高考理科数学二轮专项训练专题：10 排列组合二项式定理

高考理科数学二轮专项训练专题：10 排列组合二项式定理

专题10 计数原理 一、选择题 ‎1．(2018全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A． B． C． D．‎ C【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率，故选C．‎ ‎2．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有种． 故选D．‎ ‎3．从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A． B． C． D．‎ C【解析】不放回的抽取2次有，如图 可知与是不同，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同有=40，所求概率为． ‎ ‎4．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A．24 B．18 C．12 D．9‎ B【解析】由题意可知有6种走法，有3种走法，由乘法计数原理知，共有 种走法，故选B．‎ ‎5．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A．24 B．48 C．60 D．72‎ D【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中任选一个，有 种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列,有种方法，所以其中奇数的个数为，故选D．‎ ‎6．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 A．144个 B．120个 C．96个 D．72个 B【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有个；若万位上排5，则有个.所以共有个，选B．‎ ‎7．(2018全国卷Ⅲ)的展开式中的系数为 A．10 B．20 C．40 D．80‎ C【解析】，由，得，所以的系数为．故选C．‎ ‎8．展开式中的系数为 A．15 B．20 C．30 D．35‎ C【解析】展开式中含的项为，故前系数为30，选C．‎ ‎9．的展开式中的系数为 A．80 B．40 C．40 D．80‎ C【解析】的展开式的通项公式为：，‎ 当时，展开式中的系数为，‎ 当时，展开式中的系数为，‎ 所以的系数为．选C． ‎ ‎10． 设为虚数单位，则的展开式中含的项为 A．－15 B．15 C．－20 D．20‎ A【解析】通项，令，得含的项为，故选A．‎ ‎11．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 A． B． C． D．‎ D【解析】因为的展开式中的第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式的展开式中奇数项的二项式系数和为．‎ ‎12．二项式的展开式中的系数为15，则 A．4 B．5 C．6 D．7‎ C【解析】由，知，‎ ‎∴，解得或(舍去)，故选C．‎ ‎13．已知的展开式中含的项的系数为30，则 A． B． C．6 D．－6‎ D【解析】，令，可得，故选D．‎ ‎14．在的展开式中，记项的系数为，‎ 则=‎ A．45 B．60 C．120 D． 210‎ C【解析】由题意知，，，，因此．‎ ‎15．的展开式中的系数是 A．－20 B．－5 C．5 D．20‎ A【解析】由二项展开式的通项可得，第四项，故的系数为－20，选A．‎ ‎16．从这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B【解析】从1、2、3、4、5、这五个数字中，随机抽取两个不同的数字，‎ 基本事件总数n，这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m4，‎ ‎∴这两个数字的和为偶数的概率为p．故选：B．‎ ‎17．将甲、乙、丙、丁四人分配到、、三所学校任教，每所学校至少安排人，则甲不去学校的不同分配方法有（ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎【答案】B【解析】解：根据题意，分两种情况讨论，‎ ‎①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，有种情况，‎ ‎②没有人与甲在同一个学校，则有种情况；‎ 则若甲要求不到学校，则不同的分配方案有种；故选：B．‎ ‎18．张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸 ，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是（ ）‎ A．12 B．24 C．36 D．48‎ ‎【答案】B【解析】先安排首尾两个位置的男家长，共有种方法；将两个小孩作为一个整体，与剩下的另两位家长安排在两位男家长的中间，共有种方法．由分步乘法计数原理可得所有的排法为种．故选B．‎ ‎19．第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种 A．60 B．90 C．120 D．150‎ ‎【答案】D【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①、将5项工作分成3组，‎ 若分成1、1、3的三组，有10种分组方法，若分成1、2、2的三组，有15种分组方法，则将5项工作分成3组，有10+15＝25种分组方法；②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有A33＝6种情况，则有25×6＝150种不同的分组方法；故选：D．‎ ‎20.有名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有（ ）‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】B【解析】首先将甲排在中间，乙、丙两位同学不能相邻，则两人必须站在甲的两侧，‎ 选出一人排在左侧，有：种方法，另外一人排在右侧，有种方法，余下两人排在余下的两个空，有种方法，综上可得：不同的站法有种.本题选择B选项 二、填空题 ‎21．(2018全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有___种．（用数字填写答案）‎ ‎16【解析】通解 可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有 ‎（种）；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有（种）．‎ 根据分类加法计数原理知，至少有l位女生人选的不同的选法有16种．‎ 优解 从6人中任选3人，不同的选法有（种），从6人中任选3人都是男生，不同的选法有（种），所以至少有1位女生入选的不同的选法有20–4 =16（种）．‎ ‎22．(2018浙江)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数．(用数字作答)‎ ‎1260【解析】若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为．综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为+ =720+ 540 =1 260．‎ ‎23．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）‎ ‎660【解析】分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各一人，有种不同的选法，根据分步乘法计数原理共有种不同的选法．‎ ‎24．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）‎ ‎1080【解析】分两种情况，只有一个数字为偶数有个，没有偶数有个，所以共有个．‎ ‎25．某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）‎ ‎1560 【解析】由题意，故全班共写了1560条毕业留言．‎ ‎26．(2018天津)在的展开式中，的系数为 ．‎ ‎【解析】，令，得，‎ 所以的系数为．‎ ‎27．(2018浙江)二项式的展开式的常数项是___________．‎ ‎7【解析】，令，解得，所以所求常数项为．‎ ‎28．（2017浙江）已知多项式=，则=___，=___．‎ ‎16,4【解析】将变换为，则其通项为，取和可得，，令，得．‎ ‎29．已知的展开式中含有项的系数是，则 ．‎ ‎4【解析】，令得：，解得．‎ ‎30．若的展开式中的系数是-80，则实数a=_______．‎ ‎【解析】因为，所以由，‎ 因此 ‎31．的展开式中，x3的系数是 ．（用数字填写答案）‎ ‎【解析】由得，令得，此时系数为10．‎ ‎32．如下图中、、、、、六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有种颜色可供选择，则共有_________种不同的染色方案.‎ ‎【答案】【解析】要完成给出的图形中、、、、、六个区域进行染色，‎ 染色方法分为两类，第一类是仅用三种颜色染色，即同色，同色，同色，即从四种颜色中取三种颜色，有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法；‎ 第二类是用四种颜色染色，即、、三组中有一组不同色，则有种方案（不同色或不同色或不同色），先从四种颜色中取两种染同色区域有种染法，剩余两种染在不同色区域有种染法，共有种染法.由分类加法原理可得总的染色方法种数为（种）.‎ ‎33.已知，则的值为 .‎ ‎【答案】【解析】试题分析：令，得，令，得 ‎，‎ 联立得：，故答案为.‎