2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第八章　4 第4讲　直线、平面平行的判定及其性质

2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第八章　4 第4讲　直线、平面平行的判定及其性质

‎[基础题组练]‎ ‎1．在空间内，下列命题正确的是(　　)‎ A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 解析：选D.对于A，平行直线的平行投影也可能互相平行，或为两个点，故A错误；对于B，平行于同一直线的两个平面也可能相交，故B错误；对于C，垂直于同一平面的两个平面也可能相交，故C错误；而D为直线和平面垂直的性质定理，正确．‎ ‎2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βD/⇒α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．‎ ‎3．(2020·杭州中学高三期中)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)‎ A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β B．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β D．若m∥n，m∥α，则n∥α 解析：选C.对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ与β平行或相交；对于B，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α与β平行或相交；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．‎ ‎4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则(　　)‎ A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形 B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 解析：选B.由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊BD，所以EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG綊BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形．‎ ‎5．如图，若Ω是长方体ABCDA1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EB1FHC1G后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论不正确的是(　　)‎ A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形 C．Ω是棱柱 D．Ω是棱台 解析：选D.因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，‎ 所以EH∥B1C1，所以EH∥平面BCGF，‎ 又因为FG⊂平面BCGF，所以EH∥FG，故A正确；‎ 因为B1C1⊥平面A1B1BA，EF⊂平面A1B1BA，‎ 所以B1C1⊥EF，则EH⊥EF，‎ 又由上面的分析知，EFGH为平行四边形，故它是矩形，故B正确；‎ 因为EH∥B1C1∥FG，故Ω是棱柱，故C正确．‎ ‎6．(2020·杭州二中期中考试)如图，在多面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则(　　)‎ A．BF∥平面ACGD B．CF∥平面ABED C．BC∥FG D．平面ABED∥平面CGF 解析：选A.取DG的中点为M，连接AM，FM，如图所示．‎ 则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，所以DE綊FM，因为平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，所以AB∥DE，所以AB∥FM.又AB＝DE，所以AB＝FM，所以四边形ABFM是平行四边形，即BF∥AM.又BF⊄平面ACGD，所以BF∥平面ACGD.故选A.‎ ‎7.如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，则直线MN与平面BDC的位置关系是__________．‎ 解析：在平面ABD中，＝，‎ 所以MN∥BD.‎ 又MN⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，‎ 所以MN∥平面BCD.‎ 答案：平行 ‎8.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．‎ 解析：因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，‎ 所以EF∥AC，所以点F为DC的中点．‎ 故EF＝AC＝.‎ 答案： ‎9．(2020·宁波效实中学模拟)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)‎ 解析：连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，所以平面FHN∥平面B1BDD1，只要M∈FH，则MN⊂平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.‎ 答案：M位于线段FH上(答案不唯一)‎ ‎10．在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是A1B1的中点，过点A1作与截面PBC1平行的截面，所得截面的面积是________．‎ 解析：如图，取AB，C1D1的中点E，F，连接A1E，A1F，EF，则平面A1EF∥平面BPC1.‎ 在△A1EF中，‎ A1F＝A1E＝，EF＝2，‎ S△A1EF＝×2×＝，‎ 从而所得截面面积为2 S△A1EF＝2.‎ 答案：2 ‎11．如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，点G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，点H是B1C1的中点．‎ ‎(1)求证：E，B，F，D1四点共面；‎ ‎(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.‎ 证明：(1)因为AE＝B1G＝1，所以BG＝A1E＝2，‎ 因为BG∥A1E，所以A1G∥BE.‎ 又因为C1F綊B1G，‎ 所以FG∥C1B1∥D1A1，所以四边形A1GFD1是平行四边形．‎ 所以A1G∥D1F，所以D1F∥EB，‎ 故E、B、F、D1四点共面．‎ ‎(2)因为点H是B1C1的中点，所以B1H＝.‎ 又B1G＝1，所以＝.‎ 又＝，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，‎ 所以△B1HG∽△CBF，‎ 所以∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，所以HG∥FB.‎ 又由(1)知A1G∥BE，且HG∩A1G＝G，‎ FB∩BE＝B，所以平面A1GH∥平面BED1F. ‎ ‎12．如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．‎ ‎(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?‎ ‎(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．‎ 解：(1)如图，取D1为线段A1C1的中点，‎ 此时＝1.‎ 连接A1B交AB1于点O，连接OD1.‎ 由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．‎ 在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，‎ 所以OD1∥BC1.‎ 又因为OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，‎ 所以BC1∥平面AB1D1.‎ 所以＝1时，BC1∥平面AB1D1.‎ ‎(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，‎ 且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，‎ 平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.‎ 因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.‎ 所以＝，＝.‎ 又因为＝1，‎ 所以＝1，即＝1.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：‎ ‎①没有水的部分始终呈棱柱形；‎ ‎②水面EFGH所在四边形的面积为定值；‎ ‎③棱A1D1始终与水面所在平面平行；‎ ‎④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．‎ 其中正确的个数是(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选C.由题图知，显然①是正确的，②是错的；‎ 对于③因为A1D1∥BC，BC∥FG，‎ 所以A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，‎ 所以A1D1∥平面EFGH(水面)．‎ 所以③是正确的；‎ 因为水是定量的(定体积V)．‎ 所以S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V.‎ 所以BE·BF＝(定值)，即④是正确的，故选C.‎ ‎2．(2020·杭州二中模拟)已知两个不重合的平面α，β，给定以下条件：‎ ‎①α内不共线的三点到β的距离相等；‎ ‎②l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β；‎ ‎③l，m是两条异面直线，且l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.‎ 其中可以判定α∥β的是(　　)‎ A．① B．②‎ C．①③ D．③‎ 解析：选D.①中，α内的三点中如果一点在平面β的一侧，另两点在平面β的另一侧，也可满足这三点到β的距离相等，所以①不符合题意．②中，l与m平行时，α与β也可能相交．③中，如图所示，过直线l作一平面γ，设γ∩α＝a，γ∩β＝b.因为l∥α，l∥β，所以l∥a，l∥b，所以a∥b，过直线m作一平面σ，设σ∩α＝c，σ∩β＝d.因为m∥α，m∥β，所以m∥c，m∥d，所以c∥d，所以c∥β.因为l，m是两条异面直线，所以a，c必相交，所以α∥β，所以③符合题意．‎ ‎3．在△ABC中，AB＝5，AC＝7，∠A＝60°，G是重心，过G的平面α与BC平行，AB∩α＝M，AC∩α＝N，则MN＝________．‎ 解析：根据余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝39，‎ 所以BC＝.‎ 因为BC∥α，MN＝α∩平面ABC，所以MN∥BC，‎ 又G是△ABC的重心，连接AG交BC于D，‎ 所以＝＝，则MN＝.‎ 答案： ‎4．(2020·温州中学高考模拟)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝，过B1、D1、P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________．‎ 解析：因为平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥PQ.‎ 又因为B1D1∥BD，所以BD∥PQ，‎ 设PQ∩AB＝M，因为AB∥CD，‎ 所以△APM∽△DPQ.所以＝＝2，即PQ＝2PM.‎ 又知△APM∽△ADB，所以＝＝，‎ 所以PM＝BD，又BD＝a，所以PQ＝a.‎ 答案：a ‎5．(2020·杭州学军中学高三模拟)如图，一个侧棱长为l的直三棱柱ABCA1B1C1容器中盛有液体(不计容器厚度)．若液面恰好分别过棱AC，BC，B1C1，A1C1的中点D，E，F，G.‎ ‎(1)求证：平面DEFG∥平面ABB1A1；‎ ‎(2)当底面ABC水平放置时，求液面的高．‎ 解：(1)证明：因为D，E分别为棱AC，BC的中点，所以DE是△ABC的中位线，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，所以DE∥平面ABB1A1.同理DG∥平面ABB1A1，又DE∩DG＝D，所以平面DEFG∥平面ABB1A1.‎ ‎(2)当直三棱柱ABCA1B1C1容器的侧面AA1B1B水平放置时，由(1)可知，液体部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱ABCA1B1C1容器的高，即侧棱长l，当底面ABC水平放置时，设液面的高为h，△ABC的面积为S，‎ 则由已知条件可知，△CDE∽△CAB，且S△CDE＝S，所以S四边形ABED＝S.‎ 由于两种状态下液体体积相等，‎ 所以V液体＝Sh＝S四边形ABEDl＝Sl，即h＝l.‎ 因此，当底面ABC水平放置时，液面的高为l.‎ ‎6．如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8.点E，F分别在A1B1，D1C1上，过点E、F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH.‎ ‎(1)求证：A1E＝D1F；‎ ‎(2)判断A1D与平面α的关系．‎ 解：(1)证明：过点E分别作EM⊥AB于点M，EN⊥D1C1于点N.‎ 设MH＝m，NF＝n.‎ 因为EFGH是正方形，所以EF＝EH＝HF.‎ 又在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝8，BC＝10.‎ 所以102＋n2＝82＋m2＝[102＋82＋(m－n)2]‎ 解得n＝0，m＝6.‎ 所以N与F重合．所以A1E＝D1N＝D1F.‎ ‎(2)由(1)知，A1D≠EG.又A1E∥DG.‎ 所以四边形A1DGE是以A1D与EG为腰的梯形，‎ 即A1D与EG相交．又EG⊂α.‎ 所以直线A1D与平面α相交．‎