【数学】2018届一轮复习苏教版(理)等差数列及其前n项和教案(江苏专用)

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文档介绍

【数学】2018届一轮复习苏教版(理)等差数列及其前n项和教案(江苏专用)

第34课 等差数列及其前n项和 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 等差数列 ‎√‎ ‎1.等差数列的有关概念 ‎(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列.用符号表示为an+1-an=d(n∈N+,d为常数).‎ ‎(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=,其中A叫作a,b的等差中项.‎ ‎2.等差数列的有关公式 ‎(1)通项公式:an=a1+(n-1)d.‎ ‎(2)前n项和公式:Sn=na1+=.‎ ‎3.等差数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N+).‎ ‎(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则ak+al=am+an.‎ ‎(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.‎ ‎(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.‎ ‎(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+‎2m,…(k,m∈N+)是公差为md的等差数列.‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(  )‎ ‎(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N+,都有2an+1=an +an+2.(  )‎ ‎(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(  )‎ ‎(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×‎ ‎2.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=0,则公差d=____________.‎ ‎-2 [依题意得S3=3a2=6,即a2=2,故d=a3-a2=-2.]‎ ‎3.(2017·南京模拟)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=____________时,{an}的前n项和最大.‎ ‎8 [由等差数列的性质可知,‎ a7+a8+a9=‎3a8,a7+a10=a8+a9,‎ 故a8>0,a8+a9<0,‎ ‎∴a9<0,即当n=8时,{an}的前n项和最大.]‎ ‎4.(2016·江苏高考)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+a=-3,S5=10,则a9的值是________.‎ ‎20 [法一:设等差数列{an}的公差为d,由S5=10,知S5=‎5a1+d=10,得a1+2d=2,即a1=2-2d,所以a2=a1+d=2-d,代入a1+a=-3,化简得d2-6d+9=0,所以d=3,a1=-4.故a9=a1+8d=-4+24=20.‎ 法二:设等差数列{an}的公差为d,由S5=10,知=5a3=10,所以a3=2.‎ 所以由a1+a3=2a2,得a1=2a2-2,代入a1+a=-3,化简得a+2a2+1=0,所以a2=-1.‎ 公差d=a3-a2=2+1=3,故a9=a3+6d=2+18=20.]‎ ‎5.(教材改编)在100以内的正整数中有__________个能被6整除的数.‎ ‎16 [由题意知,能被6整除的数构成一个等差数列{an},‎ 则a1=6,d=6,得an=6+(n-1)6=6n.‎ 由an=6n≤100,即n≤16=16,‎ 则在100以内有16个能被6整除的数.]‎ 等差数列的基本运算 ‎ (1)(2017·苏州模拟)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和,若S8=4S4,则a10=____________. 【导学号:62172185】‎ ‎(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,S11=22,a4=-12,若am=30,则m=____________.‎ ‎(1) (2)10 [(1)∵公差为1,‎ ‎∴S8=8a1+×1=8a1+28,S4=4a1+6.‎ ‎∵S8=4S4,∴8a1+28=4(4a1+6),解得a1=,‎ ‎∴a10=a1+9d=+9=.‎ ‎(2)设等差数列{an}的公差为d,依题意解得 ‎∴am=a1+(m-1)d=7m-40=30,∴m=10.]‎ ‎[规律方法] 1.等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知三求二,体现了方程思想的应用.‎ ‎2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法,称为基本量法.‎ ‎[变式训练1] (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足-=1,则数列{an}的公差是____________.‎ ‎(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=__________.‎ ‎(1)2 (2)-72 [(1)∵Sn=,∴=,又-=1,‎ 得-=1,即a3-a2=2,‎ ‎∴数列{an}的公差为2.‎ ‎(2)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,‎ 由已知,得解得 ‎∴S16=16×3+×(-1)=-72.]‎ 等差数列的判定与证明 ‎ 已知数列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N+),数列{bn}满足bn=(n∈N+).‎ ‎(1)求证:数列{bn}是等差数列;‎ ‎(2)求数列{an}中的通项公式an. 【导学号:62172186】‎ ‎[解] (1)证明:因为an=2-(n≥2,n∈N+),‎ bn=.‎ 所以n≥2时,bn-bn-1=- ‎=-=-=1.‎ 又b1==-,‎ 所以数列{bn}是以-为首项,1为公差的等差数列.‎ ‎(2)由(1)知,bn=n-,‎ 则an=1+=1+.‎ ‎[规律方法]‎ ‎ 1.判断等差数列的解答题,常用定义法和等差中项法,而通项公式法和前n项和公式法主要适用于客观题中的简单判断.‎ ‎2.用定义证明等差数列时,常采用两个式子an+1-an=d和an-an-1=d,但它们的意义不同,后者必须加上“n≥‎2”‎,否则n=1时,an无意义.‎ ‎[变式训练2] (1)若{an}是公差为1的等差数列,则{a2n-1+‎2a2n}是____________.(填序号)‎ ‎①公差为3的等差数列;‎ ‎②公差为4的等差数列;‎ ‎③公差为6的等差数列;‎ ‎④公差为9的等差数列.‎ ‎③ [∵a2n-1+‎2a2n-(a2n-3+‎2a2n-2)‎ ‎=(a2n-1-a2n-3)+2(a2n-a2n-2)‎ ‎=2+2×2=6,‎ ‎∴{a2n-1+2a2n}是公差为6的等差数列.]‎ ‎(2)在数列{an}中,若a1=1,a2=,=+(n∈N+),则该数列的通项为____________.‎ an= [由已知=+可得-=-,知是首项为=1,公差为-=2-1=1的等差数列,所以=n,即an=.]‎ 等差数列的性质与最值 ‎ (1)如图所示的数阵中,每行、每列的三个数均成等差数列,如果数阵中所有数之和等于63,那么a52=____________.‎ ‎(2)等差数列{an}中,设Sn为其前n项和,且a1>0,S3=S11,则当n为多少时,Sn取得最大值.‎ ‎(1)7 [法一:第一行三数成等差数列,由等差中项的性质有a41+a42+a43=‎3a42,同理第二行也有a51+a52+a53=‎3a52,第三行也有a61+a62+a63=‎3a62,又每列也成等差数列,所以对于第二列,有a42+a52+a62=‎3a52,所以a41+a42+a43+a51+a52+a53+a61+a62+a63=‎3a42+‎3a52+‎3a62=3×‎3a52=63,所以a52=7.‎ 法二:由于每行每列都成等差数列,不妨取特殊情况,即这9个数均相同,显然满足题意,所以有63÷9=7,即a52=7.]‎ ‎(2)法一:由S3=S11,可得‎3a1+d=‎11a1+d,‎ 即d=-a1.‎ 从而Sn=n2+n=-(n-7)2+a1,‎ 因为a1>0,所以-<0.‎ 故当n=7时,Sn最大.‎ 法二:由法一可知,d=-a1.‎ 要使Sn最大,则有 即 解得6.5≤n≤7.5,故当n=7时,Sn最大.‎ 法三:由S3=S11,可得2a1+13d=0,‎ 即(a1+6d)+(a1+7d)=0,‎ 故a7+a8=0,又由a1>0,S3=S11可知d<0,‎ 所以a7>0,a8<0,所以当n=7时,Sn最大.‎ ‎[规律方法] 1.等差数列的性质 ‎(1)项的性质:在等差数列{an}中,am-an=(m-n)d⇔=d(m≠n),其几何意义是点(n,an),(m,am)所在直线的斜率等于等差数列的公差.‎ ‎(2)和的性质:在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则 ‎①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);‎ ‎②S2n-1=(2n-1)an.‎ ‎2.求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 ‎(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.‎ ‎(2)邻项变号法:‎ ‎①当a1>0,d<0时,满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm;‎ ‎②当a1<0,d>0时,满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.‎ ‎[变式训练3] (1)在等差数列{an}中,a3+a9=27-a6,Sn表示数列{an}的前n项和,则S11=____________.‎ ‎99 [因为a3+a9=27-a6,‎2a6=a3+a9,所以‎3a6=27,所以a6=9,所以S11=(a1+a11)=‎11a6=99.]‎ ‎(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=10,S10=30,则S15=____________.‎ ‎60 [因为数列{an}为等差数列,所以S5,S10-S5,S15-S10也成等差数列,设S15=x,则10,20,x-30成等差数列,所以2×20=10+(x-30),所以x=60,即S15=60.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1.等差数列的通项公式,前n项和公式涉及“五个量”,“知三求二”,需运用方程思想求解,特别是求a1和d.‎ ‎(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,….‎ ‎(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,….‎ ‎2.等差数列{an}中,an=an+b(a,b为常数),Sn=An2+Bn(A,B为常数),均是关于“n”的函数,充分运用函数思想,借助函数的图象、性质简化解题过程.‎ ‎3.等差数列的四种判断方法:‎ ‎(1)定义法:an+1-an=d(d是常数)⇔{an}是等差数列.‎ ‎(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N+)⇔{an}是等差数列.‎ ‎(3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列.‎ ‎(4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)⇔{an}是等差数列.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1.要注意概念中的“从第2项起”.如果一个数列不是从第2项起,每一项与它前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列.‎ ‎2.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别.‎ ‎3.求等差数列的前n项和Sn的最值时,需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件.‎ 课时分层训练(三十四)‎ A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ 一、填空题 ‎1.在等差数列{an}中,若前10项的和S10=60,且a7=7,则a4=____________.‎ ‎5 [法一:由题意得解得 ‎∴a4=a1+3d=5.‎ 法二:由等差数列的性质有a1+a10=a7+a4,∵S10==60,∴a1+a10=12.又∵a7=7,∴a4=5.]‎ ‎2.已知数列{an}是等差数列,且a7-‎2a4=6,a3=2,则公差d=____________. ‎ ‎【导学号:62172187】‎ ‎4 [法一:由题意得a3=2,a7-‎2a4=a3+4d-2(a3+d)=6,解得d=4.‎ 法二:由题意得解得]‎ ‎3.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,a3=5,Sk+2-Sk=36,则k的值为____________.‎ ‎8 [设等差数列的公差为d,由等差数列的性质可得2d=a3-a1=4,得d=2,所以an=1+2(n-1)=2n-1,Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=2(k+2)-1+2(k+1)-1=4k+4=36,解得k=8.]‎ ‎4.若数列{an}满足a1=15,且3an+1=3an-2,则使ak·ak+1<0的k值为________.‎ ‎23 [∵3an+1=3an-2,‎ ‎∴an+1-an=-,‎ ‎∴an=15+-(n-1)=-n+.‎ 由an=-n+>0得n<23.5,‎ ‎∴使ak·ak+1<0的k值为23.]‎ ‎5.(2017·苏州期中)等差数列{an}中,前n项和为Sn,若S4=‎8a1,a4=4+a2,则S10=____________.‎ ‎120 [∵{an}为等差数列,∴2d=a4-a2=4,d=2.‎ 由S4=8a1得4a1+×2=8a1,即a1=3.‎ ‎∴S10=10×3+×2=120.]‎ ‎6.(2016·全国卷Ⅰ改编)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=____________.‎ ‎98 [法一:∵{an}是等差数列,设其公差为d,‎ ‎∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3.‎ 又∵a10=8,∴∴ ‎∴a100=a1+99d=-1+99×1=98.‎ 法二:∵{an}是等差数列,‎ ‎∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3.‎ 在等差数列{an}中,a5,a10,a15,…,a100成等差数列,且公差d′=a10-a5=8-3=5.‎ 故a100=a5+(20-1)×5=98.‎ ‎]‎ ‎7.已知数列{an}中,a1=1且=+(n∈N+),则a10=____________.‎ ‎ 【导学号:62172188】‎  [由=+得为首项为1,公差为的等差数列,∴=1+(n-1)×=,‎ ‎∴a10==.]‎ ‎8.设数列{an}的通项公式为an=2n-10(n∈N+),则|a1|+|a2|+…+|a15|=____________.‎ ‎130 [由an=2n-10(n∈N+)知{an}是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由an=2n-10≥0得n≥5,∴n<5时,an<0,当n≥5时,an≥0,∴|a1|+|a2|+…+|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+…+a15)=20+110=130.]‎ ‎9.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=____________.‎ ‎5 [∵数列{an}为等差数列,且前n项和为Sn,∴数列也为等差数列.‎ ‎∴+=,‎ 即+=0,‎ 解得m=5,经检验为原方程的解.]‎ ‎10.数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列,且bn=an+1-an(n∈N+),若b3=-2,b10=12,则a8=____________.‎ ‎3 [设{bn}的公差为d,‎ ‎∵b10-b3=7d=12-(-2)=14,∴d=2.‎ ‎∵b3=-2,∴b1=b3-2d=-2-4=-6.‎ ‎∴b1+b2+…+b7=7b1+d ‎=7×(-6)+21×2=0.‎ 又b1+b2+…+b7=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a8-a7)=a8-a1=a8-3=0,‎ ‎∴a8=3.]‎ 二、解答题 ‎11.已知等差数列的前三项依次为a,4,‎3a,前n项和为Sn,且Sk=110.‎ ‎(1)求a及k的值;‎ ‎(2)设数列{bn}的通项bn=,证明:数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn. 【导学号:62172189】‎ ‎[解] (1)设该等差数列为{an},‎ 则a1=a,a2=4,a3=3a,‎ 由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,‎ 所以Sk=ka1+·d=2k+×2=k2+k.‎ 由Sk=110,得k2+k-110=0,‎ 解得k=10或k=-11(舍去),‎ 故a=2,k=10.‎ ‎(2)证明:由(1)得Sn==n(n+1),则bn==n+1,‎ 故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,‎ 即数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列,‎ 所以Tn==.‎ ‎12.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3·a4=117,a2+a5=22.‎ ‎(1)求通项an;‎ ‎(2)求Sn的最小值;‎ ‎(3)若数列{bn}是等差数列,且bn=,求非零常数c.‎ ‎[解] (1)因为数列{an}为等差数列,‎ 所以a3+a4=a2+a5=22.‎ 又a3·a4=117,‎ 所以a3,a4是方程x2-22x+117=0的两实根,又公差d>0,所以a3
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