2018-2019学年河北省枣强中学高二下学期期末数学（理)试题 解析版

2018-2019学年河北省枣强中学高二下学期期末数学（理)试题 解析版

绝密★启用前 河北省枣强中学2018-2019学年高二下学期期末数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．定积分（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用微积分基本定理求出即可。‎ ‎【详解】‎ ‎.选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题关键是求出被积函数的一个原函数。‎ ‎2．在中，角的对边分别是，若，则（ ）‎ A．5 B． C．4 D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 已知两边及夹角，可利用余弦定理求出。‎ ‎【详解】‎ 由余弦定理可得：，‎ 解得.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根据条件选用合适的定理解决。‎ ‎3．在二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积）‎ ‎；在三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积）.应用合情推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度，则其四维测度为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给的示例及类比推理的规则得出，高维度的测度的导数是低一维的测度，从而得到，求出所求。‎ ‎【详解】‎ 由题知，，所以类比推理，猜想，，因为，‎ 所以，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查学生的归纳和类比推理能力。‎ ‎4．的展开式中的系数是（ ）‎ A．58 B．62 C．52 D．42‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用二项展开式的通项公式，赋值即可求出。‎ ‎【详解】‎ 的展开式中的系数是.选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式定理的展开式以及赋值法求展开式特定项的系数。‎ ‎5．如图，在中，是的中点，若，则实数的值是（ ）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以 作为基底表示出，利用平面向量基本定理，即可求出。‎ ‎【详解】‎ ‎∵分别是的中点，‎ ‎∴.‎ 又，∴.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力。‎ ‎6．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要分清起止项，以及相邻两项的关系，由此即可分清增加的代数式。‎ ‎【详解】‎ 当时，左边，‎ 当时，左边 ‎，‎ ‎∴从到，左边需要增乘的代数式为.选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查学生如何理解数学归纳法中的递推关系。‎ ‎7．在中，角的对边分别是，若，则的值为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中利用正弦定理和二倍角公式能求出角，再依据余弦定理列出关于角的关系式，化简即得。‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴由正弦定理可得，即.‎ 由于，∴.∵，‎ ‎∴.又，‎ 由余弦定理可得，∴.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正余弦定理解三角形以及三角恒等变换。‎ ‎8．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可求出的值，再由三角函数同角基本关系式解出，即可。‎ ‎【详解】‎ ‎∵，且，‎ ‎∴，∴或.不妨设，‎ ‎ ，.由 解得.∴.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两角和的正切公式，以及同角三角函数关系式的应用。‎ ‎9．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：‎ 小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；‎ 小王说：“丁团队获得一等奖”；‎ 小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；‎ 小赵说：“甲团队获得一等奖”．‎ 若这四位同学中有且只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎1.若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;‎ ‎2.若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;‎ ‎3.若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;‎ ‎4.若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意，故选D.‎ ‎【思路点睛】本题主要考查演绎推理的定义与应用以及反证法的应用，属于中档题.本题中，若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符；‎ 若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符；若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符；若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.‎ ‎10．已知函数，若是图象的一条对称轴的方程，则下列说法正确的是（ ）‎ A．图象的一个对称中心 B．在上是减函数 C．的图象过点 D．的最大值是 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦函数对称轴位置特征，可得值，从而求出解析式，利用的图像与性质逐一判断即可。‎ ‎【详解】‎ ‎∵是图象的一条对称轴的方程，‎ ‎∴，又，∴，∴.‎ 图象的对称中心为，故A正确；‎ 由于的正负未知，所以不能判断的单调性和最值，故B，D错误；‎ ‎，故C错误.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图像与性质。‎ ‎11．已知向量满足，点在线段上，且的最小值为，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据题目条件，首先可以判断出点的位置，然后，根据向量模的计算公式，求出的代数式，由函数知识即可求出最值。‎ ‎【详解】‎ 由于，说明点在的垂直平分线上，‎ 当是的中点时，取最小值，最小值为，‎ 此时与的夹角为，与的夹角为，‎ ‎∴与的夹角为，‎ 的最小值是4，‎ 即的最小值是2.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量有关知识，重点是利用数量积求向量的模。‎ ‎12．已知是定义在上的函数，且对于任意，不等式恒成立，则整数的最小值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用的单调性和奇偶性，将抽象不等式转化为具体不等式，然后将恒成立问题转化成最值问题，借助导数知识，即可解决问题。‎ ‎【详解】‎ ‎，可知，且单调递增，‎ 可以变为，‎ 即，∴，‎ 可知，设，则，‎ 当时，，当时，单调递增；‎ 当时，单调递减，可知，‎ ‎∴，∵，∴整数的最小值为1.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的性质、抽象不等式的解法、以及恒成立问题的一般解法，意在考查学生综合运用所学知识的的能力。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知，则________.（用含的式子表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过寻找，与特殊角的关系，利用诱导公式及二倍角公式变形即可。‎ ‎【详解】‎ 因为，即，所以，‎ 所以，所以，‎ 又.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，意在考查学生分析解决问题的能力。‎ ‎14．已知向量.若与共线，则在方向上的投影为 ________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用共线向量的坐标表示求出参数，再依据投影的概念求出结果即可。‎ ‎【详解】‎ ‎∵∴.‎ 又∵与共线，∴，∴，∴，‎ ‎∴在方向上的投影为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查共线向量的坐标表示以及向量投影的概念，注意投影是个数量。‎ ‎15．曲线与直线及轴围成的图形的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用定积分表示封闭图形的面积，然后计算定积分即可．‎ ‎【详解】‎ 由曲线与直线及轴围成的图形的面积为 ‎ 即答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是正确利用定积分表示所求面积．‎ ‎16．已知函数为的极值点，则关于的不等式的解集为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用为的极值点求出参数，然后利用符号法则解分式不等式即可。‎ ‎【详解】‎ ‎，由题意，，‎ 经检验，当时，为的极值点.‎ 所以.‎ 或 ‎，‎ 的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的应用，以及分式不等式的解法，意在考查学生的数学运算能力。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．设函数的部分图象如图所示.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）当时，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合三角函数的周期可得，结合，则，函数的解析式为.‎ ‎(2)由函数的定义域可得，则函数的值域为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由图象知，即.又，所以，‎ 因此.又因为点，‎ 所以，即，‎ 又，所以，即.‎ ‎（2）当时，，‎ 所以，从而有.‎ ‎18．如图，在四边形中，.‎ ‎（1）求的余弦值；‎ ‎（2）若，求的长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先利用余弦定理求出BC=2,再利用正弦定理求出，再求的余弦值；（2）先求出,再利用正弦定理求AD得解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以.‎ 由正弦定理得，所以，‎ 又因为，所以.‎ ‎（2）由（1）得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；‎ ‎（2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由函数的解析式可得在上单调递增，则的取值范围是；‎ ‎(2)原问题等价于存在，使不等式成立.构造新函数，结合函数的性质可得实数的取值范围为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由得，‎ 在上单调递增，，‎ 的取值范围是.‎ ‎（2）存在，使不等式成立，‎ 存在，使不等式成立.‎ 令，从而，‎ ‎，‎ ‎，‎ 在上单调递增，‎ ‎ .‎ 实数的取值范围为.‎ ‎20．在中，角的对边分别是，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，边上的中线的长为，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先后利用正弦定理余弦定理化简得到，即得B的大小；（2）设，则，所以，利用余弦定理求出m的值，再求的面积.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为，‎ 由正弦定理，得，即.‎ 由余弦定理，得.‎ 因为，所以.‎ ‎（2）因为，所以.‎ 设，则，所以.‎ 在中，由余弦定理得，得，‎ 即，‎ 整理得，解得.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）设为函数的两个零点，求证：.‎ ‎【答案】(1) 的单调递减区间为，单调递增区间为. (2)见证明，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数求函数单调区间的一般步骤即可求出；‎ ‎（2）将零点问题转化成两函数以及图像的交点问题，通过构造函数 ‎，依据函数的单调性证明即可。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵，‎ ‎∴.‎ 当时，，即的单调递减区间为，无增区间；‎ 当时，，由，得，‎ 当时，；当时，，‎ ‎∴时，的单调递减区间为，单调递增区间为 ‎.‎ ‎（2）证明：由（1）知，的单调递减区间为，单调递增区间为，‎ 不妨设，由条件知即 构造函数，则，‎ 由，可得.‎ 而，∴.‎ 知在区间上单调递减，在区间单调递增，‎ 可知，‎ 欲证，即证.‎ 考虑到在上递增，只需证，‎ 由知，只需证.‎ 令，则 ‎.‎ 所以为增函数.‎ 又，结合知，‎ 即成立，所以成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数在函数中的应用，求函数的单调区间，以及函数零点的常用解法，涉及到分类讨论和转化与化归等基本数学思想，意在考查学生的逻辑推理、数学建模和运算能力。‎ ‎22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（1）将， 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？‎ ‎（2）以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．若上的点对应的参数为，点在上，点为的中点，求点到直线距离的最小值．‎ ‎【答案】（1）表示以为圆心，1为半径的圆， 表示焦点在轴上的椭圆；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）分别将曲线、的参数方程利用平方法消去参数，即可得到， 的方程化为普通方程，进而得到它们分别表示什么曲线；（2），利用点到直线距离公式可得到直线的距离，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.‎ 试题解析：（1）的普通方程为，它表示以为圆心，1为半径的圆，‎ 的普通方程为，它表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆．‎ ‎（2）由已知得，设，则，‎ 直线： ，‎ 点到直线的距离，‎ 所以，即到的距离的最小值为．‎ ‎23．已知．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据绝对值三角不等式得到 ;(2)，则，故，分情况去掉绝对值解出不等式即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明： ． ‎ ‎（2）解：若，则， ‎ 故 ‎∴或 ，‎ 解得：．‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了含有绝对值的不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，以及函数的最值问题；一般对于解含有多个绝对值的不等式，根据零点分区间，将绝对值去掉，分段解不等式即可.‎