数学（理）卷·2018届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三上学期期末考试（2018

数学（理）卷·2018届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三上学期期末考试（2018

牡一中2015级高三学年上学期期末考试 理 数 试 题 一、选择题（每小题只有一个正确的选项，每小题5分，共60分）‎ ‎1、若集合M,N,P是全集S的子集，则图中阴影部分表示的集合是（ ）‎ A B ‎ C D ‎ ‎2、在长为12的线段AB上任取一点M，并且以线段AM为边的正方形，则这正方形的面积介于36与81之间的概率为（ ）‎ ‎ A B C D ‎ ‎3、抛物线的焦点为（ ）‎ A B C D ‎ ‎4、十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则行车路线共有 （ ）.‎ A 24种 B 16种 C 12种 D 10种 ‎5、已知复数的实部为-1，则复数在复平面上对应的点位于（ ）‎ A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D. 第四象限 ‎6、若直线与曲线恰有一个公共点,则的取值范围是 ‎ A B 或 ‎ C D 或 ‎7、从个位数与十位数之和为偶数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 （ ）‎ A B C D ‎ ‎8、将正方体（如图1）截去三个三棱锥后，得到如图2所示的几何体，侧视图的视线方向如图2所示，则该几何体的侧视图为（ ）‎ ‎9、甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）‎ A B C D ‎ ‎10、椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点，，当的周长最大时，的面积是（ ）‎ A B ‎ C D ‎ ‎11、宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为，则输出的（ ）‎ ‎ A 2 B 3 C 4 D 5‎ ‎12、将数字1,2,3,4，填入右侧的表格内，要求每行、每列的数字互不相同，如图所示，则不同的填表方式共有（ ）种 A 432 B 576 C 720 D 864‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13、已知的展开式二项式系数和为64，则展开式中常数项是 。（用数字作答）‎ ‎14、已知双曲线C的方程为，其上焦点为F，过F作斜率为2的直线与上支有且只有一个交点，则双曲线C的离心率的范围 。‎ ‎15、已知边长为的正的三个顶点都在球O的表面上，且OA与平面ABC所成的角为，则球O的表面积为__________．‎ ‎16、如图，已知抛物线的方程为，过点A（0,﹣1）作直线与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0,1），连接BP，BQ，设QB，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为﹣3，则∠MBN的大小等于 ‎ 三、解答题（12+12+12+12+12+10=70分）‎ ‎17、（本小题满分12分）‎ 在所对的边分别为且，‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求及的面积.‎ ‎18、(本题满分12分)‎ 甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：‎ 甲公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 ‎38‎ ‎39‎ ‎40‎ ‎41‎ ‎42‎ 天数 ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎ 乙公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 ‎38‎ ‎39‎ ‎40‎ ‎41‎ ‎42‎ 天数 ‎5‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎5‎ ‎（1）现从甲公司记录的50天中随机抽取3天，求这3天送餐单数都不小于40的概率；‎ ‎（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：‎ ‎①记乙公司送餐员日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；‎ ‎②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图在棱锥中，为矩形，面，‎ ‎，与面成角，与面成角. ‎ ‎（1）在上是否存在一点，使面，若 存在确定点位置，若不存在，请说明理由；‎ ‎（2）当为中点时，求二面角的余弦值. ‎ ‎20.(本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．是椭圆的右顶点与上顶点，直线与椭圆相交于两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）当四边形面积取最大值时，求的值． ‎ ‎21(本题满分12分)‎ 已知函数有两个不同的极值点 且 ，‎ ‎(Ⅰ)求实数的取值范围； ‎ ‎(Ⅱ)设上述的取值范围为，若存在，使对任意，‎ 不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎（22,23选作一题，10分）‎ ‎22、在直角坐标系中, 过点作倾斜角为的直线与曲线相交于不同的两点．‎ ‎（Ⅰ）写出直线的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）求 的取值范围．‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知为任意实数．‎ ‎（1）求证：； ‎ ‎（2）求函数的最小值．‎ ‎ ‎ 数学（理）参考答案答案 ‎ 序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A A D C C B A D B A C B 序号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎60‎ ‎17，，‎ 由正弦定理可得， ‎ ‎ 又，，， ‎ ‎ ，， 所以，故. ‎ ‎ （Ⅱ），，由余弦定理可得：‎ ‎，即 ‎ 解得或（舍去），故. ‎ 所以. ‎ ‎18、 （1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，‎ 则.‎ ‎（2）①设乙公司送餐员送餐单数为，‎ 则当时，，当时，，当时，‎ ‎，‎ 当时，，当时，.‎ 所以的所有可能取值为228，234，240，247，254.故的分布列为：‎ ‎228‎ ‎234‎ ‎240‎ ‎247‎ ‎254‎ ‎∴.‎ ‎②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为 ‎.‎ 所以甲公司送餐员日平均工资为元.‎ 由①得乙公司送餐员日平均工资为241.8元.‎ 因为，故推荐小王去乙公司应聘.‎ ‎19（Ⅰ）法一：要证明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需即可，所以由,即存在点E为PC中点 …6分 法二：建立如图所示的空间直角坐标系D－XYZ， ‎ 由题意知PD＝CD＝1，‎ ‎，设， ，‎ 由，得，‎ 即存在点E为PC中点。 ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，， ‎ ‎，， ，‎ 设面ADE的法向量为，面PAE的法向量为 由的法向量为得，得 同理求得 所以 故所求二面角P－AE－D的余弦值为. ‎ ‎20.解析：（1）由题意知：＝，. ‎ 又圆与直线相切， ，， ‎ 故所求椭圆C的方程为.（4分） ‎ ‎（2）设，其中，‎ 将代入椭圆的方程整理得：‎ ‎，………5分 故．① ………6分 又点到直线的距离分别为，………7分 ‎． ‎ ‎………8分 所以四边形的面积为 ‎………10分 ‎， ‎ 当，即当时，上式取等号．‎ 所以当四边形面积的最大值时，. （12分）‎ ‎21(Ⅰ)f′(x)＝ax－2a＋＝(x>0)．(1分)‎ 令f′(x)＝0，则ax2－2ax＋1＝0.‎ 据题意，方程有两个不等正根，则(3分)‎ 即解得1＜a＜2. 故实数a的取值范围是(1，2)．(4分)‎ ‎(Ⅱ)由ax2－2ax＋1>0，得a(x－1)2>a－1.即x<1－或x>1＋.‎ 所以f(x)在和上是增函数．‎ 因为1＜a＜2，则1＋<1＋，所以f(x)在 上是增函数．‎ 当x∈时，f(x)max＝f(2)＝－2a＋ln 2.(6分)‎ 据题意，当a∈(1，2)时，f(x)max＋ln(a＋1)>m(a2－1)－(a＋1)＋2ln 2恒成立，‎ 即－2a＋ln 2＋ln(a＋1)>m(a2－1)－(a＋1)＋2ln 2恒成立，‎ 即ln(a＋1)－ma2－a＋m＋1－ln 2>0恒成立．‎ 设g(a)＝ln(a＋1)－ma2－a＋m＋1－ln 2，‎ 则g′(a)＝－2ma－1＝.(8分)‎ ‎(1)当m≥0时，因为a∈(1，2)，则g′(a)<0，所以g(a)在(1，2)上是减函数．‎ 此时，g(a)＜g(1)＝0，不合题意．(9分)‎ ‎(2)当m＜0时，若1＋≥－1，即m≤－，因为a∈(1，2)，则a＋1＋>0，g′(a)>0，‎ 所以g(a)在(1，2)上是增函数. 此时，g(a)＞g(1)＝0，符合题意．(10分)‎ 若1＋<－1，即－1.当1

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