2017-2018学年湖南省岳阳市第一中学高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

2017-2018学年湖南省岳阳市第一中学高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

绝密★启用前 湖南省岳阳市第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：求出中函数的值域确定出，求出中方程的解确定出，再求与的交集即可.‎ 详解：由，得，‎ 由方程解得：或，即，则，故选B.‎ 点睛：本题主要考查了交集及其运算，认清集合的本质和熟练掌握交集的定义是解本题的关键.‎ ‎2．已知复数，则的虚部为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由复数，可得，‎ 所以复数的虚部为，故选A.‎ ‎3．若，且，则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：因为，且，所以 ，故选D。‎ 考点：本题主要考查二倍角的三角公式，三角函数同角公式。‎ 点评：典型题，涉及三角函数同角公式“平方关系”时，要注意开方运算“”的选取。‎ ‎4．若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据题意，结合椭圆的性质，可得，进而可得，再由双曲线的渐近线方程的定义可得答案．‎ 详解：根据题意，椭圆的离心率为，‎ 则有，即，‎ 则双曲线的渐近线方程为，即，故选A．‎ 点睛：本题主要考查了椭圆的离心率以及双曲线的渐近线定义，解本题时，注意椭圆与双曲线的标准方程中，、的意义与相互间的关系.‎ ‎5．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面水平放置时，液面高为（ ）‎ A. 7 B. 6 C. 4 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】底面ABC的面积设为S，则侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，‎ 水的体积为： ，当底面ABC水平放置时，液面高为h，水的体积为：Sh=，‎ 可得h=6．‎ 故答案选：B．‎ ‎6．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，有成立，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：构造函数，求函数的导数，以及函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式转化为或进行求解即可．‎ 详解：设，则，‎ ‎∵当时，有成立，‎ ‎∴当时，有成立，即此时，函数为减函数，‎ ‎∵是定义在上的奇函数且，‎ ‎∴，且是偶函数，，‎ 当时，等价为，即，得，‎ 当时，等价为，即，‎ 此时函数增函数，得，综上不等式的解集是，‎ 故选A．‎ 点睛：本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键，综合性较强.‎ ‎7．下列说法正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的否命题是“若，则”‎ B. 命题“，”的否定是“，”‎ C. 函数的最小值为 D. 若，则“”是“”的必要不充分条件 ‎【答案】D ‎【解析】对于选项A，命题“若，则”的否命题是“若，则”，所以选项A错误.‎ 对于选项B，命题“，”的否定是“，”，所以选项B错误.‎ 对于选项C，不能利用基本不等式求最小值，因为取等的条件不成立. 只能这样：设所以函数在上是增函数，所以t=3时函数取最小值所以选项C错误.‎ 对于选项D,由得a>1或a<0，由于a>1或a<0是“”的必要不充分条件，所以 ‎“”是“”的必要不充分条件，所以选项D正确.‎ 故选D.‎ ‎8．函数的大致图象为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：考查函数的符号和函数的奇偶性排除错误选项即可求得最终结果.‎ 详解：利用排除法：‎ 当时，，，则函数，据此可排除AB选项；‎ 且：，即函数的图象不关于坐标原点对称，排除D选项.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．‎ ‎9．等比数列中，，则数列的公比为（ ）‎ A. 2或-2 B. 4 C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：设等比数列的公比为，由已知条件可得，和已知等式相除即可得结论.‎ 详解：设等比数列的公比为，∵，∴且，‎ 两式相除可得，即，∴，故选C.‎ 点睛：本题主要考查了等比数列的定义，求等比数列的公比，属于基础题.‎ ‎10．四棱锥的三视图如下图所示，四棱锥的五个顶点都在一个球面上，，分别是棱、的中点，直线被球面所截得的线段长为，则该球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】四棱锥PABCD中面ABCD，且ABCD 为正方形，球心为PC中点，因为 ‎ ，所以 ，选A.‎ 点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．‎ ‎11．如图在平行四边形中，，，，为的中点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用向量的三角形法则得、平行四边形法则得、向量共线定理即可得出．‎ 详解：∵在平行四边形中，，为的中点，‎ ‎∴，‎ 故选C．‎ 点睛：本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、向量共线定理，属于基础题.‎ ‎12．已知函数（，，）图象关于轴对称，且在区间上不单调，则的可能值有（ ）‎ A. 10个 B. 9个 C. 8个 D. 7个 ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先根据三角函数的对称性求出，继而，分别对进行分析，根据的单调性即可得结论.‎ 详解：∵函数图象关于轴对称，∴，‎ 又∴，∴，即，‎ 若，则当，，此时在上单调递减，‎ 若，则当，，此时在上单调递减，‎ 若，则当，，此时在上不单调，‎ 若，则当，，此时在上不单调，‎ 若且，则当，，此时，在上不可能单调，所以的可能取值集合是，有9个，故选B.‎ 点睛：本题主要考查了三角函数的对称性及单调性，求出题中的是前提，充分理解其单调性是关键.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．设函数，则__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】分析：根据分段函数的解析式，将、分别和1比较，求出和的值，再作差即可.‎ 详解：∵，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，故答案为1.‎ 点睛：本题考查了求分段函数值问题，考查指数、对数的运算，解题的关键是理解分段函数的本质，是一道基础题．‎ ‎14．若变量，满足约束条件，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：如图，画出可行域，，写成，目标函数的纵截距最大时，即也最大，所以斜率为的直线过点A时，目标函数取得最大值，即.‎ 考点：线性规划 ‎15．在中，，，，则边上的高等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：在中，由余弦定理可得，作，则在中，根据即可得结果.‎ 详解：在中，由余弦定理可得，，‎ 把已知，代入可得整理可得，∴，作垂足为，‎ 中，，即边上的高为，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，解答本题的关键是利用余弦定理求出，属于基础试题.‎ ‎16．若边长为的等边三角形的中点为，是边上的动点，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据题意画出图形，结合图形根据向量加法的运算法则可得，，最后根据向量数量积定义即可得结果.‎ 详解：如图所示，取中点D，可得，‎ ‎∵为等边三角形，且为中心，∴，，‎ ‎∴‎ 故答案为.‎ 点睛：本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，解题的关键是掌握向量的加法及数量积的定义，是基础题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知等差数列中，首项a1=1，公差d为整数，且满足数列满足前项和为．‎ ‎（1）求数列的通项公式an；‎ ‎（2）若S2为，的等比中项，求正整数m的值．‎ ‎【答案】（1）an= 2n－1（2）m=12‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意，得解得< d <． ‎ 又d ∈Z，∴d = 2．∴an=1+(n－1)2=2n－1． ‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴． ‎ ‎∵，，，S2为S1， (m∈)的等比中项，‎ ‎∴，即， 解得m=12．‎ 考点：数列的应用；数列递推式．‎ 点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎18．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，，.‎ ‎（Ⅰ）若中点为，求证：平面； ‎ ‎（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】分析：（I）取的中点，连结，，则四边形为平行四边形于是，从而平面；（II）过作交于点，由面面垂直的性质得出面，于是为所求的角．‎ 详解：（Ⅰ）取的中点，连结，，∴且，‎ ‎∴为平行四边形，∴，且不在平面内，在平面内，‎ 所以面.‎ ‎（Ⅱ）过作交于点，∵面面，，∴面，∴就是所求的线面角.‎ ‎∵，，，由余弦定理得，‎ ‎∴，∴直线与平面所成角的余弦值为.‎ 点睛：本题考查了线面平行，线面垂直的判定，线面角的计算，解题的关键是找到线面角，属于中档题.‎ ‎19．某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．‎ ‎（1）应收集多少位女生的样本数据？‎ ‎（2）根据这300样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为： ．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；‎ ‎（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ ‎ ‎ ‎0.10 ‎ ‎0.05 ‎ ‎0.010 ‎ ‎0.005 ‎ ‎ ‎ ‎2.706 ‎ ‎3.841 ‎ ‎6.635 ‎ ‎7.879 ‎ 附： ‎ ‎【答案】（1）90（2）0.75（3）有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ ‎【解析】试题分析：（1）应收集位女生的样本数据；（2）由图得每周平均体育运动超过小时的频率为该校学生每周平均体育运动时间超过小时的概率的估计值为；（3）求出列联表代入公式可得有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ 试题解析： （1），所以应收集位女生的样本数据；‎ ‎（2）由频率分布直方图得每周平均体育运动超过小时的频率为，所以该校学生每周平均体育运动时间超过小时的概率的估计值为；‎ ‎（3）由（2）知，位学生有（位）的每周平均体育运动时间超过小时，人的每周平均体育运动时间不超过小时，又因为样本数据中有份是关于男生的，份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：‎ ‎ ‎ 男生 ‎ 女生 ‎ 总计 ‎ 每周平均体育运动时间不超过小时 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 每周平均体育运动时间超过小时 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 总计 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 结合列联表可算得，‎ 所以有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ 考点：1、频率分布直方图；2、独立性检验.‎ ‎20．已知双曲线，为坐标原点，离心率，点在双曲线上.‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）若直线与双曲线交于、两点，且.求的最小值.‎ ‎【答案】(1);(2)24.‎ ‎【解析】分析：（1）由双曲线的离心率可得关于、的一个方程，再把点代入双曲线的方程又得到关于、的一个方程，将以上方程联立即可解最后结果；（2）利用得，故而可得，再结合一元二次方程的根与系数的关系及弦长公式即可求出结果.‎ 详解：（1）由，可得，∴，∴双曲线方程为，∵点在双曲线上，∴，解得，∴双曲线的方程为.‎ ‎（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由消去整理得，∵直线与双曲线交于，两点，‎ ‎∴ .设，，‎ 则，，由得到：，‎ 即，∴，‎ 化简.∵ ，‎ 当时，上式取等号，且方程有解.‎ ‎②当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，则有，，‎ 由可得，可得，解得,∴.‎ ‎∴.综上可得的最小值是24.‎ 点睛：本题主要考查了待定系数法求圆锥曲线的方程、得、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式是解题的关键.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，求在区间上的最值；‎ ‎（2）讨论函数的单调性；‎ ‎（3）当时，有恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）， ．‎ ‎（2）当时， 在单调递增；当时， 在单调递增，在上单调递减；当时， 在上单调递减．（3） ‎ ‎【解析】分析：（1）求导的定义域，求导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得，即可求得在区间上的最值；（2‎ ‎）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；（3）由（2）知，当时，，即原不等式等价于，由此可求的取值范围．‎ 详解：（1）当时，，∴，‎ ‎∵的定义域为，∴由，得.∴在区间上的最值只可能在，，取到，而，，，，，‎ ‎（2），，‎ ‎①当，即时，，∴在上单调递减；‎ ‎②当时，，∴在上单调递增；‎ ‎③当时，由得，∴或（舍去）.‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减；‎ 综上，当时，在单调递增；‎ 当时，在单调递增，在上单调递减.‎ 当时，在单调递减；‎ ‎（3）由（2）知，当时，，‎ 即原不等式等价于，即，‎ 整理得，∴，又∵，∴的取值范围为.‎ 点睛：‎ 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.．‎ ‎22．已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为 ‎（为参数），点的极坐标为，设直线与圆交于点、.‎ ‎（1）写出圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）求的值. ‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）在极坐标方程的两边同时乘以，然后由，即可得到圆的直角坐标方程；（2）将直线的标准参数方程代入圆的直角坐标方程，消去、得到有关的参数方程，然后利用韦达定理求出的值.‎ ‎（1）由，得 ‎ ‎，，‎ 即，‎ 即圆的直角坐标方程为；‎ ‎（2）由点的极坐标得点直角坐标为，‎ 将代入消去、，整理得， ‎ 设、为方程的两个根，则，‎ 所以.‎ 考点：1.圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化；2.韦达定理 ‎23．（选修4-5：不等式选讲）‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，求的解集；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】分析：（1）通过讨论的范围，，和三中情形，求出不等式的解集即可；（2）原不等式可化为，解绝对值不等式可得对任意的恒成立即可得结果.‎ 详解：（1）当时，由可得，所以 当时，不等式转化为，无解，‎ 当时，不等式转化为，解得，‎ 当时，不等式转化为，解得，‎ 综上可知，不等式的解集为.‎ ‎（2）当时，恒成立，即，‎ 故，即对任意的恒成立，‎ 所以.‎ 点睛：本题考查了绝对值不等式问题，考查函数的最值问题，是一道中档题；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎