈q为真命题，(綈p)∧(綈q)，(綈p)∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题．‎ ‎2．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对称，则下列判断正确的是________．(填序号)‎ ‎①p为真；②綈q为假；③p∧q为假；④p∨q为真．‎ 答案　③‎ 解析　函数y＝sin 2x的最小正周期为＝π，故命题p为假命题；x＝不是y＝cos x的对称轴，故命题q为假命题，故p∧q为假．‎ ‎3．下列命题中为假命题的是________．(填序号)‎ ‎①∀x∈，x＞sin x；‎ ‎②∃x∈R，sin x＋cos x＝2；‎ ‎③∀x∈R,3x＞0；‎ ‎④∃x∈R，lg x＝0.‎ 答案　②‎ 解析　对于①，令f(x)＝x－sin x，则f′(x)＝1－cos x，当x∈时，f′(x)＞0.从而f(x)在上是增函数，则f(x)＞f(0)＝0，即x＞sin x，故①正确；对于②，由sin x＋cos x＝sin≤＜2知，不存在x∈R，使得sin x＋cos x＝2，故②错误；对于③，易知3x＞0，故③正确；对于④，由lg 1＝0知，④正确．‎ ‎4．下列命题的否定为假命题的是________．(填序号)‎ ‎①∀x∈R，－x2＋x－1<0；‎ ‎②∀x∈R，|x|>x；‎ ‎③∀x，y∈Z，2x－5y≠12；‎ ‎④∀x∈R，sin2x＋sin x＋1＝0.‎ 答案　①‎ 解析　命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．‎ ‎5．命题p：∀x∈R，sin x<1；命题q：∃x∈R，cos x≤－1，则下列为真命题的是________．(填序号)‎ ‎①p∧q; ②(綈p)∧q；‎ ‎③p∨(綈q); ④(綈p)∧(綈q)．‎ 答案　②‎ 解析　p是假命题，q是真命题，所以②正确．‎ ‎6．已知命题p：若a>1，则ax>logax恒成立；命题q：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q是an＋am＝ap＋aq的充分不必要条件(m，n，p，q∈N*)．则下列为真命题的是______．(填序号)‎ ‎①(綈p)∧(綈q); ②(綈p)∨(綈q)；‎ ‎③p∨(綈q); ④p∧q.‎ 答案　②‎ 解析　当a＝1.1，x＝2时，‎ ax＝1.12＝1.21，logax＝log1.12>log1.11.21＝2，‎ 此时，ax0；命题q：>1，若“(綈q)∧p”为真，则x的取值范围是________________．‎ 答案　(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)‎ 解析　因为“(綈q)∧p”为真，即q假p真，而q为真命题时，<0，即20，解得x>1或x<－3，由得x≥3或1＜x≤2或x<－3，‎ 所以x的取值范围是(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．‎ ‎8．命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　(－∞，0)∪(4，＋∞)‎ 解析　因为命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，‎ 所以綈p：∃x∈R，ax2＋ax＋1＜0，‎ 则a＜0或解得a＜0或a＞4.‎ ‎9．(2017·江苏南通中 月考)已知c>0，设命题p：函数y＝cx为减函数；命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>恒成立．如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则c的取值范围是________．‎ 答案　∪[1，＋∞)‎ 解析　若命题p：函数y＝cx为减函数为真命题，‎ 则00可得c>.‎ ‎∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，故p与q一真一假．‎ 当p真q假时，00恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2.‎ 其中真命题的个数为________．‎ 答案　0‎ 解析　∵x2－3x＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2>0，‎ ‎∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，‎ ‎∴①为假命题；‎ 当且仅当x＝±时，x2＝2，‎ ‎∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题；‎ 对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题；‎ ‎4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，‎ 即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，‎ ‎∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．‎ 故真命题的个数为0.‎ ‎12．已知命题p：∃x∈R，(m＋1)·(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为____________．‎ 答案　(－∞，－2]∪(－1，＋∞)‎ 解析　由命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，可得m≤－1，由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，可得－2－1.‎ ‎13．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1,4]有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是________________．‎ 答案　(－∞，0)‎ 解析　f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，‎ 当x∈[1,4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，则f(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0，故实数m的取值范围是(－∞，0)．‎ ‎14．下列结论：‎ ‎①若命题p：∃x∈R，tan x＝1；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p∧(綈q)”‎ 是假命题；‎ ‎②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；‎ ‎③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题是“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．‎ 其中正确结论的序号为________．‎ 答案　①③‎ 解析　①中命题p为真命题，命题q为真命题，‎ 所以p∧(綈q)为假命题，故①正确；‎ ‎②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；‎ ‎③正确，所以正确结论的序号为①③.‎ ‎15．已知命题p：∃x∈R，ex－mx＝0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是________．‎ 答案　[0,2]‎ 解析　若p∨(綈q)为假命题，则p假q真．‎ 由ex－mx＝0，可得m＝，x≠0，‎ 设f(x)＝，x≠0，则 f′(x)＝＝，‎ 当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)＝在(1，＋∞)上是单调增函数；当01，x≥2)．‎ ‎(1)若∃x∈[2，＋∞)，使f(x)＝m成立，则实数m的取值范围为________________；‎ ‎(2)若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2, ＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围为________________．‎ 答案　(1)[3，＋∞)　(2)(1，]‎ 解析　(1)因为f(x)＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立，所以若∃x∈[2，＋∞)，使f(x)＝m成立，则实数m的取值范围为[3，＋∞)．‎ ‎(2)因为a>1，所以g(x)在[2，＋∞)上单调递，‎ 即g(x)≥a2.‎ 又当x≥2时，f(x)≥3，g(x)≥a2，若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，‎ 则　解得a∈(1，]．‎