【数学】2018届一轮复习人教A版基本不等式学案

【数学】2018届一轮复习人教A版基本不等式学案

‎　‎ ‎1.了解基本不等式的证明过程．‎ ‎2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．‎ 知识点一　基本不等式 ‎ ‎1．基本不等式≤ ‎(1)基本不等式成立的条件：____________.‎ ‎(2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号．‎ ‎2．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为______，几何平均数为____，基本不等式可叙述为：________________________________ __________.‎ ‎3．几个重要的不等式 a2＋b2≥____(a，b∈R)；＋≥____(a，b同号)．‎ ab≤2(a，b∈R)；2____(a，b∈R)．‎ 答案 ‎1．(1)a>0，b>0　(2)a＝b ‎2.　　两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ‎3．2ab　2　≤‎ ‎1．判断正误 ‎(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)‎ ‎(2)x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件．(　　)‎ ‎(3)若a≠0，则a2＋的最小值为2.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)√‎ 知识点二　利用基本不等式求最值问题 ‎ 已知x>0，y>0，则 ‎1．如果积xy是定值p，那么当且仅当______时，x＋y有最____值是____．(简记：积定和最小)‎ ‎2．如果和x＋y是定值p，那么当且仅当______时，xy有最____值是____．(简记：和定积最大)‎ 答案 ‎1．x＝y　小　2　2.x＝y　大　 ‎2．(必修⑤P100习题‎3.4A组第1(2)题改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)‎ A．80 B．77‎ C．81 D．82‎ 解析：xy≤2＝2＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C.‎ 答案：C ‎3．(必修⑤P100习题‎3.4A组第2题改编)若把总长为‎20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．‎ 解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m，由题知00，n>0,‎2m＋n＝1，则＋的最小值为____.‎ 解析：∵‎2m＋n＝1，‎ ‎∴＋＝(＋)·(‎2m＋n)‎ ‎＝4＋＋≥4＋2＝8.‎ 当且仅当＝，即n＝，m＝时，“＝”成立．‎ 答案：8‎ 热点一　　配凑法求最值 ‎ ‎【例1】　(1)已知x<，求f(x)＝4x－2＋的最大值；‎ ‎(2)已知x为正实数且x2＋＝1，求x的最大值．‎ ‎【解】　(1)因为x<，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.‎ 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．‎ 故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.‎ ‎(2)因为x>0，所以x＝‎ ≤.‎ 又x2＋＝＋＝，所以x≤＝，即(x)max＝.‎ ‎【总结反思】‎ 应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.‎ ‎(1)设0－1，则函数y＝的最小值为________．‎ 解析：(1)因为00，所以y＝4x(5－2x)＝2×2x(5－2x)≤22＝，‎ 当且仅当2x＝5－2x，即x＝时等号成立，故函数y＝4x(5－2x)的最大值为.‎ ‎(2)因为x>－1，所以x＋1>0，‎ 所以y＝＝ ‎＝＝x＋1＋＋5‎ ‎≥2＋5＝9，‎ 当且仅当x＋1＝，即x＝1时等号成立，故函数y＝的最小值为9.‎ 答案：(1)　(2)9‎ 热点二 常值代换法求最值 ‎ ‎【例2】　已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．‎ ‎【解析】　∵a>0，b>0，a＋b＝1，‎ ‎∴＋＝＋＝2＋＋ ‎≥2＋2＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立．‎ ‎【答案】　4‎ ‎1．本例的条件不变，则的最小值为____‎ ‎.‎ 解析：＝·＝·＝5＋2≥5＋4＝9，当且仅当a＝b＝时，取等号．‎ 答案：9‎ ‎2．若将本例中的“a＋b＝‎1”‎换为“a＋2b＝‎3”‎，如何求解？‎ 解：∵a＋2b＝3，∴a＋b＝1.‎ ‎∴＋＝ ‎＝＋＋＋≥1＋2＝1＋.‎ 当且仅当a＝b＝3－3时，取等号．‎ 故＋的最小值为1＋.‎ ‎【总结反思】‎ 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.‎ 若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．‎ 解析：因为x＋3y＝5xy，且x>0，y>0.‎ 所以＋＝5，‎ 所以3x＋4y＝(3x＋4y) ‎＝≥ ‎＝(13＋12)＝5.‎ 当且仅当即时取“＝”．‎ 所以3x＋4y的最小值是5.‎ 答案：5‎ 热点三 换元法求最值 ‎ ‎【例3】　已知正实数x，y满足xy＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为________．‎ ‎【解析】　因为xy＋2x＋y＝4，所以x＝，由x＝>0，得－20，则00，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．‎ 解析：由已知得x＝.‎ 方法1：(消元法)‎ ‎∵x>0，y>0，∴y<3，‎ ‎∴x＋3y＝＋3y＝ ‎＝＝＋(3y＋3)－6‎ ‎≥2－6＝6.‎ 当且仅当＝3y＋3，‎ 即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6.‎ 方法2：∵x>0，y>0,9－(x＋3y)‎ ‎＝xy＝x·(3y)≤·()2，‎ 当且仅当x＝3y时等号成立，‎ 设x＋3y＝t>0，则t2＋12t－108≥0，‎ ‎∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t>0，∴t≥6.‎ 故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.‎ 答案：6‎ 热点四 基本不等式与函数的综合应用 ‎ ‎【例4】　(1)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1) B．(－∞，2－1)‎ C．(－1,2－1) D．(－2－1,2－1)‎ ‎(2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．‎ ‎【解析】　(1)由32x－(k＋1)3x＋2>0恒成立，得k＋1<3x＋.∵3x＋≥2，∴k＋1<2，即k<2－1.‎ ‎(2)由f(x)≥3恒成立，得≥3，又x∈N*，∴x2＋ax＋11≥3(x＋1)，∴a－3≥－.‎ 令F(x)＝－，x∈N*，‎ 则F(x)max＝F(3)＝－.‎ 即a－3≥－，∴a≥－.‎ ‎【答案】　(1)B　(2) ‎【总结反思】‎ ‎(1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max，a0，b>0，＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16.‎ 由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，‎ 即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，‎ 而x2－4x－2＝(x－2)2－6，‎ 所以x2－4x－2的最小值为－6，‎ 所以－6≥－m，即m≥6.‎ 答案：D ‎1．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤；≥(a，b>0)逆用就是ab≤2(a，b>0)等，还要注意“添”“拆”项技巧和公式等号成立的条件等．‎ ‎2．利用基本不等式求最值应注意的问题 ‎(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．‎ ‎(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．‎ ‎(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．‎