【数学】2019届一轮复习全国通用版第69讲绝对值不等式学案
第十二章 不等式选讲
第69讲 绝对值不等式
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
(1)≤＋.
(2)≤＋.
2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
≤c，≥c，＋≥c.
2017·全国卷Ⅰ，23
2016·全国卷Ⅰ，24
2016·全国卷Ⅲ，24
2016·江苏卷，21(D)
解绝对值不等式是本部分在高考中的重点考查内容，其中以解含有两个绝对值的不等式为主.
分值：5～10分
1．绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，那么≤＋，当且仅当__ab≥0__时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么≤＋，当且仅当__(a－c)(c－b)≥0__时，等号成立．
2．含绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式＜a，＞a的解集
不等式
a＞0
a＝0
a＜0
＜a
__{x|－a＜x＜a}__
__∅__
__∅__
＞a
__{x|x＞a或x＜－a}__
__{x|x∈R且x≠0}__
__R__
(2)≤c(c＞0)和≥c(c＞0)型不等式的解法
①≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
1．思维辨析(在括内打“√”或打“×”)．
(1)对≥－当且仅当a＞b＞0时等号成立．( × )
(2)对－≤当且仅当＞时等号成立．( × )
(3)对≤＋当且仅当ab≤0时等号成立．( √ )
(4)≤c的解等价于－c≤ax＋b≤c.( √ )
(5)不等式＋＜2的解集为∅.( √ )
2．设ab＜0，a，b∈R，那么正确的是( C )
A．＞ B．＜＋
C．＜ D．＜
解析 由ab＜0，得a，b异号，
易知|a＋b|＜|a－b|，|a－b|＝|a|＋|b|，|a－b|＞||a|－|b||，
∴C项成立，A，B，D项均不成立．
3．不等式1＜＜3的解集为( D )
A．(0,2) B．(－2,0)∪(2,4)
C．(－4,0) D．(－4，－2)∪(0,2)
解析 1＜|x＋1|＜3⇔1＜x＋1＜3或－3＜x＋1＜－1⇔0＜x＜2或－4＜x＜－2.
4．不等式|2x－1|＜2－3x的解集是( C )
A． B．
C． D．
解析 |2x－1|＜2－3x⇔3x－2＜2x－1＜2－3x⇔⇔⇔x＜.
5．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为__(5,7)__．
解析 由|3x－b|＜4得－4＜3x－b＜4，即＜x＜，
∵不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，
则⇒∴5＜b＜7.
一 绝对值不等式的解法
解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中x的系数为1(或可化为1)
，可选用几何法或图象法求解较为简单．若x的系数不全为1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值的取舍．
【例1】 解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.
解析 将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0，
令f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，
则f(x)＝
作出函数的图象，如图所示．
由图可知，当x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
二 绝对值不等式的证明
(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．
(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．
(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．
【例2】 设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)，若|a|≤1，求证：|f(x)|≤.
证明 方法一 ∵－1≤x≤1，∴|x|≤1.
又∵|a|≤1，∴|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x|≤|x2－1|＋|x|＝1－|x|2＋|x|＝－2＋≤.
方法二 设g(a)＝f(x)＝ax2＋x－a＝(x2－1)a＋x.
∵－1≤x≤1，
当x＝±1，即x2－1＝0时，|f(x)|＝|g(a)|＝1≤；
当－1
1时，①式化为x2＋x－4≤0，从而10，
当x<0时，－x＋(2x－1)＋1>0，得x>0，∴无解；
当0≤x≤时，x＋(2x－1)＋1>0，得x>0，∴0时，x－(2x－1)＋1>0，得x<2，∴0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
解析 (1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－10，解得0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得f(x)＝
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
易错点 不能正确处理好整体与个体的关系
错因分析：先由已知求得x和y的取值范围，再代入求证，致使取值范围扩大造成错误．
【例1】 已知＜，＜，求证：＜.
证明 设m(x＋y)＋n(2x－y)＝x－y，
则解得
∴＝≤＋＜＋＝.
【跟踪训练1】 (2016·江苏卷)设a＞0，＜，＜，求证：＜a.
证明 因为|x－1|＜，|y－2|＜，
所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|＜2×＋＝a.
课时达标 第69讲
[解密考纲]对本考点的考查以填空题和解答题为主，填空题主要涉及绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用等，解答题涉及含有两个绝对值的问题，难度中等．
1．已知f(x)＝|x＋1|＋|x－2|，g(x)＝|x＋1|－|x－a|＋a(a∈R)．
(1)解不等式f(x)≤5；
(2)若不等式f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．
解析 (1)f(x)＝|x＋1|＋|x－2|表示数轴上的x对应点到－1和2对应点的距离之和，而－2对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5,3对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f(x)≤5的解集为[－2,3]．
(2)若不等式f(x)≥g(x)恒成立，即|x－2|＋|x－a|≥a恒成立．
而|x－2|＋|x－a|≥|(2－x)＋(x－a)|＝|a－2|，
∴(|x－2|＋|x－a|)min＝|a－2|，
∴|a－2|≥a，
∴a≤0或解得a≤1，故a的取值范围为(－∞，1]．
2．设f(x)＝|x－1|＋|x－a|.
(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；
(2)若对任意的x∈R，f(x)≥4，求实数a的取值范围．
解析 (1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|＝其图象如下．
根据图象易得f(x)≥3的解集为.
(2)由于f(x)＝|x－1|＋|x－a|＝|x－1|＋|a－x|≥|a－1|，
对任意的x∈R，f(x)≥4等价于|a－1|≥4，
解得a≥5或a≤－3，
故实数a的取值范围为(－∞，－3]∪[5，＋∞)．
3．已知函数f(x)＝|x－2|－|2x－a|，a∈R.
(1)当a＝3时，解不等式f(x)>0；
(2)当x∈(－∞，2)时，f(x)<0恒成立，求a的取值范围．
解析 (1)当a＝3时，f(x)>0，
即|x－2|－|2x－3|>0，
等价于或或
解得12－x，
即2x－a>2－x或2x－ax＋2恒成立，∵x<2，∴a≥4.
故a的取值范围是[4，＋∞)．
4．设对于任意实数x，不等式|x＋7|＋|x－1|≥m恒成立．
(1)求m的取值范围；
(2)当m取最大值时，解关于x的不等式|x－3|－2x≤2m－12.
解析 (1)设f(x)＝|x＋7|＋|x－1|，
则有f(x)＝
当x<－7时，f(x)>8，当－7≤x≤1时，f(x)＝8，
当x>1时，f(x)>8.
综上，f(x)有最小值8，所以m≤8，故m的取值范围为(－∞，8]．
(2)当m取最大值时，m＝8.原不等式等价于|x－3|－2x≤4，
等价于或
等价于x≥3或－≤x<3.
所以原不等式的解集为.
5．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．
解析 (1)f(x)＝
当x<－1时，f(x)≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f(x)≥1得2x－1≥1，解得1≤x≤2；
当x>2时，由f(x)≥1解得x>2.
所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．
(2)由f(x)≥x2－x＋m得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.
而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|
＝－2＋≤，
故m的取值范围为.
6．设函数f(x)＝|x－a|.
(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥4－|x－1|；
(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m>0，n>0)，求证：m＋2n≥4.
解析 (1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4.
因为方程|x－2|＋|x－1|＝4的解为x1＝－，x2＝，
所以原不等式的解集为∪.
(2)证明：f(x)≤1，即|x－a|≤1，解得a－1≤x≤a＋1，
而f(x)≤1的解集是[0,2]，
所以解得a＝1，所以＋＝1(m>0，n>0)．
所以m＋2n＝(m＋2n)＝2＋＋≥4.
