2018-2019学年河南省洛阳市第一中学高一12月月考数学试题（解析版）

2018-2019学年河南省洛阳市第一中学高一12月月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年河南省洛阳市第一中学高一12月月考数学试题 一、单选题 ‎1．如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）‎ A．6 B．8 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求．‎ ‎【详解】‎ 作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C′B′∥x′轴，‎ 所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变，‎ 点C′和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2倍，‎ 则OB＝2，所以OC＝3，则四边形OABC的长度为8．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面图形的直观图，考查了数形结合思想，解答此题的关键是掌握平面图形的直观图的画法，能正确的画出直观图的原图形．‎ ‎2．一个三棱锥的三视图如右图所示，则这个三棱锥的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由三视图可画出该三棱锥的直观图，如图 ，图中正四棱住的底面边长为 ，高为 ，棱锥的四个面有三个为直角三角形，一个为腰长为 ，底长 的等腰三角形，其面积分别为： ，所以三棱锥的表面积为，故选B.‎ ‎【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.‎ ‎3．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线（　　）‎ A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：分别在两个互相平行的平面内的两条直线，没有公共点，故平行或异面．‎ 解：分别在两个互相平行的平面内的两条直线，没有公共点，故平行或异面，‎ 故选：D．‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎4．已知函数的定义域为(－1,0)，则函数的定义域为(　　)‎ A．(-1,1) B．(-1，- ) C．(，1) D．(-1,0)‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据原函数的定义域为的范围，解不等式组即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 原函数的定义域为，‎ ‎，即，‎ 解得，‎ 函数的定义域为 ，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.‎ ‎5．已知定义域为的函数满足，当时单调递减且，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，‎ ‎∴函数的图象关于直线对称，‎ 又当时单调递减，‎ ‎∴当时单调递增。‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ 解得。‎ ‎∴实数的取值范围是。选B。‎ ‎6．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是（ ）‎ A．EF与BB1垂直 ‎ B．EF与BD垂直 C．EF与CD异面 ‎ D．EF与A1C1异面 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：可以证明答案A、B、C是正确的．同时，设AB、BC的中点分别为G、H，连接GH．显然EF∥GH，GH∥AC，AC∥A1C1，所以EF∥A1C1即答案D是错误的．‎ ‎【考点】以正方体为载体的异面直线的判断．‎ ‎7．设直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1、CC1上，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：为直三棱柱，且，‎ ‎．‎ ‎．故C正确．‎ ‎【考点】棱锥的体积．‎ ‎8．设m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列四个命题中为真命题的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β D．若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n ‎【答案】D ‎【解析】根据空间直线和平面平行的判定定理和性质定理分别进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ A．平行同一平面的两个直线不一定平行，故A错误，‎ B．平行同一直线的两个平面不一定平行，故B错误，‎ C．根据直线平行的性质可知α∥β不一定成立，故C错误，‎ D．根据面面平行的性质定理得，若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n成立，故D正确 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间直线和平面平行的位置的关系的判定，利用相应的性质定理和判定定理是解决本题的关键．‎ ‎9．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是(　　) ‎ A．平面ABC⊥平面BED B．平面ABC⊥平面ABD C．平面ABC⊥平面ADC D．平面ABD⊥平面BDC ‎【答案】A ‎【解析】利用面面垂直的判定定理逐一判断即可．‎ ‎【详解】‎ 连接DE，BE．因为E为对角线AC的中点，‎ 且AB＝BC，AD＝CD，‎ 所以DE⊥AC，BE⊥AC．‎ 因为DE∩BE＝E，‎ 所以AC⊥面BDE．‎ AC⊂面ABC，‎ 所以平面ABC⊥平面BED，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了面面垂直的判定，要求熟练掌握面面垂直的判定定理．‎ ‎10．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题得几何体的原图为图中的四棱锥A-BCDE, 四棱锥A-BCDE的外接球和长方体的外接球重合，因为长方体的外接球直径 所以该几何体的外接球的体积为故选D.‎ 点睛：模型法是求几何体外接球半径的一种重要方法.先把几何体放在长方体中，使几何体的顶点都在长方体的顶点里，再根据长方体的外接球半径公式求出外接球的半径.‎ ‎11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，设AC、BD交于O，连A1O，‎ ‎∵BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1=A，‎ ‎∴BD⊥平面AA1O，‎ ‎∴BD⊥A1O，‎ ‎∴∠A1OA为二面角的平面角．‎ 在中，.‎ 即截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于。选C。‎ 点睛：‎ 求二面角时要体现“一找二证三计算”的解题思路，其中作出二面角的平面角是解题的关键。作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．‎ ‎12．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱是AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′，DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四种说法：‎ ‎（1）平面MENF⊥平面BDD′B′；‎ ‎（2）当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；‎ ‎（3）四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；‎ ‎（4）四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，以上说法中正确的为（　）‎ A．（2）（3） B．（1）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）‎ ‎【答案】C ‎【解析】（1）利用面面垂直的判定定理去证明EF⊥平面BDD′B′；（2）四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可；（3）判断周长的变化情况；（4）求出四棱锥的体积，进行判断．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以正确；‎ ‎（2）连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以正确；‎ ‎（3）因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L＝f（x）不单调．所以错误；‎ ‎（4）连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V＝h（x）为常函数，所以正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．‎ 二、填空题 ‎13．如图，长方体中，，点分别是的中点，则异面直线与所成的角是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析： 连接 ,直线A1E与GF所成角即，在中 ,所以直线A1E与GF所成角等于 ‎【考点】异面直线所成角 点评：求异面直线所成角步骤：1平移成相交直线，2找到异面直线所成角，3正余弦定理解三角形求出角的大小 ‎14．半径分别为5，6的两个圆相交于A，B两点，AB=8，且两个圆所在平面相互垂直，则它们的圆心距为__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：设两圆的圆心分别为 ， 的中点为 ，由题意可知：‎ ‎ ，‎ 则： .‎ ‎15．已知a，b为直线，α，β，γ为平面，有下列四个命题：‎ ‎（1）a∥α，b∥β，则a∥b；‎ ‎（2）a⊥γ，b⊥γ，则a∥b；‎ ‎（3）a∥b，b⊂α，则a∥α；‎ ‎（4）a⊥b，a⊥α，则b∥α；‎ 其中正确命题是__．‎ ‎【答案】②‎ ‎【解析】对于①，，则，位置关系不确定，的位置关系不能确定；对于②，由垂直于同一平面的两直线平行知，结论正确；对于③，，则或；对于④，，则或，故答案为②. ‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题. 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.‎ ‎16．.关于函数,有下列命题:‎ ‎①其图象关于原点对称；②当x＞0时, f(x)是增函数；当x＜0时, f(x)是减函数；‎ ‎③f(x)的最小值是ln2；④f(x)在区间(0,1)和(－∞,－2)上是减函数；‎ ‎⑤f(x)无最大值,也无最小值.‎ 其中所有正确结论的序号是_________．‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】‎ 为偶函数，故①错误 ‎，‎ 当时，先减后增，②错 当时，，③正确 在和上是减函数，④正确 存在最小值，故⑤错误 故其中所有正确结论的序号是③④‎ 点睛：本题考查了函数的奇偶性、单调性及最值情况，这里在解题时运用各知识点的概念，运用定义来判定，在求单调性时注意复合函数同增异减来判定函数的单调性，由单调性判定函数的最值情况。‎ 三、解答题 ‎17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，F为AC和BD的交点．‎ ‎（1）证明：PB∥平面AEC；‎ ‎（2）证明：平面PAC⊥平面PBD．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】（1）连接EF，利用中位线定理得出EF∥PB，故而PB∥平面AEC；‎ ‎（2）由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，结合AC⊥BD可得BD⊥平面PAC，故而平面PAC⊥平面PBD．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）证明：连接EF，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴F是BD的中点，又E是PD的中点，‎ ‎∴PB∥EF，又EF⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，‎ ‎∴PB∥平面AEC；‎ ‎（2）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥BD，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，‎ 又AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，‎ ‎∴BD⊥平面PAC，又∵BD⊂平面PBD，‎ ‎∴平面PAC⊥平面PBD．‎ ‎【点睛】‎ 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎18．在120°的二面角α－－β的两个面内分别有点A，B，A∈α，B∈β，A，B到棱l的距离AC，BD分别是2，4，且线段AB＝10.‎ ‎(1)求C，D间的距离；‎ ‎(2)求直线AB与平面β所成角的正弦值．‎ ‎【答案】(1)6 (2)‎ ‎【解析】（1）要求CD长，应将CD放在三角形中，过点C作BD的平行线，取CE＝BD＝4，根据余弦定理可求出AE的长，最后在直角三角形AEB求出BE长，而四边形BECD为矩形，即可求出所求；‎ ‎（2）在△ACD所在的平面内，作AF⊥CD交CD的延长线于点F，利用面面垂直的性质即可证明AF⊥平面Q，从而得到∠ABF是直线AB和平面Q所成的角．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）过点C作BD的平行线，取CE＝BD＝4，‎ ‎∵AC⊥l，而CE⊥l，则∠ACE＝120°‎ 根据余弦定理可知cos∠ACE 解得：AE 而三角形AEB为直角三角形，则BE＝6‎ 即CD＝6‎ ‎（2）在△ACE所在的平面内，作AO⊥CE交CE的反向延长线于点O．‎ ‎∵平面ACE⊥平面β，∴AF⊥平面β．‎ 在△ACO中，∠ACO＝60°，AC＝2，∴AO．‎ 连接OB，于是∠ABO是AB和平面β所成的角，‎ 在△ABO为直角三角形，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.‎ ‎19．如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．‎ ‎（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；‎ ‎（2）若AC=1，PA=1，求圆心O到平面PBC的距离．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2） .‎ ‎【解析】（1）证明AC⊥BC，PA⊥BC，然后证明BC⊥平面PAC，转化证明平面PAC⊥平面PBC；‎ ‎（2）过A点作AD⊥PC于点D，连BD，取BD的中点E，连OE，说明OE长就是O到平面PBC的距离，然后求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）证明：由AB是圆的直径得AC⊥BC，‎ 由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC ‎∴BC⊥平面PAC，‎ 又∴BC⊂平面PBC，‎ 所以平面PAC⊥平面PBC ‎（2）过A点作AD⊥PC于点D，则由（1）知AD⊥平面PBC，‎ 连BD，取BD的中点E，连OE，则OE∥AD，‎ 又AD⊥平面PBCOE⊥平面PBC，‎ 所以OE长就是O到平面PBC的距离．‎ 由中位线定理得 ‎【点睛】‎ 本题考查平面与平面垂直的判定定理以及点、线、面距离的求法，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎20．如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=2，AC=BC，F 是AB上一点，且AF=AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知：, ‎ ‎（1）求证：AD⊥平面BCE；‎ ‎（2）求三棱锥A﹣CFD的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2） .‎ ‎【解析】（1）根据直径所对的圆周角为直角，得到AD⊥BD，结合CE⊥平面ADB得AD⊥CE，所以AD⊥平面BCE；‎ ‎（2）由已知条件求出F到AD的距离等于E到AD的距离，由VA﹣CFD＝VC﹣AFD，利用等积法能求出三棱锥A﹣CFD的体积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：依题AD⊥BD，‎ ‎∵CE⊥平面ABD，∴CE⊥AD，‎ ‎∵BD∩CE=E，‎ ‎∴AD⊥平面BCE．‎ ‎（2）由（2）知AD∥EF，AD⊥ED，‎ 且ED=BD﹣BE=1，‎ ‎∴F到AD的距离等于E到AD的距离为1．‎ ‎∴S△FAD==．‎ ‎∵CE⊥平面ABD，‎ ‎∴VA﹣CFD=VC﹣AFD===．‎ ‎【点睛】‎ 求解空间几何体体积的常用策略：‎ ‎（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；‎ ‎（2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可；‎ ‎（3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用.‎ ‎（4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何体的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题.‎ ‎21．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD是正三角形．‎ ‎（1）求证：AD⊥PB；‎ ‎（2）已知点M是线段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求实数λ的值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）2.‎ ‎【解析】（1）连结BD，则△ABD为正三角形，从而AD⊥BQ，AD⊥PQ，进而AD⊥平面PQB，由此能证明AD⊥PB；‎ ‎（2）连结AC，交BQ于N，连结MN，由AQ∥BC，得，根据线面平行的性质定理得MN∥PA，由此能求出实数λ的值．‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）如图，连结BD，由题意知四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，‎ ‎∴△ABD为正三角形，‎ 又∵AQ=QD，∴Q为AD的中点，∴AD⊥BQ，‎ ‎∵△PAD是正三角形，Q为AD中点，‎ ‎∴AD⊥PQ，又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，‎ 又∵PB⊂平面PQB，∴AD⊥PB．‎ 解：（2）连结AC，交BQ于N，连结MN，‎ ‎∵AQ∥BC，∴，‎ ‎∵PN∥平面MQB，PA⊂平面PAC，‎ 平面MQB∩平面PAC=MN，‎ ‎∴根据线面平行的性质定理得MN∥PA，‎ ‎∴，‎ 综上，得，∴MC=2PM，∵MC=λPM，∴实数λ的值为2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线线垂直的证明，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（1，3）；（2） .‎ ‎【解析】（1）设t＝2x，利用f（x）＞16﹣9×2x，转化不等式为二次不等式，求解即可；‎ ‎（2）利用函数的奇偶性以及函数恒成立，结合对勾函数的图象与性质求解函数的最值，推出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设t=2x，由f（x）＞16﹣9×2x得：t﹣t2＞16﹣9t，‎ 即t2﹣10t+16＜0 ‎ ‎∴2＜t＜8，即2＜2x＜8，∴1＜x＜3‎ ‎∴不等式的解集为（1，3）．‎ ‎（2） 由题意得 解得. ‎ ‎2ag（x）+h（2x）≥0，即，对任意x∈[1，2]恒成立，‎ 又x∈[1，2]时，令，‎ 在上单调递增，‎ 当时，有最大值，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数与方程的综合应用，二次函数的性质，对勾函数的图像与性质以及函数恒成立的转化，考查计算能力．‎