【数学】四川省遂宁市2019-2020学年高二下学期期末考试（文）

【数学】四川省遂宁市2019-2020学年高二下学期期末考试（文）

四川省遂宁市2019-2020学年高二下学期期末考试（文）‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题，满分60分）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。‎ ‎2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎3．考试结束后，将答题卡收回。‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。）‎ ‎1. 设复数，则z在复平面内对应的点在第 A．一象限 B．二象限 C．三象限 D．四象限 ‎2. 命题“”的否定是 A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 ‎ C． D．‎ ‎3．随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．抽样发现遂宁市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如图折线图：‎ ‎ ‎ 则下列结论中正确的是 A．该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半 ‎ B．该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的1.5倍 ‎ C．该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍 ‎ D．该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当 ‎4. 双曲线的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为 A. 2 B. C. 3 D. ‎ ‎5. 已知a，b为实数，则“a3＜b3”是“2a＜2b”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎6. 曲线在点处的切线方程为 A．2x+y+2=0 B．2x+y-2=0‎ C．2x-y+2=0 D．2x-y-2=0‎ ‎7. 椭圆的一个焦点坐标为，则实数m=‎ A. 2 B． C． D．-‎ ‎8. 若在是增函数，则实数m的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎9. 执行如图所示的程序框图，若输入 ‎ ‎，则输出s的取值范围是 A. [e﹣2，1] B. [1，e] ‎ C. [e﹣2，e] D. [0，1]‎ ‎10. 阿基米德（公元前287年---212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称△为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线焦点F时，△具有以下特征：（1）P点必在抛物线的准线上；（2）△为直角三角形，且;（3）.若经过抛物线焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为△，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为 A. x-2y-1=0 B. 2x+y-2=0 ‎ C. x+2y-1=0 D. 2x-y-2=0‎ ‎11. 已知椭圆长半轴为2，且过点M(0,1)．若过点M引两条互相垂直的两直线，若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为，则的最大值为 A．2 B． C．5 D．‎ ‎12. 已知，函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）‎ 注意事项：‎ ‎1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。‎ ‎2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13. 抛物线的焦点坐标为 ▲ ‎ ‎14. 若复数，则 ▲ ‎ ‎15. 已知函数，则的值为 ▲ ．‎ ‎16. 已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于，两点.若△为等边三角形，则的值为 ▲ ‎ 三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.‎ ‎17. （本小题10分）已知抛物线的焦点F，C上一点(3,m)到焦点的距离为5．‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）过F作直线，交C于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为-1，求直线的方程 ‎18. （本小题12分）已知函数在与时都取得极值．‎ ‎（1）求a，b的值与函数的单调区间；‎ ‎（2）若对,不等式恒成立，求c的取值范围．‎ ‎19．（本小题12分）‎ 流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病.其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播.流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰.儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染.某幼儿园将去年春季该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：‎ 年龄（x）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 患病人数（y）‎ ‎22‎ ‎22‎ ‎17‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎（1）求y关于x的线性回归方程；‎ ‎（2）计算变量x，y的相关系数r（计算结果精确到0.01），并回答是否可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关很强？（若，则x ，y相关性很强；若，则x，y相关性一般；若，则x，y相关性较弱.）‎ 参考公式: ，相关系数 ‎ 参考数据：‎ ‎20.（本小题12分）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性.‎ ‎（1）根据已知条件完成下列联表，并判断能否在犯错误率不超过0.05的前提下认为“体育迷”与性别有关？‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 ‎（2）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.‎ 附：参考公式：.‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎21. （本小题12分）已知，是椭圆的左右两个焦点，过的直线与C交于P，Q两点（P在第一象限），△的周长为8，C的离心率为.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）若的中点为（不重合），在线段上是否存在点，使得？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎22. （本小题12分）已知函数 ‎， ‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）设不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．‎ 参考答案 一、选择题(5×12=60分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A C B C C D A D A B D 二、 填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13. 14. 15. 16. 或 三、解答题 ‎17. （本大题满分10分）‎ ‎（1）抛物线的准线方程为 ..........................................1分 由抛物线的定义可知解得..........................................................4分 ‎∴的方程为. ........................................................5分 ‎（2）法一:由(1)得抛物线C的方程为,焦点.............................................6分 设两点的坐标分别为,则 ................................7分 两式相减,整理得 ..............................................................................8分 ‎∵线段中点的纵坐标为 ‎∴直线的斜率..............................................................9分 直线的方程为即..................................................10分 分法二:由(1)得抛物线的方程为,焦点 设直线的方程为由...............................................................7分 消去,得设两点的坐标分别为,‎ ‎∵线段中点的纵坐标为∴解得.................9分 直线的方程为即............................................................10分 ‎18.（本大题满分12分）‎ ‎（1），f（x）＝3x2+2ax+b......................................................1分 由 解得，经验证成立............................................................................................4分 f（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：‎ x ‎（﹣∞,）‎ ‎ ‎ ‎（，1）‎ ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ f（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 极大值 极小值 所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，）和（1，+∞），递减区间是（，1）.....6分 ‎（2）因为，根据（1）函数f（x）的单调性，‎ 得f（x）在（﹣1，）上递增，在（，1）上递减，在（1，2）上递增，..... ...8分 所以当x时，f（x）为极大值，‎ 而f（2）＝，所以f（2）＝2+c为最大值． ....................................10分 要使f（x）＜对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需＞f（2）＝2+c．‎ 解得c＜﹣1或c＞2． ....................................12分 ‎19.（本大题满分12分）‎ 解：（1）由题意得 2分 由公式求得 4分 ‎ 6分 （2） ‎....................................9分 ‎ ‎ ‎ ∴说明负相关.......................................................................................................10分 又，说明相关性很强........................................................................12分 ‎20.（本大题满分12分）‎ 解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，‎ 从而联表如下：‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ ‎.....................................................................................................................................2分 将联表中的数据代入公式计算，‎ 得...............................................5分 因为，所以不能在犯错率不超过0.05的前提下认为“体育迷”与性别有关？‎ ‎...............................6分 ‎（2）由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为：‎ ‎ ............................................8分 其中表示男性，表示女性，.由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的，用表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则.......................10分 事件由7个基本事件组成，因而 ....................................................................................12分 ‎21.（本大题满分12分）‎ ‎（1）由条件得解得. .....................................................3分 所以的方程为. .....................................5分 ‎（2）存在这样的点M符合题意 设由，∵N与F2不重合，∴直线PQ的斜率存在，设为k，则PQ的方程为 .................................6分 ‎∵P在第一象限，∴‎ 由得 .....................................7分 由韦达定理，故 .....................................8分 又点在直线上，所以 .....................................9分 因为，所以 .....................................10分 整理得：‎ 所以存在实数且的取值范围为 .....................................12分 ‎22.（本大题满分12分）‎ 解：（1）‎ ‎ ...............................1分 由得或 .....................................2分 ①若，则，由得得或 所以：若在递增；在上递减；.........................3分 ②若，在定义域上递增；........................4分 ③若，则，由得得或 所以，若，在和上递增，在递减 ........................5分 ‎（2）原不等式等价于，.....................................6分 记，‎ ‎， .....................................7分 令得或．‎ ‎①当时，（舍去），所以．‎ 当时，，当时，，‎ 所以恒成立，‎ 故，此时的取值范围是． .....................................9分 ‎②当时，，‎ 当时，，当时，，当时，，‎ 所以，即， .....................................11分 解得，可得此时的取值范围是．‎ 综合①②可知，‎ 所以实数的取值范围是． .....................................12分