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文档介绍
高考数学二轮复习教案:仿真模拟卷四
仿真模拟卷四 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|x≥1},B={x|2x-3>0},则A∪B=( ) A.[0,+∞) B.[1,+∞) C. D. 答案 B 解析 因为B={x|2x-3>0}=,A={x|x≥1},所以A∪B=[1,+∞). 2.已知复数z满足(1-i)z=2i(i为虚数单位),则=( ) A.-1-i B.-1+i C.1+i D.1-i 答案 A 解析 由(1-i)z=2i,得z===-1+i,∴=-1-i. 3.设a,b是空间两条直线,则“a,b不平行”是“a,b是异面直线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由a,b是异面直线⇒a,b不平行.反之,若直线a,b不平行,也可能相交,不一定是异面直线. 所以“a,b不平行”是“a,b是异面直线”的必要不充分条件. 4.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg ,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10-10.1 答案 A 解析 两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg ,令m2=-1.45,m1=-26.7,则lg =(m2-m1)=×(-1.45+26.7)=10.1,从而=1010.1. 5.执行如图所示的程序框图,若输出结果为1,则可输入的实数x的值的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 根据题意,该框图的含义是: 当x≤2时,得到函数y=x2-1;当x>2时,得到函数y=log2x, 因此,若输出的结果为1时, 若x≤2,得到x2-1=1,解得x=±, 若x>2,得到log2x=1,无解, 因此,可输入的实数x的值可能为-,,共有2个. 6.安排A,B,C,D,E,F,共6名义工照顾甲、乙、丙三位老人,每两位义工照顾一位老人,考虑到义工与老人住址距离问题,义工A不安排照顾老人甲,义工B不安排照顾老人乙,则安排方法共有( ) A.30种 B.40种 C.42种 D.48种 答案 C 解析 6名义工照顾三位老人,每两位义工照顾一位老人共有CC=90种安排方法,其中A照顾老人甲的情况有CC=30种,B照顾老人乙的情况有CC=30种,A照顾老人甲,同时B照顾老人乙的情况有CC=12种,所以符合题意的安排方法有90-30-30+12=42种. 7.在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为E,则·=( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 如图,由AB=3,AD=4,得 BD==5, AE==. 又·=·(+) =·+·=·+·, ∵AE⊥BD,∴·=0, 又·=||||·cos∠EAO=||||·=||2=,∴·=. 8.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为( ) A.8++ B.8++ C.6++ D.6++ 答案 B 解析 由三视图可知,该几何体是由半个圆锥与一个四棱锥组合而成,如图所示, 其中圆锥的底面半径为1,高为,母线长为2,四棱锥的底面是边长为2的正方形,高为,取BC的中点N,连接MN,PN,则该几何体的表面积为S=π×1×2+×π×12+2×2+2×+×2×=+8+. 9.若函数y=f(x)的大致图象如图所示,则f(x)的解析式可以是( ) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 答案 C 解析 当x→0时,f(x)→±∞,而A中的f(x)→0,排除A;当x<0时,f(x)<0,而B中x<0时,f(x)=>0,D中,f(x)=>0,排除B,D. 10.已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,则a的取值范围是( ) A.[1,+∞) B.[-1,4) C.[-1,+∞) D.[-1,6] 答案 C 解析 不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,等价于a≥-22对于x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,令t=,则1≤t≤3,∴a≥t-2t2在[1,3]上恒成立,∵y=-2t2+t=-22+,∴t=1时,ymax=-1, ∴a≥-1,故a的取值范围是[-1,+∞). 11.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,e为双曲线的离心率,P是双曲线右支上的点,△PF1F2的内切圆的圆心为I,过F2作直线PI的垂线,垂足为B,则|OB|等于( ) A.a B.b C.ea D.eb 答案 A 解析 如图,延长F2B交PF1于点C,在△PCF2中,由题意,得它是一个等腰三角形,|PC|=|PF2|,B为CF2的中点, ∴在△F1CF2中,有|OB|=|CF1|=(|PF1|-|PC|)=(|PF1|-|PF2|)=×2a=a. 12.设min{m,n}表示m,n二者中较小的一个,已知函数f(x)=x2+8x+14,g(x)=min(x>0).若∀x1∈[-5,a](a≥-4),∃x2∈(0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,则a的最大值为( ) A.-4 B.-3 C.-2 D.0 答案 C 解析 由题意得g(x)= 则g(x)max=g(1)=2.在同一坐标系作出函数f(x)(-5≤x≤a)和g(x)(x>0)的图象,如图所示. 由f(x)=2,得x=-6或-2,∵∀x1∈[-5,a], ∃x2∈(0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立, ∴-4≤a≤-2,∴a的最大值为-2. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知点P(x,y)满足条件则点P到原点O的最大距离为________. 答案 解析 画出表示的可行域如图阴影部分所示(含边界), 由得 由图得,当点P的坐标为(-5,3)时,点P到原点的距离最大,且最大值为=. 14.函数f(x)=·的最小正周期为________,最大值为________. 答案 π 解析 f(x)=·==cos,∴f(x)的最小正周期为T==π,最大值为. 15.从4男2女共6名学生中选出队长1人、副队长1人、普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有________种不同的选法.(用数字作答) 答案 168 解析 第一类,先选1女3男,有CC=8(种),从这4人中选2人作为队长和副队长有A=12(种),故有8×12=96(种);第二类,先选2女2男,有CC=6(种),从这4人中选2人作为队长和副队长有A=12(种),故有6×12=72(种),根据分类加法计数原理共有96+72=168(种). 16.如图,在△ABC中,sin=,点D在线段AC上,且AD=2DC,BD=,则△ABC的面积的最大值为________. 答案 3 解析 由sin=,可得cos=, 则sin∠ABC=2sincos=. 由sin=<可知,0°<<45°, 则0°<∠ABC<90°, 由同角三角函数基本关系可知,cos∠ABC=. 设AB=x,BC=y,AC=3z(x>0,y>0,z>0), 在△ABD中,由余弦定理可得, cos∠BDA=, 在△CBD中,由余弦定理可得, cos∠BDC=, 由∠BDA+∠BDC=180°, 故cos∠BDA=-cos∠BDC, 即=-, 整理可得16+6z2-x2-2y2=0. ① 在△ABC中,由余弦定理可知, x2+y2-2xy×=(3z)2, 则6z2=x2+y2-xy, 代入①式整理计算可得,x2+y2+xy=16, 由基本不等式可得, 16≥2+xy=xy, 故xy≤9,当且仅当x=3,y=时等号成立, 据此可知,△ABC面积的最大值为Smax=(AB·BC)max·sin∠ABC=×9×=3. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知数列{an}满足:an≠1,an+1=2-(n∈N*),数列{bn}中,bn=,且b1,b2,b4成等比数列. (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)若Sn是数列{bn}的前n项和,求数列的前n项和Tn. 解 (1)证明:bn+1-bn=-=-=-=1, ∴数列{bn}是公差为1的等差数列. (2)由题意可得b=b1b4,即(b1+1)2=b1(b1+3),∴b1=1,∴bn=n, ∴Sn=,∴==2, Tn=2× =2×=. 18.(本小题满分12分)《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词,寻文化基因,品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目,邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼.“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成,成员上至古稀老人,下至垂髫小儿,人数按照年龄分组统计如下表: 分组(年龄) [7,20) [20,40) [40,80] 频数(人) 18 54 36 (1)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战,求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数; (2)在(1)中抽出的6人中,任选2人参加一对一的对抗比赛,求这2人来自同一年龄组的概率. 解 (1)∵样本容量与总体个数的比是=, ∴样本中包含3个年龄段的个体数,分别是: 年龄在[7,20)的人数为×18=1, 年龄在[20,40)的人数为×54=3, 年龄在[40,80]的人数为×36=2, ∴ 从这三个不同年龄组[7,20),[20,40),[40,80]中分别抽取的挑战者的人数为1,3,2. (2)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战,这三个不同年龄组[7,20),[20,40),[40,80]中分别抽取的挑战者的人数为1,3,2. 从抽出的6人中,任选2人参加一对一的对抗比赛,基本事件总数为n=C=15, 这2人来自同一年龄组包含的基本事件个数为m=C+C=4, ∴这2人来自同一年龄组的概率P==. 19.(本小题满分12分)如图,在各棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为棱A1B1与BB1的中点,M,N为线段C1D上的动点,其中,M更靠近D,且MN=C1N. (1)证明:A1E⊥平面AC1D; (2)若NE与平面BCC1B1所成角的正弦值为,求异面直线BM与NE所成角的余弦值. 解 (1)证明:由已知得△A1B1C1为正三角形,D为棱A1B1的中点, ∴C1D⊥A1B1, 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面A1B1C1,C1D⊂底面A1B1C1,则AA1⊥C1D. 又A1B1∩AA1=A1,A1B1,AA1⊂平面ABB1A1, ∴C1D⊥平面ABB1A1,又A1E⊂平面ABB1A1, ∴C1D⊥A1E. 易证A1E⊥AD,又AD∩C1D=D,AD,C1D⊂平面AC1D, ∴A1E⊥平面AC1D. (2)取BC的中点O,B1C1的中点O1,连接AO,则AO⊥BC,OO1⊥BC,OO1⊥AO, 以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则B(0,1,0),E(0,1,1), C1(0,-1,2),D, 设=λ=, 则=-=(0,2,-1)- =, 易知n=(1,0,0)是平面BCC1B1的一个法向量, ∴|cos〈,n〉|==, 解得λ=,λ=-(舍去). ∴=,=2λ=, =+=, ∴cos〈,〉==-, ∴异面直线NE与BM所成角的余弦值为. 20.(本小题满分12分)已知A,F分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点、右焦点,点P为椭圆C上一动点,当PF⊥x轴时,|AF|=2|PF|. (1)求椭圆C的离心率; (2)若椭圆C上存在点Q,使得四边形AOPQ是平行四边形(点P在第一象限),求直线AP与OQ的斜率之积; (3)记圆O:x2+y2=为椭圆C的“关联圆”.若b=,过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线,切点为M,N,直线MN在x轴和y轴上的截距分别为m,n,求证:+为定值. 解 (1)由PF⊥x轴,知xP=c,代入椭圆C的方程, 得+=1,解得yP=±. 又|AF|=2|PF|,所以a+c=,所以a2+ac=2b2, 即a2-2c2-ac=0,所以2e2+e-1=0, 由0查看更多
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