江苏高考数学二轮复习教案学案课后训练含完整答案整套word稿课时答案

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专题一 集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用 第 1 讲 集合与简单逻辑用语 1. x＜0，有 x2≤0 2. (2,3) 解析：M＝(－∞，3)，N＝(2，＋∞)，∴ M∩N＝(2,3)． 3. (－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析：不等式对应的二次函数开口向上，则Δ＝(a－1)2－4 ＞0. 4. [－1,1] 解析：集合 A＝[－1,1]，B＝(－∞，1]，∴ A∩B＝A. 5. 2 15 解析： 0≤a， a＋4 5 ≤1 0≤a≤1 5 ， b－1 3 ≥0， b≤1 1 3 ≤b≤1，利用数轴，分类讨 论可得集合 A∩B 的“长度”的最小值为1 3 －1 5 ＝ 2 15. 6. －1 2 ，1 3 解析：p：x2＋x－6＜0 为真，则不等式的解集为 A＝(－3,2)，由 q：mx ＋1＞0 得 m＝0 时，解集为 B＝R，m＞0 时，解集为 B＝ －1 m ，＋∞ ，m＜0 时，解集为 B ＝ －∞，－1 m ，m＝0 时，A B 成立；m＞0 时，－1 m ≤－3,0＜m≤1 3 ；m＜0 时，－1 m ≥2， －1 2 ≤m＜0，综上 m∈ －1 2 ，1 3 . 7. 12 解析：这是一个典型的用韦恩图来求解的问题，如图．设两者都喜欢的人数为 x， 则只喜爱篮球的有 15－x，只喜爱乒乓球的有 10－x，由此可得(15－x)＋(10－x)＋x＋8＝30， 解得 x＝3，所以 15－x＝12，即所求人数为 12. 8. (－∞，－4)∪(4 2，＋∞) 解析：两集合分别表示半圆和直线，画图利用几何性质 可得答案． 9. 解：(1) 2－x＋3 x＋1 ≥0 2x＋2－x＋3 x＋1 ≥0 x－1 x＋1 ≥0 (x－1)(x＋1)≥0 且 x≠－1 x≥1 或 x＜－1.∴ 集合 A＝{x|x≥1 或 x＜－1}． (2) (x－a－1)(2a－x)＞0(a<1) (x－a－1)(x－2a)＜0.∵ a＜1，∴ 2a＜a＋1.∴ 2a＜x＜a ＋1.∴ 不等式的解为 2a＜x＜a＋1.∴ 集合 B＝{x|2a＜x＜a＋1}．∵ B A，∴ 2a≥1 或 a ＋1≤－1，∴ a≥1 2 或 a≤－2.又 a<1，则实数 a 的取值范围是(－∞，－2]∪ 1 2 ，1 . 10. 解：若命题 p 为真，则 m2－4＞0， －m＜0 m＞2.若命题 q 为真，Δ＝16(m－2)2－16 ＜0,1＜m＜3.p 或 q 为真，p 且 q 为假，所以若命题 p 为真，命题 q 为假，则 m≥3；若命题 p 为假，命题 q 为真，则 1＜m≤2，综上，则实数 m 的取值范围是{m|1＜m≤2 或 m≥3}． 第 2 讲 函数、图象及性质 1. f(x)＝(x－2)2 解析：函数满足 f(x)＝f(x＋2)，函数周期为 2.则 x∈[2,3]，x－2∈[0,1]， f(x)＝f(x－2)＝(x－2)2. 2. (0,1] 解析：y＝ x x－m ＝1＋ m x－m ，由反比例函数性质可得到 0＜m≤1；也可以用导 数求得． 3. 1 2 解析：f(－x)＝ 1 2－x－1 ＋a＝ 2x 1－2x ＋a，f(－x)＝－f(x) 2x 1－2x ＋a＝－ 1 2x－1 ＋a 2a＝ 1 1－2x － 2x 1－2x ＝1，故 a＝1 2 ；也可用特殊值代入，但要 检验． 4. 1＜a＜ 2 解析：函数为奇函数，在(－1,1)上单调递减，f(1－a)＋f(1－a2)＞0，得 f(1 －a)＞f(a2－1)．∴ －1＜1－a＜1， －1＜1－a2＜1 1－a＜a2－1 ， 1＜a＜ 2. 5. [3，＋∞) 解析： |x－2|－1≥0， x－1＞0， x－1≠1 x－2≥1 或 x－2≤－1， x＞1， x≠2 x≥3. 6. 2 解析：函数满足 f(x＋2)＝ 1 fx ，故 f(x＋4)＝ 1 fx＋2 ＝f(x)，函数周期为 4，f(2 012) ＝f(0)，又 f(2)＝ 1 f0 ，∴ f(0)＝2. 7. 3 解析：画图可知a＋－1 2 ＝1，a＝3，也可利用 f(0)＝f(2)求得，但要检验． 8. 1 解析：由 y＝|x2－2x－t|得 y＝|(x－1)2－1－t|，函数最大值只能在 y(0)，y(1)，y(3) 中取得，讨论可得只有 t＝1 时成立． 9. 解：(1) ∵ f(a＋2)＝18，f(x)＝3x，∴ 3a＋2＝18 3a＝2， ∴ g(x)＝(3a)x－4x＝2x－4x，x∈[－1,1]． (2) g(x)＝－(2x)2＋2x＝－ 2x－1 2 2＋1 4 ，当 x∈[－1,1]时，2x∈ 1 2 ，2 ，令 t＝2x，∴ y＝ －t2＋t＝－ t－1 2 2＋1 4 ，由二次函数单调性知当 t∈ 1 2 ，2 时 y 是减函数，又 t＝2x 在[－1,1] 上是增函数，∴ 函数 g(x)在[－1,1]上是减函数．(也可用导数的方法证明) (3) 由(2)知 t＝2x,2x∈ 1 2 ，2 ，则方程 g(x)＝m 有解 m＝2x－4x 在[－1,1]内有解 m＝t－t2＝－ t－1 2 2＋1 4 ，t∈ 1 2 ，2 ， ∴ m 的取值范围是 －2，1 4 . 10. (1) 证明：取 x＝y＝0，f(0)＝f(0)＋f(0)，∴ f(0)＝0，取 y＝－x，则 f(0)＝f(x)＋f(－ x)，∴ f(－x)＝－f(x)，故 f(x)是奇函数． (2)解： 任取 x2＞x1，则 x2－x1＞0，∴ f(x2－x1)＜0，又 f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2) －f(x1)＜0，∴ f(x2)＜f(x1)，f(x)在[－3,3]上单调递减，f(－3)＝－f(3)＝－3f(1)＝6，∴ f(x) 在[－3,3]上的最大值 f(－3)＝6，最小值 f(3)＝－6. 第 3 讲 基本初等函数 1. 2 解析：lg22＋lg2lg5＋lg50＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＋lg10＝lg2lg(2·5)＋lg5＋1＝2. 2. a∈(1,2) 解析：y＝loga(2－ax)是[0,1]上关于 x 的减函数，∴ a＞1， 2－a＞0 1＜a＜2. 3. [－3,1] 解析：2x2＋2x－4≤1 2 2x2＋2x－4≤2－1 x2＋2x－4≤－1 x2＋2x－3≤0 －3≤x≤－1. 4. (2,2) 5. a≥2 解析： 二次函数 f(x)＝－x2＋2ax－1＋a2 开口向下，对称轴 x＝－ 2a －2 ＝a，则 a≥2. 6. 1，31 27 解析：f(x)为偶函数，则 b＝0，又 a－1＋2a＝0，∴ a＝1 3 ，f(x)＝1 3x2＋1 在 －2 3 ，2 3 上的值域为 1，31 27 . 7. f(－25)＜f(80)＜f(11) 解析：∵ f(x－4)＝－f(x)，∴ f(x－4)＝f(x＋4)，∴ 函数周期 T＝8.∵ f(x)为奇函数，在区间[0,2]上是增函数，∴ f(x)在[－2,2]上是增函数．则 f(－25)＝f(－ 1)，f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(0)．∵ f(－1)＜f(0)＜f(1)，∴ f(－25)＜f(80)＜f(11)． 8. 4 解析：函数图象恒过定点(1,1)，从而 m＋n＝1，又 mn＞0，∴ 1 m ＋1 n ＝m＋n m ＋m＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥4，当且仅当 m＝n 时取等号，1 m ＋1 n 的最小值为 4. 9. 解：f(x)＝ 1 2px2－x＋3＝ 1 2p(x－p)2＋3－p 2. ① p≤－1 时，f(x)在[－1,2]上递减，M＝f(－1)＝ 1 2p ＋4，m＝f(2)＝2 p ＋1，由 2M＋m＝3， 得 p＝－1 2(舍)． ② －1＜p＜0，M＝f(p)＝3－p 2 ，m＝f(2)＝2 p ＋1，由 2M＋m＝3，得 p＝2－ 6，p＝2 ＋ 6(舍)． ③ 0＜p＜1 2 ，M＝f(2)，m＝f(p)，由 2M＋m＝3，得 p＝2±2 3(舍)． ④ 1 2 ≤p≤2，M＝f(－1)，m＝f(p)由 2M＋m＝3，得 p＝8± 66(舍)． ⑤ p＞2，M＝f(－1)，m＝f(2)由 2M＋m＝3，得 p＝－1 2(舍)． 综上，当 p＝2－ 6时，2M＋m＝3 成立． 10. 解：(1) 设 P(x0，y0)是 y＝f(x)图象上的点，Q(x，y)是 y＝g(x)图象上的点，则 x＝x0－2a， y＝－y0. ∴ x0＝x＋2a， y0＝－y. 又 y0＝loga(x0－3a)，∴ －y＝logax＋2a－3a ， ∴ y＝loga 1 x－a (x＞a)，即 y＝g(x)＝loga 1 x－a (x＞a)． (2) ∵ x－3a＞0， x－a＞0， ∴ x＞3a，∵ f(x)与 g(x)在 x∈[a＋2，a＋3]上有意义，∴ 3a＜a＋ 2,0 ＜ a ＜ 1 ， ∵ |f(x) － g(x)|≤1 恒 成 立 ， ∴ |loga(x － 3a)(x － a)|≤1 恒 成 立 ． ∴ －1≤loga[x－2a2－a2]≤1， 0＜a＜1 a≤(x－2a)2－a2≤1 a.对 x∈[a＋2，a＋3]时恒成立，令 h(x) ＝(x－2a)2－a2，其对称轴 x＝2a,2a＜2，而 2＜a＋2，∴ 当 x∈[a＋2，a＋3]时，h(x)min＝h(a ＋2)，h(x)max＝h(a＋3)． ∴ a≤hxmin， 1 a ≥hxmax a≤4－4a， 1 a ≥9－6a 0＜a≤9－ 57 12 . 第 4 讲 函数的实际应用 1. log32 解析：本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值． 由 x≤1， 3x＝2 x＝log32 或 x＞1， －x＝2 无解，故应填 log32. 2. 20% 解析：设该产品初始成本为 a，每年平均降低百分比为 p，则 a(1－p)2＝0.64a， ∴ p＝0.2. 3. m∈(1,2) 解析：令 f(x)＝x2－2mx＋m2－1，则 f0＞0， f1＜0， f2＜0， f3＞0. 解得 1＜m＜2. 4. a＞1 解析：设函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)和函数 y＝x＋a，则函数 f(x)＝ax－x－a(a>0 且 a≠1)有两个零点， 就是函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)与函数 y＝x＋a 有两个交点，由图象可 知当 0＜a＜1 时两函数只有一个交点，不符合要求，当 a＞1 时，因为函数 y＝ax(a＞1)的图 象过点(0,1)，而直线 y＝x＋a 所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实 数 a 的取值范围是 a＞1. 5. 14 解析：设每个销售定价为 x 元，此时销售量为 100－10(x－10)，则利润 y＝(x－ 8)[100－10(x－10)]＝10(x－8)(20－x)≤10 x－8＋20－x 2 2＝360，当且仅当 x＝14 时取等号． 6. －1，－1 3 解析：由题意得 f(1)·f(－1)＜0，即(3a＋1)(a＋1)＜0，－1＜a＜－1 3. 7. 6 解析： －a＋2 2 ＝1， a＋b 2 ＝1 b＝6. 8. ①③④ 解析：函数 f(x)＝－|x|x2＋bx2＋c 为偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝－x3＋bx2＋ c，b＜0，∴ f′(x)＝－3x x－2b 3 ≤0 对 x∈[0，＋∞)恒成立，∴ x＝0 时，f(x)在 R 上有最 大值，f(0)＝c；由于 f(x)为偶函数，②不正确；取 b＝3，c＝－2③正确；若 b＜0，取 a＝0， 若 b≥0，取 a＝2b 3 ，故一定存在实数 a，使 f(x)在[a，＋∞)上单调减． 9. (1)证明：由条件知 f(2)＝4a＋2b＋c≥2 恒成立． 又∵ x＝2 时，f(2)＝4a＋2b＋c≤1 8(2＋2)2＝2 恒成立，∴ f(2)＝2. (2)解： ∵ 4a＋2b＋c＝2， 4a－2b＋c＝0， ∴ 4a＋c＝2b＝1，∴ b＝1 2 ，c＝1－4a. 又 f(x)≥x 恒成立，即 ax2＋(b－1)x＋c≥0 恒成立． ∴ a＞0，Δ＝ 1 2 －1 2－4a(1－4a)≤0，∴(8a－1)2≤0. 解得：a＝1 8 ，b＝1 2 ，c＝1 2 ，∴ f(x)＝1 8x2＋1 2x＋1 2. (3)解：(解法 1) 由分析条件知道，只要 f(x)图象(在 y 轴右侧部分，包含与 y 轴交点)总 在直线 y＝m 2 x＋1 4 上方即可，也就是直线的斜率m 2 小于直线与抛物线相切时的斜率， ∴ y＝1 8x2＋1 2x＋1 2 ， y＝m 2x＋1 4 ， 解得 m∈ －∞，1＋ 2 2 . (解法 2)g(x)＝1 8x2＋ 1 2 －m 2 x＋1 2 ＞1 4 在 x∈[0，＋∞)必须恒成立， 即 x2＋4(1－m)x＋2＞0 在 x∈[0，＋∞)恒成立． ① Δ<0，即[4(1－m)]2－8<0，解得：1－ 2 2 ＜m＜1＋ 2 2 ； ② Δ≥0， －21－m≤0， f0＝2＞0， 解得：m≤1－ 2 2 . 综上，m∈ －∞，1＋ 2 2 . 10. (1)证明： 当 x≥7 时，f(x＋1)－f(x)＝ 0.4 x－3x－4 ， 而当 x≥7 时，函数 y＝(x－3)(x－4)单调递增，且(x－3)(x－4)>0， 故 f(x＋1)－f(x)单调递减， ∴ 当 x≥7 时，掌握程度的增长量 f(x＋1)－f(x)总是下降． (2)解： 由题意可知 0.1＋15ln a a－6 ＝0.85，整理得 a a－6 ＝e0.05， 解得 a＝ e0.05 e0.05－1 ·6＝20.50×6＝123.0,123.0∈(121,127]， 由此可知，该学科是乙学科． 第 5 讲 不等式及其应用 1. (－∞，－2)∪(3，＋∞) 2. (－1,2) 解析：由已知得 a＜0，b＝－a，ax－b x－2 ＞0 即为ax＋a x－2 ＞0，得x＋1 x－2 ＜0，得－ 1＜x＜2. 3. －6 解析：作出可行域，求出凸点坐标分别为(3，－3)，(4，－5)，(5，－1)，(6， －3)，则最优解为(4，－5)；或让直线 t＝x＋2y 平行移动，当直线过点(4，－5)时，目标函 数取最小值． 4. 1 16 解析：∵ x，y∈R＋，∴ 1＝x＋4y≥2 x·4y，∴ xy≤ 1 16 ，当且仅当 x＝4y，即 x ＝1 2 ，y＝1 8 时取等号． 5. 9 解析：∵ x＞0，y＞0，1 x ＋4 y ＝1，∴ x＋y＝(x＋y) 1 x ＋4 y ＝5＋y x ＋4x y ≥5＋2 y x·4x y ＝9，当且仅当y x ＝4x y ，即 x＝3，y＝6 时取等号． 6. m≤－5 解析：x2＋mx＋4＜0，x∈(1,2)可得 m＜－ x＋4 x ，而函数 y＝－ x＋4 x 在(1,2) 上单调增，∴ m≤－5. 7. 9 5 ，6 解析：变量 x，y 满足约束条件构成的区域是以(1,3)，(1,6)， 5 2 ，9 2 三点为 顶点的三角形区域(含边界)，y x 表示区域内的点与原点连线的斜率，∴ y x ∈ 9 5 ，6 8. x≥1 解析： n n＋1 ＝1－ 1 n＋1 ＜1，当 n 无限变大时， n n＋1 的值趋近于 1，不等式要恒 成立，显然 x＞1 2 ，2x－1 |x| ＞ n n＋1 等价于2x－1 x ≥1 且 x＞1 2 ，故 x≥1. 9. 解：(1) y＝2 150＋10×55＋ a 6x2＋1 3x 55－1 x ＝2 700 x ＋9ax＋18.(0＜x≤20，1 2 ≤a≤1)． (2) 当3 4 ≤a≤1 时，y≥2 2 700 x ·9ax＋18＝180 3a＋18. 当且仅当2 700 x ＝9ax，即 x＝ 300 a 时取等号． 即当 x＝ 300 a 时，ymin＝180 3a＋18； 当1 2 ≤a＜3 4 时，y′＝－2 700 x2 ＋9a＜0，故 y＝f(x)在(0,20]上是减函数， 故当 x＝20 时，ymin＝2 700 20 ＋180a＋18＝153＋180a. 答：若1 2 ≤a＜3 4 ，则当车队速度为 20 m/s 时，通过隧道所用时间最少； 若3 4 ≤a≤1 时，则当车队速度为 300 a m/s 时，通过隧道所用时间最少． 10. 解：(1) f0＝0， f－2＝0 b＝6， c＝0， ∴ f(x)＝3x2＋6x； (2) g(x)＝3 x＋ 1＋m 6 2－2－3× 1＋m 6 2，－ 1＋m 6 ≤2，m≥－18； (3) f(x)＋n≤3 即 n≤－3x2－6x＋3，而 x∈[－2,2]时，函数 y＝－3x2－6x＋3 的最小值 为－21，∴ n≤－21，实数 n 的最大值为－21. 第 6 讲 导数及其应用 1. f(x)＝x2＋2x＋1 2. 9 8 解析：f′(2)＝4.5 －4 ＝－9 8 ，切线方程为 y＝－9 8x＋9 2 ，∴ f(2)＝9 4. 3. y＝x－1 解析：y′＝3x2－2，k＝y′x＝1＝1，则切线方程 y－0＝1·(x－1)， ∴ x－y－1＝0. 4. 0，π 2 ∪ 2π 3 ，π 解析：y′＝3x2－ 3≥－ 3，∴ tanα≥－ 3，0≤α＜π且α≠π 2 ，结 合正切函数图象可得答案． 5. a≥－4 解析： x∈(0，＋∞)，f′(x)＝1 x ＋4x＋a≥0 恒成立，由基本不等式1 x ＋4x ＋a≥4＋a，当且仅当 x＝1 2 时取等号，∴ a＋4≥0，∴ a≥－4. 6. 32 解析：f(x)＝x3－12x＋8，f′(x)＝3(x－2)(x＋2)，则 f(x)的单调增区间是[－3， －2]∪[2,3]，减区间是[－2,2]，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(3)＝－1，f(－2)＝24，∴ M＝24， m＝－8. 7. (－2,2) 解析：设 f(x)＝x3－3x＋a，f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)在 x＝－1 取极大值， 在 x＝1 时取极小值， f－1＞0， f1＜0 a＋2＞0， a－2＜0 －2＜a＜2. 8. 4 解析：若 x＝0，则不论 a 取何值，f(x)≥0 显然成立；当 x＞0 即 x∈(0,1]时，f(x) ＝ax3－3x＋1≥0 可化为，a≥ 3 x2 － 1 x3 ， 设 g(x)＝ 3 x2 － 1 x3 ，则 g′(x)＝31－2x x4 ，所以 g(x)在区间 0，1 2 上单调递增，在区间 1 2 ，1 上单调递减，因此 g(x)max＝g 1 2 ＝4，从而 a≥4； 当 x＜0 即 x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0 可化为 a≤ 3 x2 － 1 x3 ，设 g(x)＝ 3 x2 － 1 x3 ，则 g′(x) ＝31－2x x4 ＞0，显然 g(x)在区间[－1,0)上单调递增，因此 g(x)min＝g(－1)＝4，从而 a≤4， 综上，a＝4. 9. 解：(1) 因为函数 f(x)，g(x)的图象都过点(t,0)，所以 f(t)＝0，即 t3＋at＝0.因为 t≠0， 所以 a＝－t2.g(t)＝0，即 bt2＋c＝0，所以 c＝ab.又因为 f(x)，g(x)在点(t,0)处有相同的切线， 所以 f′(t)＝g′(t)而 f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx，所以 3t2＋a＝2bt.将 a＝－t2 代入上式得 b＝t.因此 c＝ab＝－t3.故 a＝－t2，b＝t，c＝－t3. (2) y＝f(x)－g(x)＝x3－t2x－tx2＋t3，y′＝3x2－2tx－t2＝(3x＋t)(x－t)，因为函数 y＝f(x) －g(x)在(－1,3)上单调递减，所以 y′x＝－1≤0， y′x＝3≤0. 即 －3＋t－1－t≤0， 9＋t3－t≤0， 解得 t≤－9 或 t≥3.所以 t 的取值范围为(－∞，－9]∪[3，＋∞)． 10. 解：(1) ∵ f(x)＝x3＋ax，g(x)＝x2＋bx，∴ f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2x＋b. x∈[－1，＋∞)，f′(x)g′(x)≥0，即 x∈[－1，＋∞)，(3x2＋a)(2x＋b)≥0，∵ a ＞0，∴3x2＋a＞0，∴ x∈[－1，＋∞)，2x＋b≥0，即∴ x∈[－1，＋∞)，b≥－2x， ∴ b≥2，则所求实数 b 的取值范围是[2，＋∞)． (2) b 的最小值为 2，h(x)＝x3－x2＋ax－2x，h′(x)＝3x2－2x＋a－2＝3 x－1 3 2＋a－7 3. 当 a≥7 3 时，h′(x)＝3x2－2x＋a－2≥0 对 x∈[－1，＋∞)恒成立，h(x)在[－1，＋∞)上单调 增，当 0＜a＜7 3 时，由 h′(x)＝3x2－2x＋a－2＝0 得，x＝1± 7－3a 3 ＞－1，∴h(x)在 －1，1－ 7－3a 3 上单调增，在 1－ 7－3a 3 ，1＋ 7－3a 3 上单调减，在 1＋ 7－3a 3 ，＋∞ 上单调增． 滚动练习(一) 1. 2 4 解析：f(x)＝xα，f(4)＝1 2 ，α＝－1 2 ，f(x)＝x－1 2 ，f(8)＝ 2 4 . 2. x∈R，都有 x2＋2x＋5≠0 3. (－∞，0] 解析：x＜－1 时，不等式可化为 x＋(x＋1)(－x－1＋1)≤1，－x2≤1，∴ x＜－1；x≥－1 时，不等式可化为 x＋x＋1≤1，x≤0，∴ －1≤x≤0，综上 x≤0. 4. 1 2 解析：考虑 x＞0 时，f(x)＝ x x＋1 ＝ 1 x＋ 1 x ≤1 2 ，当且仅当 x＝1 时取等号． 5. [－4,0)∪(0,1) 解析： x2－3x＋2≥0， －x2－3x＋4≥0， x≠0. 上面式中等号不能同时成立． 6. 2 解析：在同一个直角坐标系中作出函数 y＝ 1 2 x，y＝3－x2 的图象，两个函数图象 有两个交点． 7. (－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析：x2＋ax＞4x＋a－3 可化为(x－1)a＋x2－4x＋3＞0 对 a∈[0,4]恒成立，设 f(a)＝(x－1)a＋x2－4x＋3，∴ f0＞0， f4＞0. 解得 x＜－1 或 x＞3. 8. －1 或－25 64 解析： 设过(1,0)的直线与 y＝x3 相切于点(x0，x30)，所以切线方程为 y －x30＝3x20(x－x0)，即 y＝3x20x－2x30，又(1,0)在切线上，则 x0＝0 或 x0＝3 2 ，当 x0＝0 时，由 直线 y＝0 与抛物线 y＝ax2＋15 4 x－9 相切可得 a＝－25 64 ，当 x0＝3 2 时，由直线 y＝27 4 x－27 4 与 曲线 y＝ax2＋15 4 x－9 相切可得 a＝－1. 9. 2 008 解析：令 3x＝t，则 x＝log3t，则 f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4log23(log321＋2＋… ＋8)＋233×8＝2 008. 10. a≥2 解析：由 logax＋logay＝3，得 y＝a3 x ，函数 y＝a3 x 在 x∈[a,2a]上单调递减，得 其值域为 a3 2a ，a3 a ，由题知 a3 2a ，a3 a [a，a2]，∴ a≥2. 11. 解：p 为真，则|x－4|≤6 的解集为 A＝[－2,10]，q 为真，x2－2x＋1－m2≤0(m＞0) 的解集为 B＝[1－m,1＋m]，∵ p 是 q 的必要而不充分条件，∴ p 是 q 的充分而不必要 条件，∴ A＝[－2,10] B＝[1－m,1＋m]， ∴ 1＋m≥10， 1－m≤－2. 两式中等号不能同时成立，又 m＞0，∴ m≥9. 12. 解：(1) 令 g(x)＝f(x)－x＝x2＋(a－1)x＋a， 则由题意可得 Δ＞0， 0＜1－a 2 ＜1， g1＞0， g0＞0 a＞0， －1＜a＜1， a＜3－2 2或 a＞3＋2 2 0＜a＜3－2 2.故 所求实数 a 的取值范围是(0,3－2 2)． (2) f(0)·f(1)－f(0)＝2a2，令 h(a)＝2a2.∵ 当 a＞0 时 h(a)单调递增，∴ 当 0＜a＜3－2 2 时，0＜h(a)＜h(3－2 2)＝2(3－2 2)2＝2(17－12 2)＝ 2 17＋12 2 ＜ 1 16 ，即 f(0)·f(1)－f(0)＜ 1 16. 13. 解：(1) ① 当 0＜t≤10 时，V(t)＝(－t2＋14t－40)e1 4t＋50＜50，化简得 t2－14t＋40 ＞0，解得 t＜4 或 t＞10，又 0＜t≤10，故 0＜t＜4.② 当 10＜t≤12 时，V(t)＝4(t－10)(3t－ 41)＋50＜50，化简得(t－10)(3t－41)＜0，解得 10＜t＜41 3 ，又 10＜t≤12，故 10＜t≤12.综合 得 0＜t＜4 或 10＜t≤12；故知枯水期为 1 月，2 月，3 月，11 月，12 月共 5 个月． (2)由(1)知：V(t)的最大值只能在(4,10)内达到． 由 V′(t)＝e1 4t －1 4t2＋3 2t＋4 ＝－1 4e1 4t(t＋2)(t－8)，令 V′(t)＝0，解得 t＝8(t＝－2 舍去)． 当 t 变化时，V′(t) 与 V (t)的变化情况如下表： t (4,8) 8 (8,10) V′(t) ＋ 0 － V(t) 极大值 由上表，V(t)在 t＝8 时取得最大值 V(8)＝8e2＋50＝108.32(亿立方米)． 故知一年内该水库的最大蓄水量是 108.32 亿立方米． 14. 解：(1) 当 x∈[－2，－1)时，f(x)＝x＋1 x 在[－2，－1)上是增函数(用导数判断)，此 时 f(x)∈ －5 2 ，－2 ，当 x∈ －1，1 2 时，f(x)＝－2，当 x∈ 1 2 ，2 时，f(x)＝x－1 x 在 1 2 ，2 上 是增函数，此时 f(x)∈ －3 2 ，3 2 ，∴ f(x)的值域为 －5 2 ，－2 ∪ －3 2 ，3 2 . (2) ① 若 a＝0，g(x)＝－2，对于任意 x1∈[－2,2]，f(x1)∈ －5 2 ，－2 ∪ －3 2 ，3 2 ，不存 在 x0∈[－2,2]使得 g(x0)＝f(x1)都成立． ② 若当 a＞0 时，g(x)＝ax－2 在[－2,2]是增函数， g(x)∈[－2a－2,2a－2]，任给 x1∈[－2,2]，f(x1)∈ －5 2 ，－2 ∪ －3 2 ，3 2 ，若存在 x0∈[－ 2,2]，使得 g(x0)＝f(x1)成立， 则 －5 2 ，－2 ∪ －3 2 ，3 2 [－2a－2,2a－2]， ∴有 －2a－2≤－5 2 ， 2a－2≥3 2 ， 解得 a≥7 4. ③ 若 a＜0，g(x)＝ax－2 在[－2,2]上是减函数，g(x)∈[2a－2， －2a－2]，任给 x1∈[－2,2]，f(x1)∈ －5 2 ，－2 ∪ －3 2 ，3 2 ， 若存在 x0∈[－2,2]使得 g(x0)＝f(x1)成立， 则 －5 2 ，－2 ∪ －3 2 ，3 2 [2a－2，－2a－2] 2a－2≤－5 2 ， －2a－2≥3 2 ， 解得 a≤－7 4. 综上，实数 a 的取值范围是 －∞，－7 4 ∪ 7 4 ，＋∞ . 专题二 三角函数与平面向量 第 7 讲 三角函数的图象与性质 1. y＝sin 2x＋π 3 ，x∈R 2. 10 3. 1 解析：f(x)＝f π 4 cosx＋sinx，f′(x)＝－f′ π 4 sinx＋cosx，f′ π 4 ＝－ 2 2 f′ π 4 ＋ 2 2 ， f′ π 4 ＝ 2－1，f(x)＝( 2－1)cosx＋sinx，f π 4 ＝( 2－1)× 2 2 ＋ 2 2 ＝1. 4. 6 解析：平移后 f(x)＝cos ωx－ωπ 3 ，与原来函数图象重合，则ωπ 3 ＝2kπ，k∈Z，∵ ω ＞0，∴ ωmin＝6. 5. －5 4 ，1 解析：a＝cos2x－cosx－1＝ cosx－1 2 2－5 4 ，转化为函数的值域问题． 6. 2＋2 2 解析：f(x)＝2sinπx 4 ，周期为 8，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2) ＋f(3)＋f(4)＝2＋2 2. 7. 2 解析：T＝2π π 2 ＝4，对任意 x∈R，都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，f(x)min＝f(x1)，f(x)max ＝f(x2)，于是|x1－x2|min＝T 2 ＝2. 8. 2 3 解析：考查三角函数的图象、数形结合思想．线段 P1P2 的长即为 sinx 的值，且 其中的 x 满足 6cosx＝5tanx，解得 sinx＝2 3.线段 P1P2 的长为2 3. 9. 解：f(x)＝－2asin 2x＋π 6 ＋2a＋b，sin 2x＋π 6 ∈ －1 2 ，1 ， 当 a＞0 时，－2a＋2a＋b＝－5，－2a× －1 2 ＋2a＋b＝1，∴ a＝2，b＝－5； 当 a＜0 时，－2a＋2a＋b＝1，－2a× －1 2 ＋2a＋b＝－5，∴ a＝－2，b＝1； a＝0，不存在．综上，a＝2，b＝－5 或 a＝－2，b＝1. 10. 解：(1) 由最低点为 M 2π 3 ，－2 得 A＝2，由 T＝π得ω＝2π T ＝2π π ＝2， 由点 M 2π 3 ，－2 在图象上得 2sin 4π 3 ＋φ ＝－2，即 sin 4π 3 ＋φ ＝－1， 所以4π 3 ＋φ＝2kπ－π 2 ，故φ＝2kπ－11π 6 (k∈Z)． 又φ∈ 0，π 2 ，所以φ＝π 6 ，所以 f(x)＝2sin 2x＋π 6 . (2) 因为 x∈ 0， π 12 ，2x＋π 6 ∈ π 6 ，π 3 ， 所以当 2x＋π 6 ＝π 6 时，即 x＝0 时，f(x)取得最小值 1； 当 2x＋π 6 ＝π 3 ，即 x＝ π 12 时，f(x)取得最大值 3. 第 8 讲 三角变换与解三角形 1. 3 解析：∵ sin2α＋cos2α＝1 4 ，∴ sin2α＋1－2sin2α＝1 4 ，∴ sin2α＝3 4 ， ∵ α∈ 0，π 2 ，∴ sinα＝ 3 2 ，∴ α＝π 3 ，tanα＝ 3. 2. 5 2 3 解析：由正弦定理 a sinA ＝ b sinB ，得 a＝bsinA sinB ＝ 5·1 3 2 2 ＝5 2 3 . 3. 5 解析：1 2arcsinB＝2，c＝4 2，由余弦定理可求得 b. 4. 1 解析：由 sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝0，得 tan2α＋tanα－2＝0，tanα＝1 或 tanα＝－ 2(舍)，sin2α＝2sinαcosα＝ 2tanα 1＋tan2α ＝ 2 1＋1 ＝1. 5. 4 解析：由余弦定理得b a ＋a b ＝6cosC，a2＋b2 ab ＝6×a2＋b2－c2 2ab ，a2＋b2＝3 2c2，tanC tanA ＋tanC tanB ＝sinC cosC cosA sinA ＋cosB sinB ＝ 1 cosC sin2C sinAsinB ＝ 2ab a2＋b2－c2 c2 ab ＝ 2c2 a2＋b2－c2 ，将 a2＋b2＝3 2c2 代入上 式即可． 注：(1) 在用正、余弦定理处理三角形中的问题时，要么把所有关系转化为边的关系， 要么把所有的关系都转化为角的关系；(2) 本题也可以转化为角的关系来处理． 6. 7 24 解析：tanα＝－3 4 ，tanβ＝－1 2 ，tan2β＝－4 3. 7. －1 7 解析：由余弦定理得 c＝ a2＋b2－2abcosC＝3，故最大角为角 B. 8. 8 17 解析：1 2bcsinA＝－(b2＋c2－a2)＋2bc，1 2bcsinA＝－2bccosA＋2bc， 2－1 2sinA＝2cosA， 2－1 2sinA 2＝(2cosA)2＝4(1－sin2A)，sinA＝ 8 17. 9. 解：(1) ∵ c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－4×1 4 ＝4，∴ c＝2， ∴ △ABC 的周长为 a＋b＋c＝1＋2＋2＝5. (2) ∵ cosC＝1 4 ，∴ sinC＝ 1－cos2C＝ 1－ 1 4 2＝ 15 4 ， ∴ sinA＝asinC c ＝ 15 4 2 ＝ 15 8 .∵ a＜c，∴ A＜C，故 A 为锐角，∴ cosA＝ 1－sin2A＝ 1－ 15 8 2＝7 8 ，∴ cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝7 8 ×1 4 ＋ 15 8 × 15 4 ＝11 16. 10. 解：(1) sin2B＋C 2 ＋cos2A＝1－cosB＋C 2 ＋cos2A＝1＋cosA 2 ＋2cos2A－1＝59 50. (2) ∵ cosA＝4 5 ，∴ sinA＝3 5 ，∴ S△ABC＝1 2bcsinA＝ 3 10bc，∵ a＝2，由余弦定理得：a2 ＝b2＋c2－2bccosA＝4，∴ 8 5bc＋4＝b2＋c2≥2bc，bc≤10，∴ S△ABC＝1 2 ×bcsinA＝ 3 10bc≤3， 当且仅当 b＝c 时，取得最大值，所以当 b＝c 时，△ABC 的面积 S 的最大值为 3. 第 9 讲 平面向量及其应用 1. 4 5 ，－3 5 或 －4 5 ，3 5 2. 10 解析：|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，得α·(α－2β)＝0，α·β＝1 2 ，|2α＋β|＝ 4α2＋4α·β＋β2＝ 10. 3. π 3 解析：∵ (a＋2b)·(a－b)＝－6，∴ |a|2－2|b|2＋a·b＝－6，∴ a·b＝1，cos〈a，b〉 ＝ a·b |a|·|b| ＝1 2. 4. 4 解析：设 BC 边中点为 D，则AO→ ＝2 3AD→ ，AD→ ＝1 2(AB→ ＋AC→ )， ∴ AO→ ·AC→ ＝1 3(AB→ ＋AC→ )·AC→ ＝1 3(3×2×cos60°＋32)＝4. 5. (－3,1)或(－1,1) 解析：设 a＝(x，y)，∴ a＋b＝(x＋2，y－1)， ∴ y－1＝0， x＋22＋y－12＝1， ∴ x＝－1， y＝1 或 x＝－3， y＝1. 6. －1 4 解析：AD→ ·BE→＝1 2(AB→ ＋AC→ )· 2 3AC→ －AB→ ＝1 2 －1＋2 3 －1 3 ×1 2 ＝－1 4. 7. 1－ 2 解析：设 a＋b＝ 2d，则 d 为单位向量． (a－c)·(b－c)＝1－(a＋b)·c＝1－ 2d·c＝1－ 2cos〈d，c〉． 8. 2 解析：取 O 为坐标原点，OA 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，则 A(1,0)， B －1 2 ， 3 2 ，设∠COA＝θ，则θ∈ 0，2π 3 ，C(cosθ，sinθ)，∴ (cosθ，sinθ)＝x(1,0)＋y －1 2 ， 3 2 ， x＋y＝ 3sinθ＋cosθ＝2sin θ＋π 6 ，θ＝π 3 时取最大值 2. 9. 解：(1) 由 m·n＝0 得－cosA＋ 3sinA＝0，tanA＝ 3 3 ，A∈(0，π)， ∴ A＝π 6. (2) 1＋sin2B cos2B－sin2B ＝－3，∴ sinB＋cosB cosB－sinB ＝－3，∴ tanB＝2， ∴ tanC＝tan π－π 6 －B ＝－ tanπ 6 ＋tanB 1－tanπ 6tanB ＝8＋5 3. 10. 解：(1) 在 Rt△ADC 中，AD＝8，CD＝6， 则 AC＝10，cos∠CAD＝4 5 ，sin∠CAD＝3 5. 又∵ AB→ ·AC→ ＝50，AB＝13，∴ cos∠BAC＝ AB→ ·AC→ |AB→ ||AC→ | ＝ 5 13. ∵ 0＜∠BAC＜π，∴ sin∠BAC＝12 13. ∴ sin∠BAD＝sin(∠BAC＋∠CAD)＝63 65. (2) S△BAD＝1 2AB·AD·sin∠BAD＝252 5 ，S△BAC＝1 2AB·AC·sin∠BAC＝60，S△ACD＝24，则 S△BCD＝S△ABC＋S△ACD－S△BAD＝168 5 ，∴ S△ABD S△BCD ＝3 2. 滚动练习(二) 1. {－1,0,1} 解析：M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，则 M∩N＝{－1,0,1}． 2. 0 解析：f(1)＝－f(－1)＝－(－3＋2＋1)＝0. 3. 2 解析：cos10°＋ 3sin10° 1－cos80° ＝ 2sin40° 2sin240° ＝ 2. 4. (－3,2) 解析：6－x－x2＞0，∴ x2＋x－6＜0，∴ －3＜x＜2. 5. 2 解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，则函数的增区间是(－∞，0)∪(2，＋∞)，减 区间是(0,2)，所以函数在 x＝2 处取极小值． 6. 1 解析：a－2b＝( 3，3)与 c 共线，则 3· 3＝3k，∴ k＝1. 7. 6 解析：A*B＝{0,2,4}． 8. 充要 解析：f(x)＝x2＋mx＋1 的图象关于直线 x＝1 对称 －m 2 ＝1 m＝－2. 9. (－∞，2ln2－2] 解析：f′(x)＝ex－2，x∈(－∞，ln2)，f′(x)＜0，x∈(ln2，＋∞)， f′(x)＞0，x＝ln2 时，f(x)取极小值即为最小值 2－2ln2＋a≤0，a≤2ln2－2；本题也可转化 为 a＝－ex＋2x，求函数 g(x)＝－ex＋2x 值域即可． 10. ②④ 解析：函数为偶函数，在 0，π 2 上单调增，画图即可． 11. 点拨：本题考查函数的概念和性质，对分段函数在讨论其性质时要整体考虑．对二 次函数要能用数形结合的思想来研究它的单调性与最值等问题． 解：(1) 函数 f(x)为奇函数，f(－x)＋f(x)＝0 对 x∈R 恒成立，m＝2； (2) 由 f(x)＝ －x2＋2x，x＞0 0，x＝0， x2＋2x，x＜0， 知 f(x)在[－1,1]上单调递增， ∴ a－2＞－1， a－2≤1， 得 1＜a≤3，即实数 a 的取值范围是(1,3]． 12. 点拨：本小题主要考察综合运用三角函数公式、三角函数的性质进行运算、变形、 转换和求解的能力． 解：(1)∵ f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx， ∴ f(x)＝sinωxcosωx＋1＋cos2ωx 2 ＝1 2sin2ωx＋1 2cos2ωx＋1 2 ＝ 2 2 sin 2ωx＋π 4 ＋1 2 ，由ω＞0 得2π 2ω ＝π，∴ ω＝1. (2) 由(1)知 f(x)＝ 2 2 sin 2x＋π 4 ＋1 2 ， ∴ g(x)＝f(2x)＝ 2 2 sin 4x＋π 4 ＋1 2 ，当 0≤x≤ π 16 时，π 4 ≤4x＋π 4 ≤π 2 ，∴ 2 2 ≤sin 4x＋π 4 ≤1. 因此 1≤g(x)≤1＋ 2 2 ，故 x＝0 时，g(x)在此区间内取最小值为 1. 13. 点拨：本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用 余弦定理解三角形以及运算求解能力． 解：由 cosA＝12 13 ，得 sinA＝ 1－ 12 13 2＝ 5 13. 又 1 2bcsinA＝30，∴ bc＝156. (1) AB→ ·AC→ ＝bccosA＝156×12 13 ＝144. (2) a2＝b2＋c2－2bccosA＝(c－b)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2×156× 1－12 13 ＝25，∴ a＝5. 14. 点拨：应用题是高考必考题型，解决应用题的关键要学会审题，根据条件，选择合 适的变量，建立数学模型，选择适当的方法解题，结论要符合题意． 解：∵ △ABC 是直角三角形，AB＝2，BC＝1，∴ ∠A＝30°. 设∠FEC＝α，则α∈ 0，π 2 ，∠EFC＝90°－α，∠AFD＝180°－60°－(90°－α)＝30°＋α， ∴ ∠ADF＝180°－30°－(30°＋α)＝120°－α，再设 CF＝x，则 AF＝ 3－x，在△ADF 中有 DF sin30° ＝ 3－x sin120°－α ，由于 x＝EF·sinα＝DF·sinα， ∴ DF sin30° ＝ 3－DF·sinα sin120°－α ，化简得 DF＝ 3 2sinα＋ 3cosα ≥ 3 7 ＝ 21 7 ， ∴ △DEF 边长的最小值为 21 7 . 专题三 数 列 第 10 讲 等差数列与等比数列 1. 13 解析：a3＝7，a5＝a2＋6，∴ 3d＝6，∴ a6＝a3＋3d＝13. 2. 1 3 解析：6S5－5S3＝5，∴ 6(5a1＋10d)－5(3a1＋3d)＝5，得 a1＋3d＝1 3. 3. 20 解析：an＝41－2n，a20＞0，a21＜0. 4. 15 2 解析：a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，∴ q2＋q＝6(q＞0)，∴ q＝2，则 S4＝15 2 . 5. 15 解析：S4 a4 ＝ a11－q4 1－q a1q3 ＝ 1－q4 1－qq3 ＝15. 6. 4 解析：设公差为 d，则 4a1＋4×3 2 d≥10， 5a1＋5×4 2 d≤15. 即 2a1＋3d≥5， a1＋2d≤3. 又 a4＝a1＋3d， 由线性规划可知 a1＝1，d＝1 时，a4 取最大值 4. 7. 21 2 解析：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝33＋2(1＋2＋…＋(n－1)) ＝n2－n＋33，an n ＝n＋33 n －1，数列 an n 在 1≤n≤6，n∈N*时单调减，在 n≥7，n∈N*时单调 增，∴ n＝6 时，an n 取最小值． 8. 4 解析： kk＋4 2 3 k≥k－1k＋3 2 3 k－1， kk＋4 2 3 k≥k＋1k＋5 2 3 k＋1， 10≤k≤1＋ 10，k∈N*，∴ k＝ 4. 9. 解：(1) 设公差为 d，则 a1＋2da1＋5d＝55， 2a1＋7d＝16， 解得 a1＝1， d＝2. 或 a1＝15， d＝－2. (舍 去) ∴ an＝2n－1(n∈N*)． (2) n＝1 时，a1＝b1 2 ，a1＝1，∴ b1＝2， n≥2 时，an－1＝b1 2 ＋b2 22 ＋…＋bn－1 2n－1 ，2＝an－an－1＝bn 2n(n≥2)，bn＝2n＋1(n≥2)， ∴ bn＝ 2n＝1， 2n＋1n≥2，n∈N*， Sn＝2n＋2－6(n∈N*)． 10. (解法 1)(1)证明：由bn＋1 bn ＝q，有 an＋1an＋2 anan＋1 ＝ an＋2 an ＝q，∴ an＋2＝anq2(n∈N*)． (2)证明：∵ an＝an－2q2(n≥3，n∈N*)，∴ a2n－1＝a2n－3q2＝…＝a1q2n－2，a2n＝a2n－2q2＝… ＝a2q2n－2， ∴ cn＝a2n－1＋2a2n＝a1q2n－2＋2a2q2n－2＝(a1＋2a2)q2n－2＝5q2n－2. ∴ {cn}是首项为 5，以 q2 为公比的等比数列． (3) 解：由(2)得 1 a2n－1 ＝1 a1 q2－2n， 1 a2n ＝1 a2 q2－2n，于是 1 a1 ＋1 a2 ＋…＋ 1 a2n ＝ 1 a1 ＋1 a3 ＋…＋ 1 a2n－1 ＋ 1 a2 ＋1 a4 ＋…＋ 1 a2n ＝1 a1 1＋ 1 q2 ＋ 1 q4 ＋…＋ 1 q2n－2 ＋1 a2 1＋ 1 q2 ＋ 1 q4 ＋…＋ 1 q2n－2 ＝3 2 1＋ 1 q2 ＋ 1 q4 ＋…＋ 1 q2n－2 . 当 q＝1 时，1 a1 ＋1 a2 ＋…＋ 1 a2n ＝3 2 1＋ 1 q2 ＋ 1 q4 ＋…＋ 1 q2n－2 ＝3 2n. 当 q≠1 时，1 a1 ＋1 a2 ＋…＋ 1 a2n ＝3 2 1＋ 1 q2 ＋ 1 q4 ＋…＋ 1 q2n－2 ＝ 3 2 1－q－2n 1－q－2 ＝3 2 q2n－1 q2n－2q2－1 . 故1 a1 ＋1 a2 ＋…＋ 1 a2n ＝ 3 2n，q＝1， 3 2 q2n－1 q2n－2q2－1 ，q≠1. (解法 2)(1) 证明：同解法 1(1)． (2) 证明：cn＋1 cn ＝a2n＋1＋2a2n＋2 a2n－1＋2a2n ＝q2a2n－1＋2q2a2n a2n－1＋2a2n ＝q2(n∈N*)，又 c1＝a1＋2a2＝5，∴ {cn} 是首项为 5，以 q2 为公比的等比数列． (3) 解：由(2)的类似方法得 a2n－1＋a2n＝(a1＋a2)q2n－2＝3q2n－2， 1 a1 ＋ 1 a2 ＋…＋ 1 a2n ＝a1＋a2 a1a2 ＋a3＋a4 a3a4 ＋…＋a2n－1＋a2n a2n－1a2n ，∵ a2k－1＋a2k a2k－1a2k ＝3q2k－2 2q4k－4 ＝3 2q－2k＋2，k＝ 1,2，…，n.∴ 1 a1 ＋1 a2 ＋…＋ 1 a2k ＝3 2(1＋q2＋…＋q－2n＋2)．下同解法 1. 第 11 讲 数列求和及其综合应用 1. 2n＋1－n－2 解析：an＝2n－1,1＋(1＋2)＋(1＋2＋4)＋…＋(1＋2＋…＋2n－1)＝(2＋22 ＋23＋…＋2n)－n＝2(2n－1)－n＝2n＋1－n－2 2. 2＋lnn 解析：累加可得． 3. T8 T4 T12 T8 4. －p－q 解析：由求和公式知 q＝pa1＋pp－1 2 d，p＝qa1＋qq－1 2 d，因为 p≠q，两 式相减得到－1＝a1＋p＋q－1 2 d，两边同时乘以 p＋q，则 －(p＋q)＝(p＋q)a1＋p＋qp＋q－1 2 d，即 Sp＋q＝－(p＋q)． 5. 2n＋1 解析：由条件得 bn＋1＝an＋1＋2 an＋1－1 ＝ 2 an＋1 ＋2 2 an＋1 －1 ＝2an＋2 an－1 ＝2bn 且 b1＝4，所以数列{bn} 是首项为 4，公比为 2 的等比数列，则 bn＝4·2n－1＝2n＋1. 6. 11 解析：(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则(a21＋a22＋…＋a250)＋2(a1＋a2＋… ＋a50)＋50＝107，∴ a21＋a22＋…＋a250＝39，故 a1，a2，…，a50 中数字 0 的个数为 50－39＝ 11. 7. [24,36] 解析：an＝6n－(9＋a)，由题知 5.5≤9＋a 6 ≤7.5，∴ 24≤a≤36. 8. 470 解析：由于 cos2nπ 3 －sin2nπ 3 以 3 为周期，故 S30＝ －12＋22 2 ＋32 ＋ －42＋52 2 ＋62 ＋…＋ －282＋292 2 ＋302 ＝错误! －3k－22＋3k－12 2 ＋3k2 ＝错误! 9k－5 2 ＝9×10×11 2 －25＝470，分组求和 是解决本题的关键． 9. 解：(1) 由 Sn＝(1＋λ)－λan Sn－1＝(1＋λ)－λan－1(n≥2)． 相减得：an＝－λan＋λan－1，∴ an an－1 ＝ λ 1＋λ (n≥2)，∴ 数列{an}是等比数列． (2) f(λ)＝ λ 1＋λ ，∴ bn＝ bn－1 1＋bn－1 1 bn ＝ 1 bn－1 ＋1， ∴ 1 bn 是首项为 1 b1 ＝2，公差为 1 的等差数列，∴ 1 bn ＝2＋(n－1)＝n＋1. ∴ bn＝ 1 n＋1 .(n∈N*) (3) λ＝1 时，an＝ 1 2 n－1，∴ cn＝an 1 bn －1 ＝ 1 2 n－1n， ∴ Tn＝1＋2 1 2 ＋3 1 2 2＋…＋n 1 2 n－1， ① 1 2Tn＝ 1 2 ＋2 1 2 2＋3 1 2 3＋…＋n 1 2 n， ② ①－②得：1 2Tn＝1＋ 1 2 ＋ 1 2 2＋ 1 2 3＋…＋ 1 2 n－1－n 1 2 n ∴ 1 2Tn＝1＋ 1 2 ＋ 1 2 2＋ 1 2 3＋…＋ 1 2 n－1－n 1 2 n＝ 2 1－ 1 2 n －n 1 2 n， 所以：Tn＝4－ 1 2 n－2－2n 1 2 n＝4－n＋2 2n－1 . 10. 解：(1) n＝1 时，由 S2＝tS1＋a，解得 a2＝at， 当 n≥2 时，Sn＝tSn－1＋a，所以 Sn＋1－Sn＝t(Sn－Sn－1)，即 an＋1＝ant， 当 n＝1 时，由 S2＝tS1＋a 得 a2＝ta1，又因为 a1＝a≠0， 综上，有an＋1 an ＝t(n∈N*)，所以{an}是首项为 a，公比为 t 的等比数列， 所以 an＝atn－1. (2) 当 t＝1 时，Sn＝na，bn＝na＋1，bn＋1－bn＝[(n＋1)a＋1]－[na＋1]＝a， 此时{bn}为等差数列； 当 a＞0 时，{bn}为单调递增数列，且对任意 n∈N*，an＞0 恒成立，不合题意； 当 a＜0 时，{bn}为单调递减数列，由题意知 b4＞0，b6＜0，且有 b4≥|b5|， －b6≥|b5|， 即 |5a＋1|≤4a＋1， |5a＋1|≤－6a－1， 解得－2 9 ≤a≤－ 2 11.综上，a 的取值范围是 －2 9 ，－ 2 11 . (3) 因为 t≠1，bn＝1＋ a 1－t － atn 1－t ，所以 cn＝2＋ 1＋ a 1－t n－ a 1－t (t＋t2＋…＋tn)＝2＋ 1＋ a 1－t n－at－tn＋1 1－t2 ＝2－ at 1－t2 ＋1－t＋a 1－t ·n＋ atn＋1 1－t2 ，由题设知{cn}是等比数列，所以有 2－ at 1－t2 ＝0， 1－t＋a 1－t ＝0， 解得 a＝1， t＝2， 即满足条件的数对是(1,2)．(或通过{cn}的前 3 项成等比 数列先求出数对(a，t)，再进行证明) 滚动练习(三) 1. {4,5} 解析：A∪B＝{1,2,3}． 2. π 4 解析：由正弦定理 a sinA ＝ c sinC ，∴ sinA＝cosA，∴ tanA＝1，∵ 0＜A＜π， ∴ A＝π 4. 3. 12 解析：由 a1＋3a8＋a15＝60 得 5a1＋35d＝60，a8＝12,2a9－a10＝a8＝12. 4. 1 2 解析：周期是 4π，∴ ω＝2π 4π ＝1 2. 5. [0,4) 解析：mx2＋mx＋1≠0 对 x∈R 恒成立．当 m＝0 时，成立；当 m≠0 时，Δ ＝m2－4m＜0，∴ 0＜m＜4.综上，0≤m＜4. 6. 6 解析：本题考查线性规划内容． 7. 7π 6 ，11π 6 解析：y′＝1＋2sinx＜0，∴ sinx＜－1 2 ，∴ 7π 6 ＜x＜11π 6 . 8. π 3 解析：∵ m⊥n，∴ (a＋c)(a－c)＋b(b－a)＝0，∴ a2＋b2－c2 2ab ＝1 2 ， ∴ cosC＝1 2 ，∴ C＝π 3. 9. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：画出符合题意的草图，则 x－2＜－3 或 x－2＞0. 10. 4 解析：本题其实是关于最小正周期问题．a2＝a1－t，a3＝t＋2－a1＋t＝2t＋2－a1， a4＝a3－t＝t＋2－a1，a5＝t＋2－a4＝a1，故实数 k 的最小值是 4. 11. 解：(1) f(x)＝1 2sin2x＋ 3cos2x＝1 2sin2x＋ 3 2 (1＋cos2x) ＝sin 2x＋π 3 ＋ 3 2 ，∴ f(x)的最小正周期为 T＝2π 2 ＝π. (2) 依题意得 g(x)＝f x－π 4 ＋ 3 2 ＝sin 2 x－π 4 ＋π 3 ＋ 3 2 ＋ 3 2 ＝sin 2x－π 6 ＋ 3，当 x∈ 0，π 4 时，2x－π 6 ∈ －π 6 ，π 3 ，∴ －1 2 ≤sin 2x－π 6 ≤ 3 2 ，∴ 2 3－1 2 ≤g(x)≤3 3 2 ，∴ g(x) 在 0，π 4 的最大值为3 3 2 . 12. 解：(1) 当 n≤6 时，数列{an}是首项为 120，公差为－10 的等差数列．an＝120－10(n －1)＝130－10n；当 n≥7 时，数列{an}是以 a6 为首项，公比为3 4 的等比数列，又 a6＝70，所 以 an ＝ 70× 3 4 n － 6 ， 因 此 ， 第 n 年 初 ， M 的 价 值 an 的 表 达 式 为 an ＝ 130－10n，n≤6，n∈N*， 70× 3 4 n－6，n≥7，n∈N*. (2) 设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当 1≤n≤6 时，Sn＝120n－5n(n－1)，An＝120－5(n－1)＝125－5n＞80； 当 n≥7 时，Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70×3 4 ×4× 1－ 3 4 n－6 ＝780－210× 3 4 n－ 6 ， An ＝ 780－210× 3 4 n－6 n . 因 为 {an} 是 递 减 数 列 ， 所 以 {An} 是 递 减 数 列 ， 又 A8 ＝ 780－210× 3 4 8－6 8 ＝8247 64 ＞80，A9＝780－210× 3 4 9－6 9 ＝7679 96 ＜80，所以须在第 9 年初对 M 进行更新． 13. 解：(1) f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 由题意得 f′ 2 3 ＝3× 2 3 2＋2a×2 3 ＋b＝0， f′1＝3×12＋2a×1＋b＝3. 解得 a＝2， b＝－4. 设切线 l 的方程为 y＝3x＋m(m>0)，由原点到切线 l 的距离为 10 10 ， 有 |m| 32＋1 ＝ 10 10 ，解得 m＝1.∵ 切线 l 不过第四象限，∴ m＝1，m＝－1(舍)，∴ 切线 l 的方程为 y＝3x＋1，由于切点的横坐标为 x＝1，∴ 切点坐标为(1,4)，∵ f(1)＝1＋a＋b＋ c＝4，∴ c＝5. (2) 由(1)知 f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，所以 f′(x)＝3x2＋4x－4＝(x＋2)(3x－2)，令 f′(x) ＝0，得 x1＝－2，x2＝2 3. x －4 (－4，－2) －2 －2，2 3 2 3 2 3 ，1 1 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 函数值 －11 13 95 27 4 ∴ f(x)在[－4,1]上的最大值为 13，最小值为－11. 14. 解：(1) ∵ －1，Sn，an＋1 成等差数列，∴ 2Sn＝an＋1－1， ① 当 n≥2 时，2Sn－1＝an－1， ② ①－②得：2(Sn－Sn－1)＝an＋1－an，∴ 3an＝an＋1，∵ a1＝1≠0，∴ an≠0， ∴ an＋1 an ＝3.当 n＝1 时，由①得∴ 2S1＝2a1＝a2－1，又 a1＝1，∴ a2＝3， ∴ a2 a1 ＝3，∴ {an}是以 3 为公比的等比数列，∴ an＝3n－1. (2) ∵ f(x)＝log3x，∴ f(an)＝log33n － 1 ＝n－1，bn＝ 1 n＋3[fan＋2] ＝ 1 n＋1n＋3 ＝ 1 2 1 n＋1 － 1 n＋3 ，∴ Tn＝1 2 1 2 －1 4 ＋1 3 －1 5 ＋1 4 －1 6 ＋1 5 －1 7 ＋…＋1 n － 1 n＋2 ＋ 1 n＋1 － 1 n＋3 ＝1 2 1 2 ＋1 3 － 1 n＋2 － 1 n＋3 ＝ 5 12 － 2n＋5 2n＋2n＋3 ，比较 Tn 与 5 12 －2n＋5 312 的大小，只需比较 2(n＋2)(n＋3)与 312 的大小即可．又 2(n＋2)(n＋3)－312＝2(n2＋5n＋6－156)＝2(n2＋5n－150)＝2(n＋15)(n－ 10)，∵ n∈N*，∴ 当 1≤n≤9 时 n∈N*,2(n＋2)(n＋3)＜312，即 Tn＜ 5 12 －2n＋5 312 ；∴ 当 n ＝10 时，2(n＋2)(n＋3)＝312，即 Tn＝ 5 12 －2n＋5 312 ；当 n＞10 且 n∈N*时，2(n＋2)(n＋3)＞312， 即 Tn＞ 5 12 －2n＋5 312 ；当 n＝10 时，2(n＋2)(n＋3)＝312，即 Tn＝ 5 12 －2n＋5 312 ；当 n>10 且 n∈N* 时，2(n＋2)(n＋3)>312，即 Tn> 5 12 －2n＋5 312 . 专题四 平面解析几何 第 12 讲 直线与圆的方程及应用 1. 3x＋y－ 3＋2＝0 解析：由点斜式得直线方程为 y＋2＝tan120°(x－1)， ∴ y＋2＝－ 3(x－1)，∴ 3x＋y＋2－ 3＝0. 2. x－2y－1＝0 解析：由已知可得所求直线方程为 y－0＝1 2(x－1)，∴ x－2y－1＝0. 3. (x＋5)2＋y2＝5 解析：设圆心为(a,0)，a＜0， 5＝ |a| 12＋22 ，∴ a＝－5， ∴ 圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5. 4. 5＋1 解析：点(2,3)到圆心的距离是 2－12＋3－12＝ 5，则距离的最大值是 5 ＋r＝ 5＋1. 5. －1 或－3 解析：本题考查数形结合思想．圆的半径为 2，要满足题意，只需圆心 到直线距离 d＝ 2 2 ，∴ 2 2 ＝|1＋1＋a| 2 ，∴ a＝－1 或 a＝－3. 6. ± 3 解析：本题考查数形结合思想．由∠POQ＝120°知，圆心到直线距离 d＝1 2r， ∴ |－ 2| 1＋k2 ＝ 2 2 ，k＝ 3或 k＝－ 3. 7. k＝－1 x2＋(y－1)2＝1 点拨：第一问直接利用两直线的斜率存在，那么相互垂直的充要条件是斜率之积等于－ 1.第二问把圆的对称转化为圆心关于直线的对称。 解析：设 PQ 的垂直平分线的斜率为 k，则 k·3－a－b 3－b－a ＝－1，∴ k＝－1.而且 PQ 的中点 坐标是 3＋a－b 2 ，3－a＋b 2 ，∴ l 的方程为：y－3－a＋b 2 ＝－1· x－3＋a－b 2 ，∴ y＝－x＋3， 而圆心(2,3)关于直线 y＝－x＋3 对称的点的坐标为(0,1)，∴ 对称图形的方程为：x2＋(y－1)2 ＝1. 8. x－7 5 2 ＋ (y － 1)2 ＝ 64 25 解 析 ： 设 圆 C2 的 方 程 为 (x － a)2 ＋ (y － 1)2 ＝ r2 ， 则 a＋12＋1－1＝r， 3－a＝r， ∴ a＝7 5 ， r＝8 5. 9. 解：(1)设(x－t)2＋ y－2 t 2＝t2＋4 t2 ，所以 x2－2tx＋y2－4 ty＝0， 因为 A(2t,0)，B 0，4 t ，所以 S△OAB＝4. (2) 因为 OM＝ON，所以 OC⊥MN， 所以 2 t －0 t－0 ×(－2)＝－1，所以 t2＝4， 因为圆与直线相交，所以 t＝2，即 x2－4x＋y2－2y＝0. 10. (1) 解：由题意设直线 l 的方程为 y＝kx＋1，即 kx－y＋1＝0， ∴ d＝|2k－3＋1| k2＋1 ＜1，∴ 3k2－8k＋3＜0，∴ 4－ 7 3 ＜k＜4＋ 7 3 . (2) 证明：设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立 y＝kx＋1， x－22＋y－32＝1， 得 (k2＋1)x2－4(k＋1)x＋7＝0， ∴ x1＋x2＝4k＋1 k2＋1 ， x1x2＝ 7 k2＋1 . ∵ AM→ ＝(x1，y1－1)，AN→ ＝(x2，y2－1)，∴ AM→ ·AN→ ＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋k2x1x2 ＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2) 7 1＋k2 ＝7.∴ AM→ ·AN→ 为定值 7. (3) 解：由(2)可知 OM→ ·ON→ ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝7＋k·4k＋4 k2＋1 ＋1＝12，解得 k＝1，符合(1)中所得范围，因此 k＝1. 第 13 讲 圆锥曲线(含轨迹问题) 1. 1 16 ，0 解析：将抛物线写成标准形式 y2＝1 4x 再计算． 2. x2 5 ＋9y2 20 ＝1 解析：设椭圆方程为x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)， 则 c a ＝ 5 3 ， a2 c ＝3， a2＝b2＋c2， ∴ a＝ 5， b＝2 5 3 . 3. 4 解析：抛物线焦点是 p 2 ，0 ，双曲线右焦点是(2,0)，∴ p＝4. 4. x2 3 －y2 3 ＝1 解析：设双曲线方程为 x2－y2＝λ(λ≠0)，代入点(2,1)求解． 5. x2 16 ＋y2 12 ＝1(y≠0) 解析：由题可得 AC＋BC＝8＞4，由椭圆的定义，点 C 的轨迹是 以 A、B 为焦点的椭圆(除去与 x 轴的交点)． 6. 2 解析：直线 mx＋ny＝2 经过圆心(1,2)，则 m＋2n＝2， 1 m ＋2 n ＝ 1 m ＋2 n m＋2n 2 ＝5 2 ＋n m ＋m n ≥5 2 ＋2 n m·m n ＝9 2 ，当且仅当 m＝n＝2 3 时取等号. 因此， 双曲线离心率为 2. 7. ( 2－1,1) 解析：∵ PQ∥AF，PQ＝AF，AF＝a＋c，PQ＝a2 c ＋xp，－a＜xp＜a，∴ a2 c －a＜a＋c，∴ c2＋2ac－a2＞0，∴ c a 2＋2c a －1＞0，又 0＜c a ＜1，∴ 2－1＜c a ＜1. 8. －1 2 解析：(解法 1)由正弦定理得sinA－sinB sinC ＝CB－CA AB ＝－2a 2c ＝－a c ， 又c a ＝2，∴ －a c ＝－1 2. (解法 2，特殊位置法)假设在△ABC 中，∠ABC＝90°，设 AC＝n，BC＝m，则由题意 可得 m2＋16＝n2， n－m＝2， 解之得 m＝3，n＝5，所以sinA－sinB sinC ＝m－n AB ＝3－5 4 ＝－1 2. 9. 解：(1) ∵ 2a＝10，c a ＝4 5 ，a2＝b2＋c2，∴ a＝5，c＝4，b＝3，∴ 椭圆方程是x2 25 ＋y2 9 ＝1. (2) 设点 P(x，y)，∵ F(4,0)，R＝3，B(0,3)，|PT|＝|PB|，∴ PF2－9＝PB2 ∴ (x－4)2＋y2－9＝x2＋(y－3)2，整理得到 4x－3y＋1＝0. 10. 解：(1) 由已知，A(－4,0)、B(4,0)、F(2,0)，直线 l 的方程为 x＝8. 设 N(8，t)(t>0)，因为 AM＝MN，所以 M 2，t 2 . 由 M 在椭圆上，得 t＝6.故所求的点 M 的坐标为 M(2,3)． 所以MA→ ＝(－6，－3)，MB→ ＝(2，－3)，MA→ ·MB→ ＝－12＋9＝－3. cos∠AMB＝ MA→ ·MB→ |MA→ ||MB→ | ＝ －3 36＋9· 4＋9 ＝－ 65 65 ，即∠AMB 的余弦值为－ 65 65 .(用余弦 定理也可求得) (2) (解法 1)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将 A、F、N 三点坐标代入，得 16－4D＋F＝0， 4＋2D＋F＝0， 64＋t2＋8D＋Et＋F＝0 D＝2， E＝－t－72 t ， F＝－8. 因此圆的方程为 x2＋y2＋2x－ t＋72 t y－8＝0， 令 x＝0，得 y2－ t＋72 t y－8＝0. 设 P(0，y1)，Q(0，y2)，则 y1、2＝ t＋72 t ± t＋72 t 2＋32 2 . 由线段 PQ 的中点坐标为(0,9)，得 y1＋y2＝18，t＋72 t ＝18. 此时所求圆的方程为 x2＋y2＋2x－18y－8＝0.(本题用韦达定理也可解) (解法 2)由圆过点 A、F 得圆心横坐标为－1，由圆与 y 轴交点的纵坐标为(0,9)，得圆心 的纵坐标为 9，故圆心坐标为(－1,9)． 易求得圆的半径为 3 10，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－9)2＝90. 滚动练习(四) 1. {1,2} 2. 充分不必要 3. (－1,0)∪(1，＋∞) 解析：x－1 x ＞0 x2－1＞0， x＞0， 或 x2－1＜0， x＜0 x＞1 或－1 ＜x＜0. 4. 4 解析：f′(1)＝3，f(1)＝3－2＝1. 5. 0，3 2 解析：f(x)＝cos2x＋ 3sinxcosx＝1＋cos2x 2 ＋ 3 2 sin2x＝sin 2x＋π 6 ＋1 2.∵ － π 6 ≤x≤π 3 ，∴ －π 6 ≤2x＋π 6 ≤5π 6 ，∴ －1 2 ≤sin 2x＋π 6 ≤1，∴ 0≤f(x)≤3 2. 6. －4 解析：f(－3)＝f(3)，f(2＋1)＝－f(2－1)＝－f(1)＝－f(－1)， ∴ f(－3)＝－4. 7. 3＋2 2 解析：直线过圆心(2,1)，∴ a＋b＝1，1 a ＋2 b ＝(a＋b) 1 a ＋2 b ＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2 2. 8. 7 13 解析：由正弦定理 BC∶AC＝8∶5，设 BC＝8k，AC＝5k，由余弦定理 AB2＝64k2＋25k2－2·8k·5kcosC＝49k2，∴ AB＝7k， 由椭圆定义 2a＝AC＋BC＝13k,2c＝AB＝7k，∴ e＝c a ＝ 7 13. 9. {1} 解析：MP→ ＝OP→－OM→ ＝(x－1)a＋ye2， MN→ ＝ON→ －OM→ ＝e2－e1，MP⊥MN，∴ MP→ ·MN→ ＝0. 即(x－1)×1 2 －(x－1)＋y－y×1 2 ＝0，∴ x－y＝1. 10. 5 11. 解：(1)a＝0 时，适合． (2)当 a≠0 时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则 a＜0；若方程有两个负 的实根，则 1 a ＞0， －2 a ＜0， Δ＝4－4a≥0， 解得 0＜a≤1. 综上知，方程至少有一个负实根，则 a≤1.反之，若 a≤1，则方程至少有一个负实根．因 此，关于 x 的方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负的实根的充要条件是 a≤1. 12. 解：(1)∵ sinBcosC＝3sinAcosB－sinCcosB，即 sin(B＋C)＝3sinAcosB， 又 sinA≠0，∴ cosB＝1 3 ，0＜B＜π，∴ sinB＝ 1－ 1 3 2＝2 2 3 . (2) 由BA→ ·BC→ ＝2 可得 a·c·cosB＝2，又 cosB＝1 3 ，故 ac＝6， 由 b2＝a2＋c2－2accosB 可得 a2＋c2＝12，所以 a＝c，∴ a＝c＝ 6. 13. 解：(1) 设椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 的焦距为 2c(c>0)， 则其右准线方程为 x＝a2 c ，且 F1(－c, 0)，F2(c, 0)． 设 M a2 c ，y1 ，N a2 c ，y2 ， 则F1M→ ＝ a2 c ＋c，y1 ，F2N→ ＝ a2 c －c，y2 ， OM→ ＝ a2 c ，y1 ，ON→ ＝ a2 c ，y2 . ∵ F1M→ ·F2N→ ＝0， ∴ a2 c ＋c a2 c －c ＋y1y2＝0， 即 a2 c 2＋y1y2＝c2. 于是OM→ ·ON→ ＝ a2 c 2＋y1y2＝c2＞0，故∠MON 为锐角． 所以原点 O 在以 MN 为直径的圆的外部． (2) 因为椭圆的离心率为1 2 ，所以 a＝2c， 于是 M(4c，y1)，N(4c，y2)，且 y1y2＝c2－ a2 c 2＝－15c2. MN2＝(y1－y2)2＝y21＋y22－2y1y2＝|y1|2＋|y2|2＋2|y1y2|≥4|y1y2|＝60c2. 当且仅当 y1＝－y2＝ 15c 或 y2＝－y1＝ 15c 时取“＝”号， 所以(MN)min＝2 15c＝2 15，于是 c＝1, 从而 a＝2，b＝ 3， 故所求的椭圆方程是x2 4 ＋y2 3 ＝1. 14. 解：∵ f′(x)＝3 a2·x2， ∴ 由3 a2·x2＝3 有 x＝±a，即切点坐标为(a，a)，(－a，－a)， ∴ 切线方程为 y－a＝3(x－a)或 y＋a＝3(x＋a)， 整理得 3x－y－2a＝0 或 3x－y＋2a＝0， ∴ |－2a－2a| 32＋－12 ＝2 10 5 ，解得 a＝±1， ∴ f(x)＝x3，∴ g(x)＝x3－3bx＋3. (1) ∵ g′(x)＝3x2－3b，g(x)在 x＝1 处有极值，∴ g′(1)＝0， 即 3×12－3b＝0，解得 b＝1，∴ g(x)＝x3－3x＋3. (2) ∵ 函数 g(x)在区间[－1,1]上为增函数，∴ g′(x)＝3x2－3b≥0 在区间[－1,1]上恒成 立，∴ b≤0，又∵ b2－mb＋4≥g(x)在区间[－1,1]上恒成立，∴ b2－mb＋4≥g(1)，即 b2－ mb＋4≥4－3b， ∴ mb≤b2＋3b 在 b∈(－∞，0]上恒成立， ∴ m≥3. 综上，m 的取值范围是[3，＋∞)． 专题五 空间立体几何 第 14 讲 空间几何体的表面积与体积 1. π∶6 解析：正方体的棱长与球的直径相等． 2. 16π 解析：形成的几何体是母线长为 5，高为 3，底面半径为 4 的圆锥． 3. 3 3 解析：如图，作 PN⊥底面 ABC，N 为垂足，连结 CN 并且延长交 AB 于点 M. 4. 1 000π 3 cm3 解析：设圆锥的底面半径为 R，则1 2 ×10 2×2πR＝100 2π，解得 R＝ 10，∴ 圆锥的高 h＝ 10 22－102＝10 cm，圆锥的体积 V＝1 3 ×(π×102)×10＝1 000π 3 cm3. 5. 2 3 解析：侧面展开图如图所示，即求 BB′的长度，在等腰三角形 SBB′中，易 得 BB′＝2 3. 6. 29 29 6 π cm3 解析：三棱锥的三条侧棱长分别为 2 cm,3 cm,4 cm，外接球的半径为 1 2 22＋32＋42＝ 29 2 ，V＝4 3πr3＝29 29π 6 . 7. 2 4 解析：A1A＝A1B＝A1C＝AB＝AC＝BC.∴ A1—ABC 为正四棱锥，∴ A1 在 △ABC 上的射影为△ABC 的中心．∴ 3 2 A1O＝1× 2 2 A1O＝ 6 3 ，∴ V＝S△ABC·A1O＝ 2 4 . 8. 100 解析：纸的厚度为 0.1 mm，可以把绕在盘上的纸近似的看做是一组同心圆，然 后分别计算各圆的周长，再算总和． 由内向外各圈的半径分别为 20.05, 20.15，……，59.95. 因此，各圈的周长分别为 40.1π，40.3π，……，119.9π. 因此各圈半径组成首项为 20.05，公差为 0.1 的等差数列，设圈数为 n， 则 59.95＝20.05＋0.1(n－1)，解得 n＝400， 显然各圈的周长组成一个首项为 40.1π，公差为 0.2π，项数为 400 的等差数列．根据等 差数列的求和公式，得 S＝400×40.1π＋400×400－1 2 ×0.2π＝32 000π mm≈100 m. 9. 解：(1) 因翻折后 B、C、D 重合(如图)， 所以 MN 应是△ABF 的一条中位线， 则 MN∥AF MN 平面 AEF AF 平面 AEF MN∥平面 AEF. (2) 因为 AB⊥BE AB⊥BF AB⊥平面 BEF， 且 AB＝6，BE＝BF＝3，所以 VA—BEF＝9. 又VE—AFMN VE—ABF ＝SAFMN S△ABF ＝3 4 ，所以 VE—AFMN＝27 4 cm3. 10. 解：圆锥及内接圆柱的轴截面，如图所示， 设所求圆柱的底面半径为 r，它的侧面积 S 圆柱侧＝2πrx， ∵ r R ＝H－x H ，∴ r＝R－R Hx， ∴ S 圆柱侧＝2πRx－2πR H x2(0＜x＜H)， ∴ x＝－ 2πR －2×2πR H ＝H 2 时，圆柱侧面积有最大值． 第 15 讲 点、直线、平面之间的位置关系 1. 平行 相交 在平面内 平行 相交 平行 相交 2. 6 3. ② 解析：由 l1⊥l2，l2∥l3，根据异面直线所成角知 l1 与 l3 所成角为 90°. 4. ②④ 解析：对①，若 l 垂直于α内两条平行直线，则推不出 l⊥α，∴ ①错误；对③， m∥β，mα ，nβ m∥n 或 m，n 异面，∴ ③错误． 5. 90° 6. 3π 2 解析：如图所示，P、A、B、C 四点可以看成如图正方体的四个顶点，则三棱 锥 P—ABC 的外接球就是该正方体的外接球，易得正方体的边长 a＝ 2 2 ，球的半径 R＝ 1 2 a2＋a2＋a2＝ 6 4 ，∴ S 球＝4πR2＝3π 2 . 7. ②④ 解析：②： l⊥m α∩γ＝m α⊥γ lγ l⊥α，④： l⊥α lβ α ⊥β. 8. ①② 9. 证明：(1) 连 DA、DB1、DO， ∵ AB＝A1A，D 为 C1C 的中点， 而 DB1＝ DC21＋C1B21，DA＝ DC2＋CA2， ∴ DB1＝DA. 又 O 是正方形 A1ABB1 对角线的交点， ∴ DO⊥AB1. 又 A1B⊥AB1，A1B∩DO＝O， ∴ AB1⊥平面 A1BD. (2) 取 A1O 的中点 F，在△A1OA 中， ∵ E 是 OA 中点，∴ EF 1 2AA1. 又 D 为 C1C 的中点， ∴ CD＝1 2AA1，CD∥AA1. ∴ EF CD，故四边形 CDFE 是平行四边形．∴ CE∥DF. 又 DF 平面 A1BD，CE 平面 A1BD， ∴ EC∥平面 A1BD. 10. (1) 证明：∵ BB1＝BC，所以侧面 BCC1B1 是菱形，∴ B1C⊥BC1. 又 B1C⊥A1B，且 A1B∩BC1＝B， ∴ BC1⊥平面 A1BC1. 又 B1C 平面 AB1C，所以平面 AB1C⊥平面 A1BC1. (2) 解：设 B1D 交 BC1 于点 F，连结 EF，则平面 A1BC1∩平面 B1DE＝EF. ∵ A1B∥平面 B1DE，A1B 平面 A1BC1， ∴ A1B∥EF.∴ A1E EC1 ＝ BF FC1 . 又 BF FC1 ＝ BD B1C1 ＝1 2 ，∴ A1E EC1 ＝1 2. 滚动练习(五) 1. x∈R，sinx≤0 2. [3，＋∞) 解析：函数定义域为(3，＋∞)，y＝x－3 在(3，＋∞)上单调增， ∴ a＞1 且(a，＋∞) (3，＋∞)，∴ a≥3. 3. 1 2 解析： tan22.5° 1－tan222.5° ＝1 2· 2tan22.5° 1－tan222.5° ＝1 2tan45°＝1 2. 4. π 解析：设圆锥底面半径为 r，母线长为 l，则πrl＝2πr2，圆锥的侧面展开图扇形的 圆心角θ＝2πr l ＝π. 5. 8 解析：由线性规划得，当 x＝2，y＝3 时，z＝35，∴ ab＝16，∴ a＋b≥2 ab＝8， 当且仅当 a＝b＝4 时取等号． 6. ④ 7. ①②④ 8. －6 5 ，0 解析：到原点距离等于 1 的点的轨迹是单位圆 x2＋y2＝1，则两圆 x2＋y2 ＝1 和(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4 相交时满足题意， 因此 1＜ 4a2＋a＋32＜3，∴ －6 5 ＜a＜0. 9. 0， 1 10 ∪(10，＋∞) 解析：函数 f(x)在(－∞，0]上是减函数，在(0，＋∞)上是增 函数，则|lgx|＞1，∴ x＞10 或 0＜x＜ 1 10. 10. π 6 ，5π 6 解析：S＝|a|·|b|sinθ＝|b|sinθ＝2，∵ |b|≤1，∴ sinθ≥1 2 ，又θ∈[0，π]，∴ π 6 ≤θ≤5π 6 . 11. 证明：(1)∵ O、H 分别为 AE、AB 的中点， ∴ OH∥BE，又 OH 不在面 BDE 内，∴ 直线 OH∥面 BDE. (2) O 为 AE 的中点，AD＝DE，∴ DO⊥AE，∵ DO＝ 2，DB＝2 3， BO2＝10，∴ DB2＝DO2＋BO2，∴ DO⊥OB，又∵ AE 和 BO 是相交直线， ∴ DO⊥面 ABCE，又 OD 在面 ADE 内，∴ 面 ADE⊥面 ABCE. 12. (1) 证明：∵ BC＝AC，M 为 AB 中点，∴ CM⊥AB. 又平面 ABC⊥平面 ABDE，平面 ABC∩平面 ABDE＝AB，CM 平面 ABC， ∴ CM⊥平面 ABDE.又 DE 平面 ABDE，∴ CM⊥DE. (2) 解：当AN AC ＝1 3 时，CD∥平面 BEN. 连结 AD 交 BE 于点 K，连结 KN，因梯形 ABDE 中 BD∥AE，BD＝2AE， ∴ AK KD ＝AE BD ＝1 2 ，则AK AD ＝1 3.又AN AC ＝1 3 ，∴ KN∥CD. KN 平面 BEN，CD 平面 BEN，∴ CD∥平面 BEN. 13. 解：(1) 由题意可知，直线 x＋my＋4＝0 经过圆心(－1,3)，则－1＋3m＋4＝0，∴ m ＝－1. (2) kPQ＝－1，设直线 PQ 的方程 y＝－x＋b，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立 y＝－x＋b， x2＋y2＋2x－6y＋1＝0， 消 y 得，2x2＋(8－2b)x＋b2－6b＋1＝0， x1＋x2＝b－4，x1x2＝b2－6b＋1 2 ， ∵ OP⊥OQ，∴ x1x2＋y1y2＝0， ∴ x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－b)(x2－b)＝2x1x2－b(x1＋x2)＋b2＝b2－2b＋1＝0，∴ b＝1. 因此，直线 PQ 的方程是 x＋y－1＝0. 14. 解：(1) 点 n，Sn n 在直线 y＝1 2x＋11 2 上，∴ Sn n ＝1 2n＋11 2 ，即 Sn＝1 2n2＋11 2 n，an＝n ＋5. ∵ bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)，∴ bn＋2－bn＋1＝bn＋1－bn＝…＝b2－b1. ∴ 数列{bn}是等差数列，∵ b3＝11，它的前 9 项和为 153，设公差为 d， 则 b1＋2d＝11,9b1＋9×8 2 ×d＝153，解得 b1＝5，d＝3.∴ bn＝3n＋2. (2) 由(1)得，cn＝ 3 2an－112bn－1 ＝ 1 2n－12n＋1 ＝1 2 1 2n－1 － 1 2n＋1 ， ∴ Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1 2 1－1 3 ＋1 2 1 3 －1 5 ＋1 2 1 5 －1 7 ＋…＋1 2 1 2n－1 － 1 2n＋1 ＝ 1 2 1－ 1 2n＋1 . ∵ Tn＝1 2 1－ 1 2n＋1 在 n∈N*上是单调递增的，∴ Tn＜1 2 ， ∵ 不等式 Tn＜ k 57 对一切 n∈N*都成立. k 57 ≥1 2 ，则 k≥57 2 ， 又 k∈N*，∴ k≥29.∴ 最小的正整数 k 的值为 29. (3) n∈N*，f(n)＝ an，n 为奇数， bn，n 为偶数 ＝ n＋5，n 为奇数， 3n＋2，n 为偶数. 当 m 为奇数时，m＋15 为偶数；当 m 为偶数时，m＋15 为奇数． 若 f(m＋15)＝5f(m)成立，则有 3(m＋15)＋2＝5(m＋5)(m 为奇数) 或 m＋15＋5＝5(3m＋2)(m 为偶数)． 解得 m＝11.所以当 m＝11 时，f(m＋15)＝5f(m)成立． 专题六 概率与统计、算法、复数 第 16 讲 概率与统计 1. 150 解析：支出在[50,60]元的同学在分布表中的频率为 0.3，所以人数为 500×0.3 ＝150. 2. 2 解析：平均数为 9，代入方差公式得． 3. 26 27 解析：这是一道古典概率题，n＝27，四个面上都未涂有红漆的只有 1 块，用对 立事件来解决，∴ p＝1－ 1 27 ＝26 27. 4. 80 解析：n＝16 2 10 ＝80. 5. 1 2 解析：由表可知， x 18 ＝ y 54 ＝ 2 18 ，∴ x＝1，y＝3，设高一抽的学生为 A，高三的三 个学生为 B、C、D ，则选取两个人有：AB，AC，AD，BC，BD，CD 共 6 种，其中两人 都来自于高三有 BC，BD，CD 共 3 种，故所求概率为1 2. 6. 1 5 解析：这是一道几何概率，D 的测度为 5，d 的测度为 1，故概率 p＝1 5. 7. 5.25 解析：本题考查：线性回归直线必过均值点． 8. 85 1.6 解析：根据茎叶图可得这 7 个数据分别为：79,84,84,86,84,87,93，则去掉一 个最高分和一个最低分后的平均分为 x－＝1 5 ×(84×3＋86＋87)＝85，方差为 s2＝1 5 ×[(84－ 85)2×3＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6. 9. 点拨：本小题主要考查概率、统计等基础知识，数据处理能力、运算求解能力、应 用意识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想． 解：(1) 由频率分布表得 a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即 a＋b＋c＝0.35，因为抽取的 20 件 日用品中，等级系数为 4 的恰有 3 件，所以 b＝ 3 20 ＝0.15，等级系数为 5 的恰有 2 件，所以 c＝ 2 20 ＝0.1，从而 a＝0.35－b－c＝0.1，所以 a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1. (2) 从日用品 x1，x2，y1，y2 中任取两件，所有可能的结果为：{x1，x2}，{x1，x3}，{x1， y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}，设事件 A 表 示“从日用品 x1，x2，x3，y1，y2 中任取两件，其等级系数相等”，则 A 包含的基本事件为： {x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}共 4 个，又基本事件的总数为 10，故所求的概率 P(A) ＝ 4 10 ＝0.4. 10. 解：(1)依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在 80 mg/100 mL(含 80)以上者， 共有 0.05×60＝3 人． (2) 由图知 60 名驾车者血液的酒精浓度的平均值＝25×0.25＋35×0.15＋45×0.2＋ 55×0.15＋65×0.1＋75×0.1＋85×0.05＝47(mg/100 mL) (3) 第五组和第七组的人分别有：60×0.1＝6 人，60×0.05＝3 人． |x－y|≤10 即选的两人只能在同一组中， 设第五组中六人为 a，b，c，d，e，f，第七组中三人为 A，B，C. 则从 9 人中抽出 2 人的一切可能的结果组成的基本事件如下： ab；ac；ad；ae；af；aA；aB；aC； bc；bd；be；bf；bA；bB；bC； cd；ce；cf；cA；cB；cC； de；df；dA；dB；dC； ef；eA；eB；eC； fA；fB；fC； AB；AC；BC，共 36 种． 其中两人只能在同一组中的事件有 18 种，用 M 表示|x－y|≤10 这一事件，则概率 P(M) ＝18 36 ＝1 2. 第 17 讲 算法、复数 1. －8i 解析： i－1 i 3＝(2i)3＝－8i. 2. ±1 解析： b2－1＝0 b≠0 b＝±1. 3. 1 解析：z＝ 2i 1＋i ＝2i1－i 2 ＝1＋i. 4. 96 5. －9 6. 2 5 解析：|(－3＋i)－(1－i)|＝|－4＋2i|＝ －42＋22＝2 5. 7. 24 8. 1 解析：满足|z＋i|＋|z－i|＝2 的复数 z 在复平面内对应的点到(0,1)、(0，－1)两点距 离之和等于 2，因此复数 z 在复平面内对应点的轨迹是连结(0,1)、(0，－1)的线段，|z＋i＋ 1|表示复数 z 对应的点到点(－1，－1)的距离，结合图形可知，最小值是 1. 9. 5 049 10. 10 滚动练习(六) 1. i 解析： i－2 1＋2i ＝i＋2i2 1＋2i ＝i. 2. 1 3 解析：这是一道古典概率题，P＝m n ＝2 6 ＝1 3. 3. 2 解析：集合 A 表示由圆 x2＋y2＝1 上的所有点组成的集合，集合 B 表示直线 y＝x 上的所有点组成的集合，由于直线经过圆内的点 O(0,0)，则直线与圆有两个交点． 4. 24 23 5. 5 解析：0＋log2 2 1 ＋log2 3 2 ＋log2 4 3 ＋log2 5 4 ＝log25>2. ∴ 在第 4 个循环时 T>2.此时 i＝1＋4＝5. 6. n＋2 n＋1 解析：f(1)＝2(1－a1)＝3 2 ＝1＋2 1＋1 ， f(2)＝2(1－a1)(1－a2)＝2 1－1 4 1－1 9 ＝4 3 ＝2＋2 2＋1 ， f(3)＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2 1－1 4 1－1 9 1－ 1 16 ＝5 4 ＝3＋2 3＋1 ，可猜测 f(n)＝n＋2 n＋1 . 7. 1 2 ，15 4 解析：由 2－x－x2＋b＝0 得 b＝x2－2－x，函数 y＝x2－2－x 在 [1,2]上单调增，故 b∈ 1 2 ，15 4 . 8. 5 3 2 解析：在△ABC 中 OA＝2，OB＝5，cos〈OA→ ，OB→ 〉＝ －5 2×5 ＝－1 2 ， ∴ S△OAB＝1 2 ×2×5×sin120°＝5 3 2 . 9. [－1，＋∞) 解析：运用函数与方程、不等式的思想． ∵ x2－ax≤4x－a－3，∴ a(x－1)≥x2－4x＋3.显然当 x＝1 时，不等式恒成立； 当 x∈(1,2]时，a≥x－3. 函数 y＝x－3 在 x∈(1,2]上单调增，y≤－1，∴ a≥－1. 10. 1 c －1 b 解析：(解法 1，类比法)E 在 AC 上，OE 的方程为 1 b －1 c x＋ 1 p －1 a y＝0. F 在 AB 上，它们的区别在于 B、C 互换． 因而 OF 的方程应为 1 c －1 b x＋ 1 p －1 a y＝0. ∴ 括号内应填：1 c －1 b. (解法 2)画草图如右，由对称性可猜想填1 c －1 b. 事实上，由截距式可得直线 AB：x b ＋y a ＝1，直线 CP：x c ＋y p ＝1，两式相减得 1 c －1 b x＋ 1 p －1 a y＝0，显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程，又原点 O 也满足此方程，故为所求直线 OF 的方程． 11. 解：(1) 设区域 A 中任意一点 P(x，y)∈B 为事件 M. 因为区域 A 的面积为 S1＝36，区域 B 在区域 A 中的面积为 S2＝18. 故 P(M)＝18 36 ＝1 2. (2) 设点 P(x，y)落在区域 B 中为事件 N.甲、乙两人各掷一次骰子所得的点 P(x，y)的个 数为 36，其中在区域 B 中的点 P(x，y)有 21 个． 故 P(N)＝21 36 ＝ 7 12. 12. 解：(1) ∵ m＝2sinB 2 cosB 2 ，sinB 2 ，n＝2(1,0)， ∴ m·n＝4sinB 2cosB 2 ，|m|＝2sinB 2 ，|n|＝2， ∴ cosθ＝ m·n |m|·|n| ＝cosB 2. 由 cosB 2 ＝1 2 ，0＜B＜π，得B 2 ＝π 3 ，即 B＝2π 3 . (2) ∵ B＝2π 3 ，∴ A＋C＝π 3. ∴ sinA＋sinC＝sinA＋sin π 3 －A ＝sinA＋sinπ 3cosA－cosπ 3sinA ＝1 2sinA＋ 3 2 cosA＝sin π 3 ＋A . 又 0＜A＜π 3 ，∴ π 3 ＜π 3 ＋A＜2π 3 ， ∴ 3 2 ＜sin π 3 ＋A ≤1，∴ sinA＋sinC∈ 3 2 ，1 . 又 a＋c＝2RsinA＋2RsinC＝2(sinA＋sinC)，∴ a＋c∈( 3，2]． 13. (1) 证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有 a22＝a1a3， 即 2 3λ－3 2＝λ 4 9λ－4 4 9λ2－4λ＋9＝4 9λ2－4λ 9＝0，矛盾． 所以{an}不是等比数列． (2) 解：因为 bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21] ＝(－1)n＋1 2 3an－2n＋14 ＝－2 3(－1)n·(an－3n＋21)＝－2 3bn， 又 b1＝－(λ＋18)， 所以当λ＝－18 时，bn＝0(n∈N*)，此时{bn}不是等比数列； 当λ≠－18 时，b1＝－(λ＋18)≠0，由 bn＋1＝－2 3bn，可知 bn≠0，所以bn＋1 bn ＝－2 3(n∈N*)． 故当λ≠－18 时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－2 3 为公比的等比数列； 综上知，当λ＝－18 时，数列{bn}构不成等比数列； 当λ≠－18 时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－2 3 为公比的等比数列． 14. 解：(1) (解法 1)连结 OC. 设 BC＝x，矩形 ABCD 的面积为 S. 则 AB＝2 900－x2，其中 0＜x＜30. 所以 S＝2x 900－x2＝2 x2900－x2 ≤x2＋(900－x2)＝900. 当且仅当 x2＝900－x2，即 x＝15 2时，S 取最大值为 900 cm2. 答：取 BC 为 15 2 cm 时，矩形 ABCD 的面积最大，最大值为 900 cm2. (解法 2)连结 OC.设∠BOC＝θ，矩形 ABCD 的面积为 S. 则 BC＝30sinθ，OB＝30cosθ，其中 0＜θ＜π 2. 所以 S＝AB·BC＝2OB·BC＝900sin2θ. 所以当 sin2θ＝1，即θ＝π 4 时，S 取最大值为 900 cm2，此时 BC＝15 2. 答：取 BC 为 15 2 cm 时，矩形 ABCD 的面积最大，最大值为 900 cm2. (2) (解法 1)设圆柱底面半径为 r，高为 x，体积为 V. 由 AB＝2 900－x2＝2πr，得 r＝ 900－x2 π ， 所以 V＝πr2h＝1 π(900x－x3)，其中 0＜x＜30. 由 V′＝1 π(900－3x2)＝0，得 x＝10 3. 因此 V＝1 π(900x－x3)在(0,10 3)上是增函数，在(10 3，30)上是减函数． 所以当 x＝10 3时，V 的最大值为6 000 3 π . 答：取 BC 为 10 3 cm 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为6 000 3 π cm3. (解法 2)连结 OC，设∠BOC＝θ，圆柱底面半径为 r，高为 h，体积为 V， 则圆柱的底面半径为 r＝30cosθ π ，高 h＝30sinθ，其中 0＜θ＜π 2. 所以 V＝πr2h＝27 000 π sinθcos2θ＝27 000 π (sinθ－sin3θ)． 设 t＝sinθ，则 V＝27 000 π (t－t3)． 由 V′＝27 000 π ·(1－3t2)＝0，得 t＝ 3 3 . 因此 V＝27 000 π (t－t3)在 0， 3 3 上是增函数，在 3 3 ，1 上是减函数． 所以当 t＝ 3 3 时，即 sinθ＝ 3 3 ，此时 BC＝10 3时，V 的最大值为6 000 3 π . 答：取 BC 为 10 3 cm 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为 6 000 3 π cm3. 专题七 数学思想方法 第 18 讲 分类讨论思想 1. －1,0,1 解析：分 m＝0，m≠0 两种情况写出集合 B. 2. 2 解析：分别讨论，令 f(x)＝0，得 x＝－3 和 x＝e2. 3. 0＜a＜2 3 或 a＞1 解析：分 0＜a＜1 和 a＞1 两种情况讨论． 4. Sn＝ n，x＝1， 1－xn 1－x ，x≠1， 解析：分 x＝1 和 x≠1 两种情况讨论，利用等比数列求和 公式． 5. 3 或1 3 解析：分焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况． 6. (－∞，1] 解析：m＝0 符合题意；由于 f(0)＝1，m＜0 也符合题意； m＞0 时，则 －m－3 2m ＞0， m－32－4m≥0， ∴ 0＜m≤1.综上 m≤1. 7. 3 4 ，1 解析：当 0＜a＜1 时，函数 y＝x3－ax 在 －1 2 ，0 上单调减， ∴ y′(x)＝3x2－a≤0 对 x∈ －1 2 ，0 恒成立，从而3 4 ≤a＜1； 当 a＞1 时，函数 y＝x3－ax 在 －1 2 ，0 上单调增；而 y′(x)＝3x2－a≥0 对 x∈ －1 2 ，0 不恒成立，故 a 的取值范围是 3 4 ，1 . 8. (－1， 2－1) 解析：分 x＜－1，－1≤x＜0,0≤x≤1，x＞1 四种情况． 9. 证明：若 q＝1，则{an}的每项 an＝a，此时 am＋k、an＋k、al＋k 显然成等差数列． 若 q≠1，由 Sm、Sn、Sl 成等差数列可得 Sm＋Sl＝2Sn，即aqm－1 q－1 ＋aql－1 q－1 ＝2aqn－1 q－1 . 整理得 qm＋ql＝2qn. 因此，am＋k＋al＋k＝aqk－1(qm＋ql)＝2aqn＋k－1＝2an＋k. 所以，am＋k、an＋k、al＋k 也成等差数列． 10. 解：f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．令 f′(x)＝0，解得 x＝0 或 x＝1 a. 以下分两种情况讨论： (1) 若 0＜a≤2，则1 a ≥1 2.当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x －1 2 ，0 0 0，1 2 f′(x) ＋ 0 － f(x) 极大值 当 x∈ －1 2 ，1 2 时，f(x)＞0 等价于 f －1 2 ＞0， f 1 2 ＞0， 即 5－a 8 ＞0， 5＋a 8 ＞0. 解不等式组得－52，则 0＜1 a ＜1 2.当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x －1 2 ，0 0 0，1 a 1 a 1 a ，1 2 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 当 x∈ －1 2 ，1 2 时，f(x)＞0 等价于 f －1 2 ＞0， f 1 a ＞0， 即 5－a 8 ＞0， 1－ 1 2a2 ＞0. 解不等式组得 2 2 ＜a＜5 或 a＜－ 2 2 .因此 2

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